N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
H.-J. K RANTZ
Questions proposées par M. Bourguet
Nouvelles annales de mathématiques 2
esérie, tome 18
(1879), p. 19-23<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1879_2_18__19_1>
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QUESTIONS PROPOSEES PAR M. BOURGUET
(voir a' série, t. XVI, p. iS'OI;
SOLUTIONS DE M. H.-J. KRANTZ.
i° Prouver que
i
> + + .
i m m -4- i m -\~ i m
2
(L désigne le logarithme népérien 2° Prouver que la série
est convergente pour a <^ -t et divergente pour a j -
G G
3° Prouver que la série
m m [m -4- i ) m (/w + i ) (m -+- i) n n[n -f- i ) n [n -\-i) [n -\- i)
est convergente pour n — m^> i, et divergente pour i° La fonction - étant décroissante, on a évidemment
x
De plus, en considérant l'hyperbole j " =• -•> on voit sans difficulté que Taire de cette courbe, comprise entre Taxe des x et les ordonnées qui sont aux distances m et m -\—de l'origine, est plus grande que le rectangle qui a l'unité pour base et dont la hauteur est—9 de sorte que Ton a
On peut d'ailleurs établir directement cetle inégalité de la manière suivante :
Pour toute valeur de x < m, on a numériquement
m \ (
— pour x = o,
m1—JU'1 m \ m' — x-
donc aussi
ƒ
* mdx f"2 duc»r — x' Jo m ' ou
m H I
log m
2
ce qui revient à l'inégalité (i).
On peut donc établir
•^> ! „ *
m — - m
2
Remplaçant m successivement par m4- i, m 4- 2,
jusqu'à 7i, on trouve, en ajoutant, l
J
— > — H 1 h . . . 1- - >
x m m -f- I iw + 2 « ni
ou
1
log > — H 1 1- . • -4- ~ > log —:
D \ m m+i w + 2 « //*
Remarque, — On voit par les calculs précédents qu'il est suffisant et nécessaire que m satisfasse à la condition
^ i ni ^ - •
2° Soit iti H- u2 -f- u3 -f- . . . une série ayant ux pour terme général} on sait (par un théorème qui est, je crois, de Raabe) que cette série sera convergente, ou diver- gente, selon que Tune des expressions
1 1 X
— I
ioglog.r, . . . approche d'une limite /r, qui est plus grande ou plus pe- tite que l'unité, x augmentant indéfiniment. Pour A = i, il est douteux si la série sera, ou non, convergente.
La loi delà formation de ces expressions est évidente.
En désignant par Fn e t Fn + l deux de ces expressions suc- cessives, on a
Le terme général de la série proposée est
T T i 1
ux = a ' " "' * J m *'' ' y//-H-1 - - ' ;
donc
ux —
—-- z= a m
et
, u* \ a
x[ 1 = —
Cette expression prend la forme-pour x = oo ; par les procédés ordinaires, on trouve, x augmentant indéfi-
lim a: ( — 1 ) = log-.
niment,
La série est donc convergente, ou divergente, selon qu'on a
1 O L ' - > ou < i , c'est-à-dire a<->
a c
Pour a = - 5 le cas reste douteux, et il faut prendre l'expression
dont la valeur réelle pour x == oo est nulle, c'est-à-dire plus petite que l'unité; donc la série est divergente pour a = - •i
3° Ici on a, pour le terme général,
donc
lfz+i m -f-
( 23 )
et, appliquant le même théorème que dans le cas précé- dent,
- ^ - — i ) = lim
m -h x rrr n — 01.
Donc la série est convergente ou divergente selon que
n — w > i .
Pour n — rn = i9 il faut prendre
I j* \ j \ j I \(\tr y* —— m - m
dont la valeur réelle pour x = oo est nulle, ce qui prouve la divergence pour n — m = i.
Note. — M. Fauquembergue a envoyé une solution analogue de la troisième partie.
