Nouvelles approches en théorie du champ moyen dynamique : le cas du pouvoir thermoélectrique et celui de l’effet orbital d’un champ magnétique

dynamique : le cas du pouvoir thermo´electrique et celui de l’effet orbital d’un champ magn´etique

par

Louis-Fran¸cois Arsenault

th` ese pr´ esent´ ee au d´ epartement de physique

en vue de l’obtention du grade de docteur ` es sciences (Ph.D.)

FACULT´ E DES SCIENCES UNIVERSIT ´ E DE SHERBROOKE

Sherbrooke, Qu´ ebec, Canada, 19 f´ evrier 2013

Composition du jury

Le , le jury a accept´ e la th` ese de M. Arsenault dans sa version finale.

Prof. Claude Bourbonnais D´ epartement de physique

Pr´ esident-rapporteur

Prof. Andr´ e-Marie Tremblay D´ epartement de physique

Directeur de recherche

Prof. Louis Taillefer D´ epartement de physique

Michel Ferrero, chercheur CNRS

Centre de Physique Th´ eorique (CPHT), ´ Ecole Polytechnique Paris, France

membre externe

ii

Random blobs of power expressed as that which we all disregard, Ordered states of nature on a scale that no one thinks about, Don’t speak to me of anarchy of peace or calm revolt,

Man, we’re in a play of slow decay orchestrated by Boltzmann, It’s entropy, it’s not a human issue,

Entropy, it’s a matter of course, Entropy, energy at all levels,

Entropy, from it you can not divorce

And your pathetic moans of suffrage tend to lose all significance Extinction, degradation,

The natural outcomes of our ordered lives,

Power, motivation ; temporary fixtures for which we strive, Something in our synapses assures us we’re ok,

But in our disequilibrium we simply can not stay, It’s entropy ...

A solid proposition from a man unkempt as I, My affectatious I can not rectify,

But we are out of equilibrium unnaturally, A pang of consciousness of death,

And then you will agree,

Entropy par Bad Religion 1990 Cliquez pour ´ ecouter

iii

Sommaire

Les applications reli´ ees ` a la g´ en´ eration d’´ energie motivent la recherche de mat´ eriaux ayant un fort pouvoir thermo´ electrique (S). De plus, S nous renseigne sur certaines propri´ et´ es fondamentales des mat´ eriaux, comme, par exemple, la transition entre l’´ etat coh´ erent et incoh´ erent des quasi-particules lorsque la temp´ erature augmente. Empiri- quement, la pr´ esence de fortes interactions ´ electron-´ electron peut mener ` a un pouvoir thermo´ electrique g´ eant. Nous avons donc ´ etudi´ e le mod` ele le plus simple qui tient compte de ces fortes interactions, le mod` ele de Hubbard. La th´ eorie du champ moyen dynamique (DMFT) est tout indiqu´ ee dans ce cas. Nous nous sommes concentr´ es sur un syst` eme tri- dimensionnel (3d) cubique ` a face centr´ ee (fcc), et ce, pour plusieurs raisons. A) Ce type de cristal est tr` es commun dans la nature. B) La DMFT donne de tr` es bons r´ esultats en 3d et donc ce choix sert aussi de preuve de principe de la m´ ethode. C) Finalement, ` a cause de la frustration ´ electronique intrins` eque au fcc, celui-ci ne pr´ esente pas de sym´ etrie particule- trou, ce qui est tr` es favorable ` a l’apparition d’une grande valeur de S. Ce travail d´ emontre que lorsque le mat´ eriau est un isolant ` a demi-remplissage ` a cause des fortes interactions (isolant de Mott), il est possible d’obtenir de grands pouvoirs thermo´ electriques en le do- pant l´ eg` erement. C’est un r´ esultat pratique important. Du point de vue m´ ethodologique, nous avons montr´ e comment la limite de fr´ equence infinie de S et l’approche dite de Kelvin, qui consid` ere la limite de fr´ equence nulle avant la limite thermodynamique pour S, donnent des estimations fiables de la vraie limite continue (DC) dans les domaines de temp´ erature appropri´ ee. Ces deux approches facilitent grandement les calculs en court- circuitant la n´ ecessit´ e de recourir ` a de probl´ ematiques prolongements analytiques. Nous avons trouv´ e que la m´ ethode de calcul ` a fr´ equence infinie fonctionne bien lorsque les

´

echelles d’´ energie sont relativement faibles. En d’autres termes, cette approche donne une bonne repr´ esentation de S lorsque le syst` eme devient coh´ erent. Les calculs montrent aussi que la formule Kelvin est pr´ ecise lorsque la fonction spectrale des ´ electrons devient incoh´ erente, soit ` a plus haute temp´ erature. Dans la limite Kelvin, S est essentiellement

iv

l’entropie par particule, tel que propos´ e il y a longtemps. Nos r´ esultats d´ emontrent ainsi que la vision purement entropique de S est la bonne dans le r´ egime incoh´ erent, alors que dans le r´ egime coh´ erent, l’approche ` a fr´ equence infinie est meilleure. Nous avons utilis´ e une m´ ethode ` a la fine pointe, soit le Monte-Carlo quantique en temps continu pour r´ esoudre la DMFT. Pour permettre une exploration rapide du diagramme de phase, nous avons dˆ u d´ evelopper une nouvelle version de la m´ ethode des perturbations it´ er´ ees pour qu’elle soit applicable aussi ` a forte interaction au-del` a de la valeur critique de la transition de Mott.

Un autre sujet a aussi ´ et´ e abord´ e. L’effet orbital du champ magn´ etique dans les syst` emes

´

electroniques fortement corr´ el´ es est une question tr` es importante et peu d´ evelopp´ ee. Cela est d’autant plus essentiel depuis la d´ ecouverte des oscillations quantiques dans les su- praconducteurs ` a haute temp´ erature (haut-T

). Par d´ esir de d´ evelopper une m´ ethode la moins biais´ ee possible, nous avons d´ eriv´ e la DMFT lorsqu’un champ se couplant ` a l’op´ erateur ´ energie cin´ etique par la substitution de Peierls est pr´ esent. Ce type d’ap- proche est n´ ecessaire pour comprendre entre autres l’effet de la physique de Mott sur des ph´ enom` enes tels que les oscillations quantiques. Nous avons obtenu un r´ esultat tr` es important en d´ emontrant rigoureusement que la relation d’auto-coh´ erence de la DMFT et le syst` eme interm´ ediaire d’impuret´ e quantique restent les mˆ emes. L’effet du champ peut ˆ etre contenu dans la fonction de Green locale, ce qui constitue la grande diff´ erence avec le cas habituel. Ceci permet de continuer ` a utiliser les solutionneurs d’impuret´ es standards, qui sont de plus en plus puissants. Nous avons aussi d´ evelopp´ e la m´ ethode pour le cas d’un empilement de plans bidimensionnels selon z, ce qui permet d’´ etudier l’effet orbital du champ dans des nanostructures et mˆ eme dans les mat´ eriaux massifs, si le nombre de plans est suffisant pour obtenir la limite tridimensionnelle.

Mots cl´ es : Pouvoir thermo´ electrique, Th´ eorie du Champ Moyen Dynamique, Mod` ele de

Hubbard, Effet orbital du champ magn´ etique, ´ Electrons fortement corr´ el´ es, Mat´ eriaux

quantiques, Th´ eorie des perturbations it´ er´ ees

Remerciements

Les remerciements sont toujours difficiles ` a ´ ecrire ; on recherche ` a ne pas oublier per- sonne et, ` a la fin d’un si long parcours qu’est le doctorat (surtout le mien), tant de personnes ont compt´ e.

Je voudrais en premier lieu remercier mon directeur de recherche Andr´ e-Marie Trem- blay pour la confiance qu’il m’a accord´ ee, la grande libert´ e qu’il laisse ` a ses ´ etudiants, sa grande disponibilit´ e et sa gentillesse. Il ´ etait toujours l` a pour m’aider quand le besoin s’en faisait sentir. J’ai eu une chance ´ enorme au cours de mes ´ etudes sup´ erieures, maˆıtrise et doctorat, d’avoir des superviseurs qui m’ont support´ e et aid´ e. J’aimerais aussi remercier Sriram Shastry avec qui j’ai pu avoir une collaboration fructueuse et qui m’a accueilli ` a l’Universit´ e de Californie ` a Santa Cruz.

