A 541. Deux nombres miroir

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541. Deux nombres miroir

On recherche les entiers k, m et n avec k > 1 et m ≠ n tels que les représentations décimales des deux nombres k^m + 1 et k^n + 1 se déduisent l’une de l’autre par inversion de l’ordre de lecture des chiffres.

Démontrer que k prend une valeur unique et déterminer un triplet (k,m,n) qui satisfait cette condition.

k^m et k^n doivent avoir le même nombre de chiffres, donc k doit être inférieur à 10.

Et si k > 3 , on a obligatoirement n = m+1 afin de respecter le nombre de chiffres.

Enfin, on sait que la différence entre un nombre et son retourné est un multiple de 9 vu que ces deux nombres ont une somme de leurs chiffres identique.

Pour avoir cette différence de 9, on peut voir que pour k > 3,

k^(m+1) +1 -(k^m +1)= k^m (k-1).

k ne peut valoir que 3 ou 9 Pour k = 2 ou 3 , on doit aussi examiner la possibilité n = m+2

k^(m+2) +1 -(k^m +1)= k^m (k^2-1).

Seul k = 3 est possible.

Et enfin , k=2 et n = m+3

2^(m+3) +1 -(2^m +1)= 2^m (8-1).

impossible Pour k = 3 ou 9 , on peut alors examiner ce que donnerait la condition « miroir », sachant que les carrés ont une forme déterminée : dans la plupart des cas, on aboutit à une condition impossible à remplir pour avoir 2 nombres multiples l'un de l'autre.

k k^m + 1 k^n + 1 miroir miroir Possible

multiple ? k^m + 1 k^n + 1

3 xxxx 4 (x3) xxxx 0 0 xxx 4 4 xxx 0 non

3 xxxx 8 (x3) xxxx 2 2 xxx 8 8 xxx 2 Possible

9 xxxx 0 xxxx 2 2 xxx 0 0 xxx 2 non

9 xxxx 2 xxxx 0 0 xxx 2 2 xxx 0 non

Il ne reste donc qu'un cas pour

k = 3 et n = m + 1

On n'a d'ailleurs pas besoin de chercher très loin pour fournir un exemple :