Solution proposée par Gaston Parrour

A541. Deux nombres miroirs

On recherche les entiers k, m et n avec k > 1 et m ≠ n tels que les représentations décimales des deux nombres k^m + 1 et kⁿ + 1 se déduisent l’une de l’autre par inversion de l’ordre de lecture des chiffres.

Démontrer que k prend une valeur unique et déterminer un triplet (k,m,n) qui satisfait cette condition.

Solution proposée par Gaston Parrour

Remarques préliminaires

Les deux nombres se déduisent l'un de l'autre par lecture inversée. En conséquence :

→ Les deux nombres ont le même nombre de chiffres (c1) Aucun de ces deux nombres ne peut se terminer par zéro :

→ k^m et kⁿ ne peuvent se terminer par 9 (c2) On note m l'exposant le plus grand n < m Avec cela

kⁿ < k^m et même plus précisément,

→ le premier chiffre de k^m est au moins k fois plus grand que celui de kⁿ (1 < k) (c3)

1- Conséquence de la contrainte (c1) les deux nombres considérés ont le même nombre de chiffres : Soit p la plus grande puissance de 10 dans kⁿ , et soit l'entier delta n = m - n

p s'accroît d'une unité (au moins) dans k^m, lorsque n entier s'accroît de delta n avec delta n ≥ 1/log (k)

N.B. Les logarithmes considérés ici sont tous dans la base 10 a contrario, p est inchangé dans k^m avec delta n < 1/log (k) → Lorsque p est inchangé,

si 10 ≤ k → delta n < 1 , donc delta n = 0 et m et n sont alors confondus → Donc on peut avoir p inchangé et m ≠ n

si et seulement si k < 10

==> k est un nombre entier à un chiffre k = 2, 3, … , 9 2- Avec les contraintes (c1) et (c2), quels sont les entiers k qui peuvent convenir ?

k = 2

delta n < 1/log(2) = 3,25... → m = {n+1 , n+2, n+3}

2ⁿ se termine par 2 , 4 , 6 , 8 , examinons ces 4 cas en fonction des valeurs permises pour m → 2ⁿ se termine par 2

2ⁿ +1 se termine par 3 donc 2 ^m +1 commence par 3 (lecture inversée) avec m = n+1

2^m se termine par 4 2^m+1 se termine par 5

avec les lectures inversées, on en déduit le début et la fin de chacun des nombres en jeu 2^m+1 = 3 … 5

2ⁿ +1 = 5 … 3 → le critère (c3) n'est pas satisfait avec m = n+2

2^m+1 se termine par 9

donc 2ⁿ+1 commence par 9 → (c3) non vérifié avec m = n+3

2^m+1 se termine par 7

donc 2ⁿ+1 commence par 7 → le critère (c3) n'est pas vérifié

→ 2ⁿ se termine par 4

2ⁿ +1 se termine par 5 donc 2 ^m +1 commence par 5 avec m = n+1

2^m se termine par 8 2^m+1 se termine par 9

donc 2ⁿ+1 commence par 9 → le critère (c3) n'est pas vérifié avec m = n+2

2^m se termine par 6 2^m+1 se termine par 7

donc 2ⁿ+1 commence par 7 → le critère (c3) n'est pas vérifié avec m = n+3

2^m se termine par 2 2^m+1 se termine par 3

donc 2ⁿ+1 commence par 3 (donc aussi 2^{n )}

→ impossible de passer du nombre 2ⁿ au nombre 2ⁿ⁺³ par multiplication par 2³ = 8 , cela en conservant le même nombre de chiffres et lorsque le premier chiffre de 2ⁿ est 3

→ 2ⁿ se termine par 6 , 2ⁿ se termine par 8

2ⁿ se termine par 6 → 2ⁿ+1 se termine par 7 → 2 ^m +1 commence par 7 OR aucun nombre 2^r (ou 2^r + 1) ne commence par 7

2ⁿ se termine par 8 → 2ⁿ+1 se termine par 9 → 2 ^m +1 commence par 9 OR aucun nombre 2^r (ou 2^r + 1) ne commence par 9

==> k = 2 ne répond pas à la question ; quels que soient m et n choisis k = 3

delta n < 1/log(3) = 2,09 ... → m = {n+1 , n+2}

3ⁿ se termine par 3, 9, 7, 1 Examen de ces 4 cas compte tenu des valeurs permises pour m → 3ⁿ se termine par 3

3ⁿ +1 se termine par 4 donc 3^m +1 commence par 4 avec m = n+1

3^m se termine par 9 ceci est exclus (cf. (c2)) avec m = n+2

3^m se termine par 7 donc 3 +1 commence par 8ⁿ ceci rapproché de 3^m+1 = 4 … ne satisfait pas le critère (c3)

→ 3ⁿ se termine par 9

Cela ne satisfait pas le critère (c2) → 3ⁿ se termine par 7

3ⁿ +1 se termine par 8 donc 3^m +1 commence par 8 avec m = n+1

3^m se termine par 1 donc 3 +1 se termine par 2^m → 3 ⁿ +1 commence par 2 Ici les 3 critères (ci) initiaux sont respectés