Je souhaite remercier mes coll` egues pr´ esents et pass´ es. ` A Rutgers, Jean-Fran¸cois, Haile et Tianjing (amie et coloc plus que coll` egue). ` A Sherbrooke, Shila, Giovanni, Syed Hassan, Dominique, Maxime etc. Un merci particulier ` a Patrick S´ emon pour ses codes, essentiels

`

a mon travail. Un grand merci ` a Dominic Bergeron, coll` egue et co´ equipier de lab au bac- calaur´ eat avec qui j’ai partag´ e le mˆ eme groupe ` a la maˆıtrise et au doctorat, car il ´ etait d´ ej` a dans le groupe que j’ai joint ` a Sherbrooke quand j’ai quitt´ e Rutgers. Par plusieurs concours de circonstances, Dominic a souvent r´ esolu astucieusement divers probl` emes pour lui-mˆ eme avant que ceux-ci se concr´ etisent pour moi. Grˆ ace ` a son aide, j’ai souvent pu r´ egler prestement plusieurs difficult´ es que j’ai rencontr´ ees durant cette th` ese sans y passer des semaines de frustration.

Durant la derni` ere ann´ ee de cette th` ese, la question g´ en´ erale de l’´ education sup´ erieure au Qu´ ebec s’est pos´ ee de fa¸con plutˆ ot bruyante, pour utiliser un euph´ emisme. J’ai sou- vent eu l’impression que le manich´ eisme mettant pr´ etendument en opposition les «carr´ es

vi

rouges» d’un cˆ ot´ e et le «vrai monde» de l’autre que certains ont sembl´ e vouloir ´ etablir, tendait ` a pr´ esenter une image de la soci´ et´ e o` u les parents ne d´ esirent pas que leurs en- fants r´ eussissent mieux et avec moins de difficult´ es. Dans cette perspective, l’´ education sup´ erieure n’est accessible qu’au prix d’un investissement purement individuel. Cette crise a montr´ e la dominance dans l’espace public de l’opinion et de l’analyse des adeptes du «gros bon sens». En tant que scientifique, j’ai tr` es tˆ ot ´ et´ e ` a mˆ eme de t´ emoigner de l’´ echec commun de cette caract´ eristique pr´ etendument humaine appel´ ee «gros bon sens», intuition ou raison, d´ ependamment du milieu o` u elle est utilis´ ee et ce, ` a maintes reprises.

Cela d´ emontrant que la domination m´ ediatique de commentateurs n’ayant aucune ex- pertise pr´ ecise est probl´ ematique et repr´ esente un danger ` a ne pas minimiser. En tant qu’amoureux des math´ ematiques, je fus ahuri de l’utilisation d’arguments bas´ es sur des valeurs moyennes sans pr´ eciser l’´ ecart type et sans mˆ eme expliquer que celui-ci existe et qu’une valeur moyenne seule ne veut absolument rien dire si les fluctuations autour de celle-ci ne sont pas sp´ ecifi´ ees. L’absence constante de d´ efinition du z´ ero ou des unit´ es

´

etait la norme. Peut-ˆ etre ont-ils raison, bien que je sois convaincu du contraire, mais cette utilisation d´ eficiente des outils math´ ematiques est ind´ ecente. Toute cette situation m’a grandement pein´ e, mais cela m’a aussi permis d’appr´ ecier encore plus la chance inou¨ıe que j’ai eu d’avoir les parents qui sont les miens. D’abord un grand-p` ere avec une qua- tri` eme ann´ ee qui souhaitait ardemment poursuivre des ´ etudes, mais qui par la suite, selon ses moyens, a donn´ e ` a ses enfants toute l’´ education possible ; ensuite jusqu’` a mes parents qui, eux aussi n’ont rien ´ epargn´ e pour que je puisse obtenir l’´ education dont je rˆ evais.

Ma chance n’a pas de prix. L’opportunit´ e que j’ai eue au cours de mon baccalaur´ eat de pouvoir seulement me concentrer sur celui-ci a ´ et´ e d´ eterminante. ´ Evidemment, sans mes parents, cela n’aurait jamais ´ et´ e possible. Parce qu’avec 5 000 $ de travail d’´ et´ e ` a travailler sur des projets de recherche plus 2 400 $ de prˆ et par ann´ ee, en divisant par 12, par 30 et par 24, cela donne 0,85 $/min ou si on pr´ ef` ere, un salaire horaire de 3,55

$ ` a 40 heures par semaine pour habiter un appartement, se nourrir, se vˆ etir, payer ses

frais de scolarit´ e ... Par cons´ equent, les voyages dans le Sud, c’´ etait limit´ e ` a des safa-

ris d’observation de la faune locale sur le boulevard Taschereau ` a Brossard. Ce concept

profond de l’importance de l’´ education est le plus important legs que mes parents m’ont

laiss´ e. Jamais je ne pourrai redonner tout ce qu’ils ont fait pour moi et je ne l’oublierai

pas le jour o` u je pourrai, ` a mon tour, contribuer ` a l’´ education de quelqu’un, qu’il soit de

ma famille ou seulement un membre de cette soci´ et´ e. Je n’oublierai jamais ce d´ esir de

permettre ` a tous d’avoir cette possibilit´ e de poursuivre ses rˆ eves.

Les derniers mois ont ´ et´ e riches en actions et ´ emotions dans ma vie personnelle. Merci infiniment ` a Marie et Gizmo qui m’ont accueilli et offert un toit pendant plusieurs mois.

Leur altruisme, leur g´ en´ erosit´ e et leur gentillesse est stratosph´ erique et j’aimerais pouvoir les remercier plus. Merci ` a Bianca de m’avoir laiss´ e aussi habiter dans son appartement pour les derniers moments avant mon d´ em´ enagement dans la Grosse Pomme. Un merci sp´ ecial ` a mes grands amis Val´ erie, Simon-Pierre et (mˆ eme !) Fred pour ˆ etre toujours l` a.

Merci ` a Marianne qui a partag´ e ma vie durant la majeure partie de mon doctorat. Merci aux diff´ erents caf´ es qui sont devenus mon bureau ... J’adresse peu la parole aux autres clients r´ eguliers, mais merci ` a Annie-Claude de m’y avoir tenu compagnie si souvent du- rant ces longues heures ` a survivre sur ces nombreux caf´ es au lait dans les derniers mois.

Le concept de pause shooter devrait certainement ˆ etre int´ egr´ e aux guides informatifs sur

«Comment bien ´ etudier» ! Je tiens de plus ` a remercier tous mes autres amis, en particulier la gang d’Alma, certains que je vois souvent, d’autres que je vois rarement, Guillaume Martel, Pierre-Luc Lajoie, Charles Laplante, Fran¸cois Bouchard, Pierre Lafortune, Fabien Tremblay, Jean-Fran¸cois Baron, Chantale Laprise, Martin Demers (un almatois Honoris Causa), David Harvey et tous ceux que j’oublie (d´ esol´ e !) et les membres de ma famille qui, d’une fa¸con ou d’une autre, ont facilit´ e mon travail.

Finalement, je voudrais remercier les professeurs Louis Taillefer, Claude Bourbonnais

et Michel Ferrero d’ˆ etre membres de mon jury et le CRSNG pour son appui financier.

