N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
L EZ
Questions proposées par M. Bourguet
Nouvelles annales de mathématiques 2e série, tome 16 (1877), p. 260-263
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QUESTIONS PROPOSÉES PAR M. BOVRGliET
(voir 2e serie, t. XV, p. 281);
SOLUTIONS DE M. LEZ.
Représentant par m et n les deux demi-cordes nor- males et perpendiculaires d'une conique ; p?, q* les pro- duits des rayons vecteurs des pieds de ces normales ; r, s les normales arrêtées à Vaxe focal; r1, sf les nor- males arrêtées à l'autre axe, £, u les rayons de cour- bure, démontrer les relations suivantes :
1 1 1 1 a7 b'1 p- q2
Ï ___ w'2. j_ }\ * mab p\a2 b2 p2/ pql
m « b a p^g7 p q a b
mp — na — r—~, - -f- - — - -f- - , mn = ta;
7 ab t u b a
t r r s
mr — ns, mr = ns , ———) r s b> r1 s* a-
— H- - = H - - - y - - • - - : = : I-f- - - , m n a1 m n b1
+-S' la b\7
n \o a J
(BOURGUET.)
Au point M (p, v) d'une ellipse b2x2 -f- a?y* =a*b*i la normale a pour équation y — v = — (x — p) 5 elle rencontre la courbe en M' ayant pour coordonnées
Par suite, on trouve que, en fonction de l'abscisse p, la corde normale MM' égale
ib(a*^r b*u? — o m — v L
La tangente au même point M a pour équation
elle coupe en deux points P, P' le cercle concentrique x2 -f- y~ -^ rt2 -f- &% lieu du sommet d'un angle droit
( 2Ô2 )
circonscrit à l'ellipse. Ces points ont pour coordonnées
__ a2 b* n±a*v y/ûV b*
a* b2v z p b*u. y ^ S2 -4- b*u.2
<J b*2
La tangente à l'ellipse, menée par le point P, peut donc être représentée par
ou plutôt par
b2py =: a2vx — s/a*-»1 -+- Z?6^^;
c»lle touche la courbe au point N, dont l'abscisse y est
fl4v / a- — a2
— — a3 i / ->
en fonction de p.
A l'aide de la formule (i), on a
Maintenant on sait que le produit des rayons vecteurs
de même
Quant aux normales arrêtées à Taxe focal, elles sont b -
en M, — [a' -f- b*?* — « V )2 = r,
N , t»2 j-J- — = s;
9 \a«-\- ^f*3— « y /
les mêmes normales arrêtées à l'autre axe ont pour lon- gueurs
Enfin les rayons de courbure sont
e„ M, ^ tl
e „N ) rt,
Cela posé, ou peut écrire de suite, en fonction de p et
n
, f)a i (la
ab
_. i ! *?2 - I - />2 T i
R e m a r q u a n t q u e — H • = ——r—- = -—•+•-—» on P H a & a "
retrouve facilement les relations énoncées plus haut, en combinant les huit expressions ci-dessus. Pour l'hyper- bole, on obtient les mêmes résultats; du reste, il suffit de faire b9 ~ — 52.