Donc on a obtenu les formes suivantes 3^m+ 1 = 8 … 2

3ⁿ+1 = 2 … 8 (1) → Puisque les critères initiaux sont des conditions nécessaires, existe-t-il en fait une solution ? Il est évident que le choix ''minimal'' 3^m+1 = 82 et 3ⁿ+1 = 28 répond à la question ==> le triplet (k, m, n) = (3, 4, 3) répond aux conditions de l'énoncé

N.B. Dans les limites de la calculette , je n'ai pas d'autre solution (3, m', n') qui réponde à la question

avec m = n+2

3^m se termine par 3 donc 3 +1 se termine par 4^m → 3 ⁿ +1 commence par 4 Avec cela, le produit de 3ⁿ par 3² ne peut donner pour 3^m+1 un nombre commençant par 8 → L'examen des valeurs k = 4, 5, 6, 7, 8, 9 se poursuit de la même façon en observant la compatibilité avec les critères nécessaires (c1) (c2) (c3) (et en utilisant éventuellement le rapport attendu entre le premier chiffre de k^m+1 et celui de kⁿ+1 compte tenu du k et du delta n = m – n considérés)

k = 4

delta n < 1/log(4) = 1,64 ... → m = { n+1}

4ⁿ se termine par 4 ou 6

L'examen de ces 2 cas de la façon décrite ci-dessus et compte tenu de la seule valeur permise m=n+1 , conduit à la conclusion :

==> k = 4 ne répond pas à la question quelles que soient les valeurs de n et de m=n+1

k = 5

delta n < 1/log(5) = 1,43 ... → m = { n+1}

5ⁿ se termine uniquement par 5

5ⁿ+1 se termine par 6 donc 5m+1 commence par 6 (lecture inversée) 5^m+1 se termine par 6 également donc 5 ⁿ +1 commence par 6

→ Avec un même nombre de chiffres dans 2 nombres distincts, cette configuration est impossible ==> k = 5 ne répond pas à la question

k = 6 comme précédemment ; une seule valeur pour m à partir de n → m = n+1 6ⁿ se termine uniquement par 6

Ce qui précède pour la cas k = 5 peut être directement reconduit ici ==> k = 6 ne peut être retenu

k = 7 → m = n+1

7ⁿ se termine par 7 9 3 ou 1

7ⁿ se termine par 7 → 7ⁿ + 1 se termine par 8 → 7^m+1 commence par 8 et aussi 7^m se termine 9 → ceci est exclus par le critère (c2)

7ⁿ se termine par 9 ceci est exclu par le critère (c2)

7ⁿ se termine par 3 → 7ⁿ+1 se termine par 4 → 7^m+1 commence par 4

ALORS, à même nombre de chiffres, 7^m NE peut PAS être 7 fois plus grand que 7ⁿ (m = n+1) 7ⁿ se termine par 1 → 7ⁿ+1 se termine par 2 → 7^m+1 commence par 2

ce qui est dit pour le cas ci-dessus ''7ⁿ se termine par 3'' peut donc être reconduit ici k = 8 → m = n+1

8ⁿ se termine par 8, 4, 2, 6

8ⁿ se termine par 8 → 8ⁿ+1 se termine par 9 → 8^m+1 commence par 9 avec m = n+1 ,

8 ^m se termine par 4 → 8^m+1 se termine par 5 → 8ⁿ+1 commence par 5 Alors, à même nombre de chiffres, il ne peut y avoir un facteur 8 entre 8ⁿ et 8^m

8ⁿ se termine par 4 → 8ⁿ+1 se termine par 5 → 8^m+1 commence par 5 Ici d'emblée il est clair que, quel que soit le premier chiffre de 2ⁿ+1 :

à même nombre de chiffres, il ne peut y avoir alors un facteur 8 entre 8ⁿ et 8^m 8ⁿ se termine par 2 → 8ⁿ+1 se termine par 3 → 8^m+1 commence par 3

Ici d'emblée encore :

à même nombre de chiffres, il ne peut y avoir alors un facteur 8 entre 8ⁿ et 8^m 8ⁿ se termine par 6 → 8ⁿ+1 se termine par 7 → 8^m+1 commence par 7 Ici d'emblée encore :

à même nombre de chiffres, il ne peut y avoir alors un facteur 8 entre 8ⁿ et 8^m k = 9 → m = n+1

9ⁿ se termine par 9 ou par 1 Et pour ces 2 possibilités :

9ⁿ se termine par 9 → ne satisfait pas à (c2)

9ⁿ se termine par 1 → 9^m se termine par 9 → ceci ne satisfait pas à (c2)

Conclusion

==> la seule valeur de l'entier k = 3 est acceptable

pour cette valeur le triplet (k,m,n) = (3, 4, 3) répond à la question

24 + 1 = 82 est le nombre 23 + 1 = 28 lu de droite à gauche .

N.B. Comme mentionné, dans les limites d'une calculette, pas d'autre triplet (3, m', n') n'a été trouvé répondant à la question.