Table des mati` eres

Sommaire iv

Table des mati` eres ix

Liste des figures xiii

Introduction 1

Perspective sur les syst` emes ´ electroniques fortement corr´ el´ es et les ph´ enom` enes

´ emergents . . . . 1

Probl´ ematiques nouvelles . . . . 8

Importance du transport et plus sp´ ecifiquement du pouvoir thermo´ electrique . 12 1 M´ ethodologie 18 1.1 Fonctions de Green . . . . 18

1.2 DMFT ` a un site en l’absence de brisure de sym´ etrie . . . . 21

1.2.1 D´ erivation d´ ecoulant de la fonctionnelle de Luttinger-Ward . . . . 22

1.2.2 Approche ` a la Vollhardt . . . . 24

1.2.3 D´ erivation ` a partir de la m´ ethode de la cavit´ e . . . . 27

1.3 Solutionneurs d’impuret´ es . . . . 32

1.3.1 Monte Carlo quantique en temps continu . . . . 32

1.3.2 Th´ eorie des perturbations it´ er´ ees . . . . 37

1.4 Transport . . . . 40

1.4.1 D´ efinition g´ en´ erale . . . . 40

1.4.2 Prolongement analytique . . . . 49

1.4.3 Evaluation de la limite DC en fr´ ´ equences r´ eelles . . . . 51

1.5 Approximations pour le pouvoir thermo´ electrique . . . . 52

1.5.1 Limite haute fr´ equence ; S

. . . . 53

ix

1.5.2 Limite lente ; S

. . . . 64

1.5.3 Approximation DC sans prolongement analytique . . . . 69

2 Article : IPT-D, une nouvelle th´ eorie des perturbations it´ er´ ees 74 I Introduction . . . . 76

II Mod` ele, DMFT et solutionneur d’impuret´ es . . . . 77

A Mod` ele et DMFT . . . . 77

B CTQMC . . . . 78

C IPT . . . . 78

III Insuffisance de IPT . . . . 78

A Extraction des param` etres du liquide de Fermi . . . . 78

B Comportement pr´ evu, tel qu’obtenu par CTQMC . . . . 79

C Insuffisance de IPT-n

. . . . 80

IV IPT avec double occupation, IPT-D . . . . 80

A Valeurs exactes et naives de la double occupation ` a fort couplage 81 B Pr´ ecision des param` etres du liquide de Fermi de IPT-D . . . . 82

C Pr´ ecision de la densit´ e d’´ etats et du potentiel chimique . . . . 82

D Energie et chaleur sp´ ´ ecifique . . . . 83

E R´ esistivit´ e DC . . . . 85

F Conductivit´ e optique . . . . 87

V Syst` eme multi-orbital . . . . 87

VI Conclusion . . . . 88

A Int´ egrateur . . . . 88

B Impl´ ementation de IPT-D . . . . 90

C Calcul de N

(ε) et de X(ε) . . . . 92

D Conductivit´ e optique . . . . 92

3 Article : Pouvoir thermo´ electrique et isolants de Mott dop´ es 95 I Introduction . . . . 97

II Mod` ele et m´ ethodes . . . . 98

A DMFT . . . . 98

B Pouvoir thermo´ electrique . . . . 98

III R´ esultats . . . . 100

A Limite de bande . . . . 100

B Limite faible et grand couplage . . . . 100

IV Autres mesures du pouvoir thermo´ electrique . . . . 101

V Sommaire . . . . 102

A Changement de signe du pouvoir thermo´ electrique autour de n = 1 pour U = 32t . . . . 103

B S

` a U = 32t . . . . 104

4 Compl´ ements aux r´ esultats de l’article du Chapitre 3 106 4.1 Pouvoir thermo´ electrique : r´ esum´ e pour un exp´ erimentateur ` a la recherche de grands S . . . . 106

4.2 Pr´ ecision sur la transition coh´ erence-incoh´ erence . . . . 108

4.3 Retour sur l’importance de l’asym´ etrie ` a basse temp´ erature . . . . 111

5 DMFT et champ magn´ etique orbital 122 5.1 Ajout d’un champ magn´ etique orbital . . . . 123

5.2 Cas sans int´ eraction . . . . 125

5.3 Cas avec interactions . . . . 128

5.4 DMFT d´ ependante du champ magn´ etique . . . . 136

5.5 Ajout d’un champ magn´ etique dans le plan pour N plans 2d coupl´ es et limite 3d . . . . 143

Conclusion 147 Annexe A Compl´ ements de calculs pour S

150 A.1 Limite T → 0 de L

. . . . 150

A.2 Comportement pour un liquide de Fermi . . . . 155

A.2.1 L

. . . . 155

A.2.2 L

. . . . 156

Annexe B Cubique ` a face centr´ ee dans le cas sans interaction 158 B.1 Temp´ erature de Fermi . . . . 158

B.2 D´ eriv´ ees de la Densit´ e d’´ etats et de la fonction de transport . . . . 165

B.3 Lorentzienne . . . . 170

Annexe C Prolongement analytique par approximants de Pad´ e 171

Annexe D Introduction ` a la m´ ethode de l’entropie maximale 173

Annexe E Comportement asymptotique de la fonction d’hybridation 176 E.1 Comportement asymptotique ` a B = 0 . . . . 176 E.2 Comportement asymptotique ` a B fini . . . . 178

Bibliographie 188

Liste des figures

1 Comportement universel du pouvoir thermo´ electrique ` a 290K en fonction de la densit´ e de trous dans le plan P

, pour diff´ erentes familles de cuprates dop´ es aux trous. Ils exhibent tous un changement de signe autour de P

= 0.25. Au-dessus de la ligne horizontale pleine, S ob´ eit la forme fonctionnelle S

(P

) = 392e

pour 0.01 < P

< 0.21. Au-dessous de la ligne horizontale pleine, S

(P

) = 40.47 − 163.4P

pour 0.21 < P

< 0.34.

La figure est tir´ ee de Phys. Rev. B 82, 214503 (2010) qui l’ont eux-mˆ emes tir´ ee de Phys. Rev. B 75(18), 184520 (2008) . . . . 14 2 Pouvoir thermo´ electrique en fonction de la temp´ erature pour F eSi

Ge

(x = 0.05, 0.25 : gauche, x = 0 : droite). La figure ins´ er´ ee montre S/T en fonction de T

pour x = 0.05 pour des T de 2 ` a 25K. La figure est tir´ ee de Physica B : Condensed Matter 230, 784 (1997) . . . . 15 3 (a) D´ ependance en temp´ erature du pouvoir thermo´ electrique des Fermions

lourds Y bT

Zn

o` u T est Fe, Ru, Os, Ir, Rh et Co. La figure ins´ er´ ee est S(T ) vs log(T ) (ici T la temp´ erature) pour Fe, Rh et Co.(b) Zoom ` a basse temp´ erature. Figure ins´ er´ ee pour T < 8K. La figure est tir´ ee de Phys.

Rev. B 86, 115110 (2012) . . . . 16 4 Pouvoir thermo´ electrique dans le plan de N aCo

O

cristallin. La figure

ins´ er´ ee montre le coefficient de Hall dans le plan (R

) pour le mˆ eme cristal.

La figure est tir´ ee de Phys. Rev. B 56, R12685 (1997) . . . . 17 1.1 Approximation de la cavit´ e. (a) Le r´ eseau original (b) Le r´ eseau original

est reformul´ e comme celui-ci moins un site plus un site seul. Les bons couplages sont conserv´ es et donc le probl` eme est toujours exact. (c) Le r´ eseau sans le site est remplac´ e par un champ moyen dynamique soit un bain d’´ electrons sans interactions coupl´ e au site seul. . . . . 28

xiii

1.2 Ω

χ

(Ω

) et χ

(Ω

) en fonction de Ω

` a basse fr´ equence pour U = 32t, n = 0.80 et β = 25 pour le mod` ele de Hubbard ` a une bande sur le r´ eseau fcc solutionn´ e avec la DMFT ` a un site en utlisant la CTQMC. . . . 71 2.1 Non-interacting density of states for the FCC lattice with nearest-neighbor

hopping only. The large particle-hole asymmetry caused by frustration is apparent. . . . . 78 2.2 (Color online)Results obtained with CTQMC as impurity solver are plot-

ted as a function of density and shown in blue with circles and line for

U = 8 and in black with dots and line for U = 32t. In all numerical

results, energy units are such that t = 1. Boltzmann’s constant and the

lattice spacing are also taken as unity. We obtain the zero-frequency limit

from a poor man’s approach : we take βt = 25, 50 and 75 and use the value

of the function at the lowest Matsubara frequency in the three cases to per-

form the extrapolation. (a) Check for Luttinger’s theorem : The effective

chemical potential ˜ µ = µ − Σ

(0) is equal to the non-interacting chemical

potential shown in red except at half-filling where there is a Mott gap for

U = 32t. (b) At U = 32t the imaginary part of the self-energy at zero

frequency Σ

(0) should be zero away from half-filling and infinite at half-

filling. (c) The single-particle spectral weight Z vanishes only at n = 1,

U = 32t where there is a Mott gap. . . . 79

2.3 (Color online) Fermi liquid parameters as a function of density. Zero fre- quency results are obtained with the same extrapolation method as in Fig. 2. (a) Check of Luttinger’s theorem. The effective chemical potential

˜

µ = µ − Σ

(0) should equal the non-interacting value, shown in red, when the theorem is satisfied. For U = 8t, the brown asterisks ( ∗ ) obtained with IPT n = n

satisfy the theorem. For U = 32t results for three different methods are shown : in kaki ( ) for IPT n = n

, in cyan (⋆) for IPT D

and in magenta ( ♢ ) for IPT ⟨ D ⟩

. (b) Σ

(0) is plotted for U = 32t in magenta ( ♢ ) for IPT ⟨ D ⟩

as above, and compared with the CT- QMC results shown previously in Fig.2.2 (black dots joined by a line).

(c) Quasiparticle spectral weight Z computed for different methods and displayed with the same symbols as in (a). We compare with the CTQMC results of Fig. 2, namely blue symbols ( ◦ ) with line for U = 8t and black symbols (.) with line for U = 32t. The results for IPT n = n

at U = 32t are un-physical since they predict an insulator away from half-filling. . . 80 2.4 (Color online) CTQMC results at U = 32t for double occupancy D − D

plotted as a function of temperature. We define D

= 0 for fillings n < 1 and D

= n − 1 for n > 1. The various densities are represented by different symbols : n = 0.2 (black ( ◦ )), 0.4 (blue ( × )), 0.6 (red ( )), 0.8 (green ( ♢ )), 1.0 (yellow (+)), 1.2 (cyan ( ▽ )), 1.4 (magenta ( △ )), 1.6 (brown ( ▹ )) and 1.8 (kaki (⋆)). The largest deviations from the naive value, occurring close to n = 1, are less than 10

in absolute value. . . . 81 2.5 (Color online) Double occupancy D as a function of density obtained from

CTQMC for U = 32t for three temperatures : β = 25/t (black ( )), β = 10/t (blue ( ◦ )) and β = 0.5/t (red ( · )). On this scale, the naive value of D is very accurate. The inset is a zoom for densities n ≤ 1. . . . . 81 2.6 (Color online) Density of states for n = 0.84, βt = 25 and U = 32t

obtained with three methods : black (solid line) with CTQMC maxent,

blue (- -) with IPT- ⟨ D ⟩

, and red (-.) with IPT-D

. (b) is a zoom

of (a) around ω = 0. The value at zero frequency is improved when a more

accurate value of D is used in IPT. . . . 83

2.7 (Color online) Chemical potential as a function of temperature for different IPT approximations, compared with the reference CTQMC calculations as black dots with line obtained for U = 32t and different densities : (a) n = 0.80, (b) n = 1.2 and (c) n = 0.84. The three different IPT approximations are given in kaki ( ) for IPT-n

, in cyan (⋆) for IPT- D

, and in magenta ( ♢ ) for IPT- ⟨ D ⟩

. The latter approximation in magenta ( ♢ ) is best, having a more or less doping and temperature independent offset δµ/t ∼ 0.5 when compared with the reference CTQMC in black. . . . 83 2.8 (Color online) Energy as a function of temperature obtained from IPT-D

(solid lines) and CTQMC (dashed lines) for U = 32t. (a) Densities equal to, or below half-filling n = 0.2 (black ( ◦ )), 0.4 (blue ( × )), 0.6 (red ( )), 0.8 (green ( ♢ )), 0.84 (cyan ( ▽ )), 0.88 (magenta ( △ )), 0.92 (brown ( ▹ )) and 1.0 (kaki (⋆)). For densities above half-filling, displayed in (b), n = 1.08 (black ( ◦ )), 1.2 (blue ( × )), 1.4 (red ( )), 1.6 (green ( ♢ )), 1.8 (cyan ( ▽ )), the quantity U D

is subtracted from the energy to allow the results to fit on the same scale. (c) is a zoom for n = 1.08 and (d) a zoom for n = 1.4. 84 2.9 (Color online) Specific heat at constant filling as a function of temperature

for U = 32t. (a) Results from IPT-D (solid line) for densities below half- filling : n = 0.2 (black ( ◦ )), 0.4 (blue ( × )), 0.6 (red ( )), 0.8 (green ( ♢ )), 0.84(cyan ( ▽ )), 0.88 (magenta ( △ )), 0.92 (brown ( ▹ )) and 1.0 (kaki (⋆)), (b) Specific heat from IPT-D (solid line) for densities above half-filling n = 1.08 (black ( ◦ )), 1.2 (blue ( × )), 1.4 (red ( )), 1.6 (green ( ♢ )), 1.8 (cyan ( ▽ )), (c) Comparison between IPT-D as solid lines and CTQMC as dashed lines for n = 0.6 (red ( )), 0.8 (green ( ♢ )) and 0.84(cyan ( ▽ )). The peak positions and shape coincide, even though the absolute values differ.

In this case, since CTQMC values comme from differentiation of Monte Carlo data, there is a rather large uncertainty, especially for peaks. . . . 85 2.10 Transport function X(ε) = ∑

k

(

∂kx

)

δ(ε − ε

), as calculated in Appendix

C. . . . . 86

2.11 (Color online) Resistivity as a function of temperature for U = 32t as calculated by IPT-D for different values of density : n = 0.2 (black ( ◦ )), 0.4 (blue ( × )), 0.6 (red ( )), 0.8 (green ( ♢ )), 1.2 (cyan ( ▽ )), 1.4 (magenta ( △ )), 1.6 (brown ( ▹ )) and 1.8 (kaki (⋆)). The resistivity are largest close to half-filling where they exhibit low coherence temperatures. . . . 86 2.12 (Color online) Optical conductivity for U = 32t and n = 0.80, as calcu-

lated from IPT-D for three different temperatures using two analytical continuation approaches for each temperature. The maximum entropy re- sults are represented with solid lines and the Pad´ e analytical continuations with dashed lines. The broadest zero-frequency peak (red ( × )) is for the largest temperature, β = 1/t, and the narrowest one (black ( ◦ )) for the lowest temperature, β = 25/t. The intermediate case, β = 2.3/t is in blue ( ). The features in the optical conductivity can be identified with tran- sitions between the Fermi level and peaks in the single-particle density of states. . . . 87 2.13 The special points for a 3d Gaussian quadrature of fifth order over a cube

of length 2h. . . . 89 2.14 Flow chart for the impurity solver loop in IPT. There is also an outer loop

for ∆, see text. . . . 90 2.15 Illustration of the Monte Carlo integration scheme used to obtain N

(ε)

and X(ε) . . . . 92 3.1 (Color online) S in µV /K for U = 0 as a function of T /t for different

values of density : n = 0.2 (black ( ◦ )), 0.4 (blue ( × )), 0.6 (red ( )), 0.8 (green ( ♢ )), 1.2 (cyan ( ▽ )), 1.4 (magenta ( △ )), 1.6 (brown ( ▹ )) and 1.8 (khaki (⋆)). . . . 99 3.2 (Color online) S

, S

and S

as a function of T /t as calculated

with IPT for Kubo and CTQMC for Kelvin and star for two values of

interaction U = 8t (a), (b), (c) and U = 32t (d), (e), (f) for different

values of density : n = 0.4 (black ( ◦ )), 0.6 (blue ( ∗ ), 0.8 (red ( )), 0.84

(black - - ( ▹ )), 0.88 (blue - - (⋆)), 0.92 (red - - ( × ))), 1.08 (green - - (◃))

1.2 (green ( ♢ )), 1.4 (cyan ( ▽ )) and 1.6 (magenta ( △ )). . . . . 100

3.3 (Color online) Sgn(S)/T

for U = 8t (a) and U = 32t (b) as a function of the density with the non-interacting value (black solid line) : S

(blue ( )), S

with only the first term (green ( ∗ )), S

(brown ( ♢ )) and S

(red ( ◦ )). . . . 102 3.4 (Color online) S

(black -), S

(blue - -), S

(red -.) and S

(magenta ◦ CTQMC) in µV /K for U = 32t as a function of density for T = 2t. In order to calculate S

we used IPT results. As shown in Fig. 3.5, in this temperature range, IPT-D gives essentially the same µ(T ) as CTQMC. . . . 103 3.5 (Color online) S

as a function of T /t as calculated with IPT (-) and

CTQMC (.-) for U = 32t. In (a) values of filling farther away from n = 1 and (b) fillings closest to n = 1 : n = 0.4 (black ( ◦ )), 0.6 (blue ( ∗ ), 0.8 (red ( )), 0.84 (black - - ( ▹ )), 0.88 (blue - - (⋆)), 0.92 (red - - ( × ))), 1.08 (green - - (◃)) 1.2 (green ( ♢ )), 1.4 (cyan ( ▽ )) and 1.6 (magenta ( △ )). . . 105 4.1 Pouvoir thermo´ electrique en fonction de la densit´ e pour un isolant de Mott

dop´ e ` a large bande interdite (mod` ele de Hubbard U = 32t ou deux fois la largeur de bande) pour diff´ erentes temp´ eratures : (noir) T = 0.1t, (bleu) T = 0.25t, (rouge) T = t et (magenta) T = 2t. Le cas de la limite atomique est illustr´ e par la courbe noire points-tirets (.-) . . . . 112 4.2 R´ esistivit´ e en fonction du remplissage pour un isolant de Mott dop´ e ` a large

bande interdite (mod` ele de Hubbard U = 32t ou deux fois la largeur de bande) dans le r´ egime incoh´ erent T = 2t . . . . 113 4.3 L

en fonction du remplissage pour un isolant de Mott dop´ e ` a large bande

interdite (mod` ele de Hubbard U = 32t ou deux fois la largeur de bande) dans le r´ egime incoh´ erent T = 2t . . . . 114 4.4 Densit´ e d’´ etats pour diff´ erentes temp´ eratures (mod` ele de Hubbard U =

32t ou deux fois la largeur de bande et n = 0.80). La bande de Hubbard sup´ erieure est situ´ ee ` a des fr´ equences plus ´ elev´ ees qui ne sont pas trac´ ees ici.115 4.5 Fonction spectrale pour diff´ erentes valeurs de ε

pour plusieurs temp´ eratures

dans le cas U = 32t et n = 0.80. Les lignes pointill´ ees rouges correspondent

`

a ± 5T . . . . . 116

4.6 Fonction S(ε, ω) pour diff´ erentes valeurs de ε pour plusieurs temp´ eratures dans le cas U = 32t et n = 0.80. Les lignes pointill´ ees rouges correspondent

`

a ± 5T . . . . . 117

4.7 Pouvoir thermo´ electrique en fonction de la densit´ e ` a T = 2t pour U = 8t (noir) et U = 32t (rouge tirets-tirets) . . . . 118

4.8 1/L

en fonction de la densit´ e ` a T = 2t pour U = 8t (noir) et U = 32t (rouge tirets-tirets) . . . . 119

4.9 − L

en fonction de la densit´ e ` a T = 2t pour U = 8t (noir) et U = 32t (rouge tirets-tirets) . . . . 120

4.10 Partie imaginaire de la self-energy divis´ ee par T

en fonction de ω/T pour diff´ erentes temp´ eratures ` a U = 32t . . . . 121

5.1 Repr´ esentation vectorielle du chemin i → j . . . . 124

5.2 Chemin ferm´ e du facteur de phase B · S

. . . . 127

5.3 Les diagrammes de self-energy pour le mod` ele de Hubbard jusqu’au qua- tri` eme ordre. Les lignes solides sont pour les fonctions de Green sans in- teraction et les lignes pointill´ ees repr´ esentent l’interaction de Coulomb. Reproduit de Phys. Rev. B 50, 6939 (1994) . . . . 129

5.4 Exemple de diagramme d’ordre 4 . . . . 130

5.5 Vue du haut du premier plan . . . . 143

5.6 Vue 3d du premier plan . . . . 144

B.1 T

en fonction de l’´ energie de Fermi . . . . 163

B.2 T

en fonction de la densit´ e . . . . 164

B.3 Fonction N

(ω) . . . . 166

B.4 Fonction X

(ω) . . . . 167

B.5 Fonction X

(ω) . . . . 168

B.6 Fonction X

(ω) . . . . 169

Introduction

Perspective sur les syst` emes ´ electroniques fortement corr´ el´ es et les ph´ enom` enes ´ emergents

Dans un article de 2003, P. Coleman [1] d´ eclare ` a propos de la physique ` a N-corps :

«The study of many-body physics has provided a scientific playground of surprise and continuing revolution over the past half century. The serendipitous discovery of new states and properties of matter, phenomena such as superfluidity, the Meissner, the Kondo and the fractional quantum hall effects, have driven the development of new conceptual fra- meworks for our understanding about collective behavior, the ramifications of which have spread far beyond the confines of terrestrial condensed matter physics to cosmology, nu- clear and particle physics.»

Nous pouvons par exemple rappeler que le coeur des ´ etoiles ` a neutrons est supraconduc- teur et superfluide ` a la fois. En effet, le mod` ele g´ en´ eralement accept´ e est que l’int´ erieur contient surtout des neutrons ainsi qu’un nombre moindre d’´ electrons et de protons. La nature de ces ´ etoiles force les neutrons ` a former des paires de Cooper et devenir su- perfluide alors que les protons, charg´ es, forment aussi des paires de Cooper mais pour devenir supraconducteur [2]. De plus, les brisures spontan´ ees de sym´ etries (le m´ ecanisme de Higgs) [3] et plus r´ ecemment la relation th´ eorique entre un syst` eme critique quantique en d dimensions et un trou noir en d+1 dimensions [4] sont des liens directs reliant l’´ etude des ph´ enom` enes collectifs en m´ ecanique quantique.

Le principe dominant en science depuis la Gr` ece antique (un des seuls exemples o` u d´ ebuter son texte par le fameux «Depuis la nuit des temps. . . » est acceptable.) est ce-

1

lui du r´ eductionnisme, soit la notion qu’` a partir du moment o` u les lois de la nature r´ egissant le comportement au plus petit niveau possible sont connues, il est envisageable de connaˆıtre et pr´ edire tous les ph´ enom` enes pr´ esents dans l’univers. Cette approche a ´ et´ e exceptionnellement fructueuse historiquement. Par contre, est-ce que la constatation em- pirique de cette r´ eussite est suffisante pour pr´ etendre que la nature adopte n´ ecessairement ce principe ? La question reste ouverte.

Compl´ ementaire (ou mˆ eme en opposition pour certains) au r´ eductionnisme apparaˆıt dans les derni` eres d´ ecennies le concept des ph´ enom` enes ´ emergents soit le principe d’´ emergence.

Dans son article fondateur «More is different» [5] il y a maintenant 40 ans, Phil Anderson d´ eclare :

«. . . at each new level of complexity, entirely new properties appear, and the unders- tanding of these behaviors requires research which I think is as fundamental in its nature as any other.»

L’id´ ee du ph´ enom` ene ´ emergent tient dans l’observation que si nous disposons d’un syst` eme compos´ e d’un nombre ´ enorme d’objets (des milliards de milliards pour les

´

electrons par exemple) et que nous performons des mesures sur celui-ci, les propri´ et´ es physiques qui sont mesur´ ees sont plus que la somme des propri´ et´ es individuelles des ob- jets composant le syst` eme. Il existe un moment o` u le nombre de constituants est assez grand pour que de nouvelles propri´ et´ es ´ emergent. Les objets individuels sont remplac´ es par un ph´ enom` ene collectif. C’est le domaine o` u la physique d´ ecoule de l’interaction plutˆ ot que des propri´ et´ es individuelles des objets. Ce concept est large et ´ etait discut´ e par exemple dans le cadre de l’´ ecologie bien avant qu’on s’y int´ eresse en m´ ecanique quantique. La grande diff´ erence entre un ph´ enom` ene collectif classique et quantique est que dans un syst` eme classique, les objets ne perdent jamais totalement leur unicit´ e. En m´ ecanique quantique, ´ etant donn´ e le ph´ enom` ene ´ emergent, l’objet individuel (´ electron) cesse vraiment d’exister en tant qu’entit´ e et c’est vraiment seulement le ph´ enom` ene col- lectif qui existe et ce que l’on pourrait peut-ˆ etre appeler ´ electron dans ce cas n’est que la repr´ esentation de cet ´ etat. Cela am` ene donc ` a se demander si la connaissance seule des lois microscopiques est suffisante ou si, pour pr´ edire des ph´ enom` enes ` a plus grande

´

echelle, des principes organisationnels g´ en´ eraux sont n´ ecessaires ? Anderson [5] remar-

quait d´ ej` a en 1972 (les caract` eres gras sont de l’auteur du pr´ esent texte) :

«. . . The main fallacy in this kind of thinking is that the reductionist hypothesis does not by any means imply a constructionis one : The ability to reduce everything to simple fundamental laws does not imply the ability to start from those laws and reconstruct the universe. In fact, the more the elementary particle physicists tell us about the nature of the fundamental laws, the less relevance they seem to have to the very real problems of the rest of science, much less to those of society. The constructionist hypothesis breaks down when confronted with the twin difficulties of scale and complexity. The behavior of large and complex aggregates of elementary particles, it turns out, is not to be un- derstood in terms of a simple extrapolation of the properties of a few particles. ... At each stage entirely new laws, concepts, and generalizations are necessary, re- quiring inspiration and creativity to just as great a degree as in the previous one. Psychology is not applied biology, nor is biology applied chemistry. . .»

La perspective d’Anderson telle que stipul´ ee en 1972 en est une de compl´ ementarit´ e, le r´ eductionnisme et l’´ emergence sont des principes essentiels et non mutuellement ex- clusifs. Avec le temps, certains ont commenc´ e ` a adopter une philosophie plus «radicale»

o` u l’´ emergence remplacerait tout simplement le r´ eductionnisme. Le partisan principal de cette approche est Bob Laughlin. Dans un article r´ esumant son opinion avec David Pines [6] :

«. . . So the triumph of the reductionism of the Greeks is a pyrrhic victory : We have succeeded in reducing all of ordinary physical behavior to a simple, correct Theory of Everything only to discover that it has revealed exactly nothing about many things of great importance. . .».

Plus loin, il d´ eclare (encore une fois les caract` eres gras de l’auteur du pr´ esent texte) :

«. . . These things are clearly true, yet they cannot be deduced by direct calculation

from the Theory of Everything, for exact results cannot be predicted by approximate

calculations. This point is still not understood by many professional physicists, who find

it easier to believe that a deductive link exists and has only to be discovered than to face

the truth that there is no link. But it is true nonetheless. Experiments of this kind work

because there are higher organizing principles in nature that make them work.

The Josephson quantum is exact because of the principle of continuous symmetry brea- king. The quantum Hall effect is exact because of localization. Neither of these things can be deduced from microscopics, and both are transcendent, in that they would continue to be true and to lead to exact results even if the Theory of Everything were changed.

Thus the existence of these effects is profoundly important, for it shows us that for at least some fundamental things in nature the Theory of Everything is irrelevant. . . .The emergent physical phenomena regulated by higher organizing principles have a property, namely their insensitivity to microscopics, that is directly relevant to the broad question of what is knowable in the deepest sense of the term...

The belief on the part of many that the renormalizability of the universe is a constraint on an underlying microscopic Theory of Everything rather than an emergent property is nothing but an unfalsifiable article of faith... It could very well turn out that the Big Bang is the ultimate emergent phenomenon, for it is impossible to miss the similarity between the large-scale structure recently discovered in the density of galaxies and the structure of styrofoam, popcorn, or puffed cereals.»

Finalement, Laughlin conclut [6] (les caract` eres gras sont de l’auteur du pr´ esent texte) :

«In his book The End of Science John Horgan argues that our civilization is now fa- cing barriers to the acquisition of knowledge so fundamental that the Golden Age of Science must be thought of as over. It is an instructive and humbling experience to attempt explaining this idea to a child. The outcome is always the same. The child eventually stops listening, smiles politely, and then runs off to explore the countless infinities of new things in his or her world. Horgan’s book might more properly have been called the End of Reductionism, for it is actually a call to those of us concerned with the health of physical science to face the truth that in most respects the reductionist ideal has reached its limits as a guiding principle. . .».

La question est ouverte, r´ eductionnisme, r´ eductionnisme+´ emergence ou ´ emergence seule ?

Il existe de plus aussi une composante sociologique importante ` a ce d´ ebat. En effet,

comment d´ efinit-on science fondamentale versus science appliqu´ ee ? Est-ce seulement

un concept qui a le moindre sens et non juste une construction sociale permettant

d’´ etablir une ´ echelle d’importance, une chaˆıne alimentaire de l’activit´ e intellectuelle ?

Si le r´ eductionnisme est la r´ eponse, la premi` ere impression (simpliste) que cela donne est qu’alors les scientifiques qui ´ etudient vraiment des choses fondamentales sont seule- ment ceux qui travaillent sur les lois de l’absolu microscopique. Dans cette optique, il existe une diff´ erenciation claire entre science fondamentale et appliqu´ ee.

Le mot simpliste a ´ et´ e ajout´ e ` a cette assertion puisque mˆ eme si le r´ eductionnisme

´

etait finalement la bonne et seule approche, il apparaˆıt clair que d´ eclarer cette sup- pos´ ee s´ eparation draconienne entre fondamental et appliqu´ e n’est rien de plus qu’une construction sociale. Un argument allant dans cette veine est la comparaison entre ce qui se passait en Occident par opposition ` a l’Union Sovi´ etique. En URSS o` u cette suppos´ ee dichotomie n’existait pas, les plus grands physiciens de ce pays seraient pour la plupart consid´ er´ es comme des physiciens de la mati` ere condens´ ee aujourd’hui bien que pour eux,

¸ca n’avait pas d’importance. ´ Evidemment, leurs contributions sont utiles dans tous les domaines de la physique. Rien n’indique que la raison tient dans la diff´ erence de syst` eme politique, mais cela montre que dans deux soci´ et´ es relativement isol´ ees l’une de l’autre, la sociologie des sciences s’est av´ er´ ee ˆ etre diff´ erente.

R´ eductionnisme ou pas, l’avancement dans un secteur a bien souvent un impact di- rect dans l’autre, voir plus souvent qu’autrement une correspondance un ` a un. Ainsi, si expliquer une chose explique finalement aussi autre chose, il devient difficile de d´ eclarer l’une ou l’autre comme fondamentale. Dans les ann´ ees 70, la qualit´ e des semi-conducteurs qui sont fabriqu´ es devient de plus en plus grande. Cela d´ ecoule surtout de la demande de l’industrie de l’´ electronique. L’une des cons´ equences fut la possibilit´ e de produire des syst` emes de gaz d’´ electrons en deux dimensions de grande qualit´ e. Il fut ainsi d´ ecouvert que lorsque ceux-ci sont plong´ es, ` a tr` es basse temp´ erature, dans un champ magn´ etique in- tense, une surprise de taille apparaˆıt, soit un ph´ enom` ene appel´ e effet Hall quantique [7,8].

C’est un effet quantique nouveau, compl` etement inattendu, que personne n’avait pr´ edit ou imagin´ e avant. Nous savons maintenant qu’un ph´ enom` ene collectif o` u les ´ electrons et des flux ´ el´ ementaires de champs magn´ etiques se lient ensemble pour donner un nouveau type d’objet qui ressemble ` a des ´ electrons avec des charges fractionnaires. Ces syst` emes sont des candidats de choix pour observer toutes sortes d’´ etats de la mati` ere ´ etranges

´

etudi´ es en physique des particules en g´ en´ eral, mais non accessibles pour eux. N’eut ´ et´ e

de l’am´ elioration de la qualit´ e de la fabrication des mat´ eriaux semi-conducteurs (ici nous

parlons de mat´ eriaux de quelques centaines de couches atomiques d’´ epaisseur), ce nou-

veau ph´ enom` ene quantique n’aurait probablement jamais ´ et´ e d´ ecouvert.

Kamerlingh Onnes de l’universit´ e de Leiden et son ´ equipe, apr` es avoir ´ et´ e les premiers

`

a liqu´ efier l’h´ elium, plong` erent en 1911 un fil de mercure (solide ` a cette temp´ erature) dans l’h´ elium liquide et mesur` erent sa r´ esistivit´ e ´ electrique. ` A leur grande stup´ efaction, la r´ esistivit´ e ´ electrique en fonction de la temp´ erature, au lieu de tendre doucement vers z´ ero (propos´ e par Dewar), vers une constante ` a z´ ero temp´ erature (propos´ e par Matthis- sen) ou vers l’infini (propos´ e par Kelvin), pr´ esente plutˆ ot une transition abrupte ` a 4.2 Kelvin (-268.8 Celcius) o` u elle passe d’une valeur finie ` a une valeur identiquement nulle et ce pour toutes les temp´ eratures plus basses. Ce ph´ enom` ene est appel´ e supraconducti- vit´ e. Dans ce ph´ enom` ene, la m´ ecanique quantique s’applique au volume macroscopique du mat´ eriau. L’autre caract´ eristique fondamentale d’un supraconducteur est que celui-ci expulse tout champ magn´ etique qui essaie d’y p´ en´ etrer (effet Meisner). Par cons´ equent un supraconducteur dans un champ magn´ etique l´ evite. Avant de continuer, il est int´ eressant de mentionner que Kamerlingh Onnes [9] est : «le premier ` a construire un laboratoire acad´ emique quasi-industriel d´ edi´ e ` a la cryog´ enie tout en r´ eunissant des physiciens, chi- mistes et m´ ecaniciens pour mener ` a bien ses exp´ eriences. Il ira mˆ eme jusqu’` a fonder une

´

ecole de souffleurs de verre ` a Leyde, indispensables pour fabriquer les diff´ erentes parois en verre du dispositif.»

La supraconductivit´ e est l’exemple type de ce qui est appel´ e aujourd’hui une brisure spon- tan´ ee de sym´ etrie. Ce concept est l’un des piliers du mod` ele standard et de la physique des particules en g´ en´ eral. Le concept de sym´ etrie est central dans la vision moderne de la physique. Emmy Noether, une tr` es grande math´ ematicienne qui est malheureusement encore aujourd’hui m´ econnue en dehors du milieu des th´ eoriciens travaillant en th´ eorie quantique des champs/physique ` a N-corps [10](le NY Times nous fait un peu mentir l` a-dessus, voir [10]) ´ enon¸ca au 20

si` ecle un th´ eor` eme vraiment important liant sym´ etries de la nature et lois de conservations. Elle montra que pour chaque sym´ etrie continue d´ ecouverte dans un syst` eme, une loi de conservation lui est associ´ ee. Par exemple, l’in- variance en translation est la cause de la conservation de la quantit´ e de mouvement et l’invariance sous translation du temps est ce qui explique la conservation de l’´ energie.

Evidemment, ` ´ a cause de l’´ emergence et de l’apparition dans les syst` emes macroscopiques

de ce que nous appelons la dissipation (la friction est un exemple), le deuxi` eme principe

de la thermodynamique existe et exclut une stricte invariance sous translation du temps.

Mais, bien souvent, c’est une approximation bien utile pour des temps courts. Apr` es les travaux de Landau sur les transitions de phases, il fut compris que les ´ equations d´ ecrivant les lois de la physique pr´ esentent toujours un haut taux de sym´ etrie, mais que l’exp´ erience montre que la nature tend ` a choisir une solution de moindre sym´ etrie. Ceci est bizarre puisque nous nous attendrions ` a ce que la solution pour l’´ etat fondamental ait la mˆ eme sym´ etrie que les ´ equations la d´ ecrivant.

Dans les ann´ ees 30, il fut d´ ecouvert que la r´ esistance ´ electrique de certains mat´ eriaux qui ne deviennent pas supraconducteur ` a basse temp´ erature atteint bizarrement un minimum pour une faible temp´ erature, non nulle, pour ensuite remonter pour les temp´ eratures plus basses (effet Kondo) [11]. Plus de 80 ans plus tard, nous comprenons maintenant que le r´ esultat de cette exp´ erience simple n’est autre chose qu’un exemple de ce qui est appel´ e la libert´ e asymptotique (comme pour les quarks). Ce probl` eme particulier (effet Kondo) a permis de d´ evelopper un nombre incalculable d’outils math´ ematiques et de concepts essentiels dans tous les domaines de la physique. L’exemple le plus probant est ce que nous appelons aujourd’hui la renormalisation. C’est l’id´ ee que dans un syst` eme il y a un grand nombre d’´ echelles d’´ energies et que si nous sommes seulement int´ eress´ es ` a ce qui arrive ` a plus basse ´ energie (ce qui est le cas habituellement puisqu’ici basse et haute

´

energie ne sont pas des ´ echelles absolues et donc elles sont d´ efinies pour chaque syst` eme particulier ´ etudi´ e.), il existe un moyen syst´ ematique de faire disparaˆıtre les degr´ es de libert´ e ` a haute ´ energie.

Ces exemples montrent bien que dans le domaine de l’´ emergence, chaque nouveau syst` eme est un univers diff´ erent et que nous ne savons jamais d’avance quelle mine d’information sur la physique travailler ` a sa compr´ ehension peut contenir.

Dans la section suivante, nous allons voir qu’en pratique en physique de la mati` ere

condens´ ee, d´ ependamment du mat´ eriau ´ etudi´ e (syst` eme), une approche alliant r´ eduction-

isme et constructivisme ou une se concentrant plutˆ ot sur l’´ emergence, o` u les d´ etails mi-

croscopiques ne sont pas si importants, peut ˆ etre utilis´ ee. Nous verrons que ce qui dicte

le choix est en g´ en´ eral la pr´ esence d’interactions fortes entre les charges.

Probl´ ematiques nouvelles

Nous comprenons maintenant relativement bien (le d´ esordre par exemple est toujours mal compris) les syst` emes faiblement corr´ el´ es comme les m´ etaux simples et les semi- conducteurs. Ceux-ci peuvent ˆ etre consid´ er´ es dans une perspective d’un ´ electron sans interaction dont les param` etres sont renormalis´ es. Ainsi, l’information physique est conte- nue dans la structure de bande. L’applicabilit´ e de cette approche nous est donn´ ee par la th´ eorie du liquide de Fermi qui montre comment un syst` eme dont l’Hamiltonien contient l’interaction pour N-corps (r´ eductionisme) H = − ∑

i

∇²i

2mi

+ ∑

i

V (r

) + ∑

i̸=j e²

|ri−rj|

peut ˆ

etre repr´ esent´ e dans certains cas, par le comportement d’un ´ electron dans un r´ eseau cris- tallin avec param` etres renormalis´ es. Nous remarquons ici que nous supposons l’applicabi- lit´ e de l’approximation de Born-Oppenheimer qui permet de s´ eparer la partie ´ electronique de la partie ionique et de consid´ erer l’influence des ions dans le H comme un champ sta- tique. Les fluctuations quantiques dues au mouvement des ions et leur interaction avec les ´ electrons sont trait´ ees s´ epar´ ement. Cette approximation se justifie grˆ ace au grand nombre d’ordres de grandeur s´ eparant la masse des ´ electrons et des ions. Ainsi, dans les syst` emes faiblement corr´ el´ es, comme pour un gaz d’´ electron libre avec diffusion par des impuret´ es statiques, la chaleur sp´ ecifique et le pouvoir thermo´ electrique sont lin´ eaires en temp´ erature (T ) alors que la r´ esistivit´ e est quadratique en T .

La th´ eorie du liquide de Fermi (FLT) montre de fa¸con qualitative que les param` etres sont renormalis´ es. La fa¸con moderne d’obtenir des valeurs quantitatives se fonde en premier sur une m´ ethode appel´ ee th´ eorie de la fonctionnelle de densit´ e (DFT), qui allie r´ eductionisme plus constructionisme. Elle est bas´ ee sur le th´ eor` eme d’Hohnenberg-Kohn [12] qui montre qu’existe une fonctionnelle de la densit´ e ´ electronique n(r) et que celle-ci est minimis´ ee pour le n(r) physique et que la valeur de cette fonctionnelle au minimum donne l’´ energie de l’´ etat fondamental. Celle-ci peut ˆ etre exprim´ ee comme

Φ [ { n(r) } ] = Φ

[ { n(r) } ] +

∫

drV

(r)n(r). (1)

La partie universelle Φ

[ { n(r) } ] d´ epend seulement de la masse des ´ electrons et de

l’interaction alors que V

(r) sp´ ecifie le mat´ eriau particulier. Le probl` eme est que

Φ

[ { n(r) } ] est inconnue. Techniquement, la solution utilis´ ee est de r´ e´ ecrire la condi-

tion de minimisation en terme de la solution d’un probl` eme auxiliaire, c’est-` a-dire sous

la forme d’une ´ equation de Schr¨ odinger ` a une particule avec un potentiel effectif dit de Kohn-Sham V

dont la partie effective est appel´ ee d’´ echange-corr´ elation V

[ { n(r)]

d´ etermin´ ee par la densit´ e. L’art de la m´ ethode est de trouver une bonne approximation pour V

. La fa¸con la plus simple propos´ ee est d’utiliser la forme de d´ ependance en den- sit´ e obtenue pour le cas d’un gaz d’´ electrons dans le mod` ele du Jellium ( ∝ n

). Ainsi le potentiel de Kohn-Sham est donn´ e par V

[n(r)] = V

(r) + V

(r) + V

[ { n(r)].

Les bandes i sont d´ etermin´ ees par la solution de [ −∇ + V

[n(r)]] ψ

(r) = ε

ψ

(r), o` u k est la quantit´ e de mouvement cristalline. Rigoureusement, les orbitales ψ

n’ont aucune signification physique puisqu’elles existent seulement comme fonctions pour construire la densit´ e, mais dans le cas faiblement corr´ el´ e, le r´ esultat ressemble ` a la r´ ealit´ e.

Une fois que les ψ

et les ε

sont connues, nous pouvons les utiliser comme ordre z´ ero de la th´ eorie des perturbations. C’est-` a-dire que nous pouvons construire une s´ erie pertur- bative en terme de ∑

ij e²

|ri−rj|

− ∑

i

V

(r

). Cette fa¸con de proc´ eder permet d’obtenir des valeurs de bandes interdites et de largeurs de bandes qui correspondent avec l’exp´ erience de l’ordre de un pour cent. Cette approche permet aussi de calculer quantitativement les param` etres renormalis´ es que la th´ eorie du liquide de Fermi donne qualitativement. Toute cette machinerie fonctionne bien pour les mat´ eriaux faiblement corr´ el´ es. Pour toute cette classe de mat´ eriaux, la pr´ esence d’un nombre impair d’´ electrons signifie que le mat´ eriau est m´ etallique puisque chaque bande contient au plus deux ´ electrons par vecteur d’onde selon le principe d’exclusion.

Mais, dans certains mat´ eriaux comme par exemple des oxydes de m´ etaux de transi- tion comme le CoO, N iO, F eO, M nO, V

O

pour ne nommer que ceux-l` a, malgr´ e que la th´ eorie des bandes pr´ edise un m´ etal, ces syst` emes sont des isolants avec une large bande interdite de l’ordre de 2-4 eV . Les cuprates non dop´ es en sont aussi un exemple. Pour ces syst` emes, l’approche DFT+FLT ´ echoue lamentablement. Ce nouveau type d’isolant est appel´ e isolant de Mott et la nature de cette phase isolante se trouve dans l’interaction

´

electron-´ electron, c’est-` a-dire un effet de la partie particule de la dualit´ e onde-corpuscule.

Dans ces mat´ eriaux, la r´ epulsion coulombienne est si forte qu’il est ´ energ´ etiquement tr` es

peu favorable pour deux ´ electrons d’ˆ etre spatialement rapproch´ es. Si nous adoptons une

vision du probl` eme o` u les ´ electrons peuvent seulement ˆ etre situ´ es sur un site du r´ eseau

et que le syst` eme est ` a demi-rempli soit un ´ electron sur chaque site, le coˆ ut ´ energ´ etique

pour qu’un des ´ electrons saute sur un autre site est trop ´ elev´ e et il pr´ ef´ erera rester ` a

sa position. D’o` u l’´ etat isolant alors que les bandes ne sont que partiellement remplies.

Dans le cas de l’isolant de Mott, c’est le point de vue de l’espace r´ eel qui doit ˆ etre adopt´ e.

Etant donn´ ´ e la forte interaction ´ electron-´ electron, c’est une image de physique atomique qui doit ˆ etre choisie comme nouvel ordre z´ ero de perturbation.

Si nous s´ eparons l’Hamiltonien du syst` eme en deux termes, l’un repr´ esentant l’´ energie cin´ etique et l’autre l’interaction de Coulomb soit

H = H

+ H

, (2)

nous pouvons r´ esumer que dans la limite de bande o` u (

Hcin

≪ 1 )

nous pouvons effec- tuer la th´ eorie des perturbations en interaction de Coulomb et les ´ electrons se com- portent comme des ondes dans l’espace de la quantit´ e de mouvement. Dans ce cas, H

+ H

→ H

est le point de d´ epart de la th´ eorie des perturbations et la nature des

´

etats est soit m´ etallique ou isolant de bande. Dans la limite oppos´ ee, la limite atomique, la th´ eorie des perturbations se fait maintenant en fonction de H

et les ´ electrons ont la nature de particules. Les ´ etats de d´ epart sont ceux localis´ es sur un atome soit aucun, un ou deux ´ electrons i.e. | 0 ⟩ , |↑⟩ , |↓⟩ et |↑↓⟩ . Dans ce cas, nous obtenons des isolants de Mott ou des isolants de Mott dop´ es si nous for¸cons le syst` eme ` a ˆ etre diff´ erent du demi remplis- sage. Mais qu’arrive-t-il si nous sommes entre ces deux limites bien d´ efinies ? C’est-` a-dire lorsque H

≈ H

. Dans ce cas, il n’existe pas de base pour effectuer une th´ eorie des perturbations et le syst` eme est totalement non perturbatif.

Le mod` ele le plus simple qui capture cette physique est appel´ e le mod` ele de Hubbard ` a

une bande [13]. Il est obtenu lorsque seul le terme dominant de l’interaction est conserv´ e

lorsque l’Hamiltonien standard est projet´ e sur un mod` ele sur r´ eseau dit tight-binding

(TB). Il fut propos´ e par Hubbard en 1963 dans le but de comprendre les effets de

corr´ elation pour les ´ electrons d dans les m´ etaux. Comme nous avons d´ ej` a discut´ e, les

m´ etaux de transition qui pr´ esentent des bandes d partiellement remplies sont mieux

d´ ecrits en fonction d’´ electrons localis´ es. Par contre, pour certaines mesures, le caract` ere

ondulatoire semble ˆ etre pr´ esent. Un mod` ele minimal doit donc int´ egrer la dualit´ e onde-

particule en son sein. Nous cherchons ici plutˆ ot des ph´ enom` enes ´ emergents, comme la

transition de Mott, un ph´ enom` ene qui d´ epend peu de tous les d´ etails, mais plutˆ ot de la

structure de H.

Nous devons premi` erement d´ efinir rapidement la deuxi` eme quantification. Puisque c’est un sujet standard, nous nous contentons ici d’une pr´ esentation succincte (voir par exemple [14]). Imaginons un syst` eme d’´ electrons o` u un ´ etat particulier est appel´ e α. ´ Etant donn´ e le principe d’exclusion de Pauli, deux ´ electrons au maximum peuvent se retrouver dans un ´ etat particulier. Une paire d’op´ erateurs pour agir sur ce syst` eme peut ˆ etre d´ efinie, soit

c

et c

, (3)

qui permettent de cr´ eer et d´ etruire un ´ electron dans l’´ etat α avec un spin σ. Ces op´ erateurs doivent respecter le principe d’exclusion de Pauli et ainsi suivent les relations

{

c

, c

}

= { c

, c

} = 0 {

c

, c

}

= δ

δ

,

(4)

o` u { A, B } = AB+BA est l’anticommutateur. Dans ce travail, nous utiliserons la position d’un site i ou la quantit´ e de mouvement cristalline k pour caract´ eriser les ´ etats α.

Dans la m´ ethode TB, nous consid´ erons qu’un ´ electron peut ˆ etre localis´ e sur un site j du r´ eseau et sauter vers un autre site i avec une amplitude de probabilit´ e t

. Ce pa- ram` etre provient de l’´ ecriture du terme − ∑

i

∇²i

2mi

+ ∑

i

V (r

) de l’Hamiltonien dans une base localis´ ee. Ainsi l’Hamiltonien incluant l’interaction s’´ ecrit comme

H = − ∑

ijσ

t

c

c

+ 1 2

∑

iji^′j^′σσ^′

⟨ ii

1

r

jj

⟩

c

c

c

c

, (5)

o` u ⟨ ii

1

r

jj

⟩

= e

∫

dr

dr

ϕ

(r

− R

)ϕ(r

− R

)ϕ

(r

− R

)ϕ(r

− R

)

r

− r

. (6)

Les fonctions ϕ(x − R

) sont des orbitales de Wannier. Pour des bandes ´ etroites, ces fonc-

tions sont tr` es localis´ ees autour de leur ion respectif. La grandeur typique est beaucoup

plus petite que la distance inter-ion et ainsi le recouvrement sera faible. L’int´ egrale sera

petite sauf si tous les indices de site sont les mˆ emes. L’approximation consiste donc ` a

seulement conserver ce terme. Cela correspond ` a un ´ ecrantage parfait. Si de plus, nous ne

consid´ erons qu’une bande, nous obtenons un terme d’interaction de type densit´ e-densit´ e