zGintk = 1 + ∑
k1,k2
εk+k1e−iπBΦ0zˆ·(k1×k2)Gintk+k2. (5.50)
Comme dans l’approche semi-classique `a la Onsager, l’effet du champ s’applique dans le plan perpendiculaire `aB. Nous verrons suite `a la d´erivation de la DMFT en pr´esence de B si l’Eq. (5.50) est n´ecessaire.
5.4 DMFT d´ ependante du champ magn´ etique
Nous d´efinissons ici la DMFT `a un site lorsqu’un champ magn´etique est pr´esent. Nous effectuons le calcul sans choisir de jauge particuli`ere avant que cela ne soit absolument n´ecessaire et nous verrons que pratiquement, pour un calcul, le choix de jauge est arbi-traire. La fonction de partition est celle donn´ee par l’Eq. (1.42) o`u l’action est donn´ee
par l’Eq. (1.43) o`u le saut est etij = eifijtij au lieu de tij. Nous utilisons l’approche de la cavit´e. Comme d´ej`a discut´e, nous s´eparons l’action S en trois parties, S0 la partie du site, ∆S l’interaction entre le site et le reste du syst`eme et S0 le r´eseau plus la cavit´e. La fonction de partition est de nouveau ´ecrite
Z =
Les termes impairs du d´eveloppement sont nuls et le premier terme non z´ero est celui
S’il n’y a pas de brisure de sym´etrie (i.e. supraconductivit´e) et que l’´etat est para-magn´etique, le premier et le quatri`eme terme de l’Eq. (5.58) sont nuls quand nous prenons la moyenne ⟨⟩0. Le premier terme non nul est
1 Ou, en fr´equence de Matsubara
ℑ−01(iωn) =iωn+µ− 1
Comme pr´ec´edemment (Eq. (1.55))
G(0)ij =Gintij −GintimGintmj
Gintmm . (5.63)
L’action effective (Eq. (5.60)) est toujours donn´ee par le mod`ele d’Anderson standard (Eq.(1.59)) avec la d´efinitionℑ−01(iωn) = iωn+µ+ ∆(iωn), ce qui est une grande force de l’approche puisqu’ajouter un champ magn´etique ne change pas du tout le mod`ele d’im-puret´es `a r´esoudre. Les solutionneurs d’impuret´es standards peuvent donc ˆetre utilis´es.
Nous retournons `a la d´efinition du champ de Weiss en terme de la fonction de Green (Eq. (5.62)). En utilisant l’Eq. (5.63), nous obtenons
ℑ−01(iωn) =iωn+µ− 1 2
∑
ij
(etimetmj
[
Gintji (iωn)− Gintjm(iωn)Gintmi(iωn) Gintmm(iωn)
]
+etmietjm
[
Gintij (iωn)− Gintim(iωn)Gintmj(iωn) Gintmm(iωn)
] ) .
(5.64)
Consid´erant queGij(z) =G0ij(z−Σ) nous avons de l’Eq. (5.11) (nous laissons tomber le int par souci de simplicit´e `a partir de maintenant)
˜
zGij =δij −∑
n
tineifinGnj, (5.65)
o`u ˜z =iωn+µ−Σ. De l’Eq. (5.65), nous pouvons ´ecrire
−∑
n
etinGnj = ˜zGij−δij. (5.66)
En utilisant l’Eq. (5.66), nous pouvons r´e´ecrire quelques termes de l’Eq. (5.64)
∑
ij
etimetmjGji =∑
i
etim∑
j
etmjGji =−∑
i
etim(˜zGmi−δmi)
=−∑
i
etimzG˜ mi,
(5.67)
∑
Nous rempla¸cons les Eqs. (5.67), (5.68), (5.69) et (5.70) dans l’Eq. (5.64) ℑ−01(iωn) =iωn+µ− 1
A partir de l’Eq. (5.65), nous trouvons facilement que`
˜
zGmm = 1−∑
i
tmiGim (5.75)
et en r´e´ecrivant l’Eq. (5.74) en utilisant l’Eq. (5.75), nous obtenons pour le champ de Weiss
ℑ−01(iωn) =iωn+µ− (˜zGmm−1)
Gmm =iωn+µ−z˜+ (Gmm)−1
=iωn+µ−iωn−µ+ Σ + (Gmm)−1
= Σ + (Gmm)−1.
(5.76)
Nous avons prouv´e un r´esultat tr`es important soit qu’en pr´esence d’un champ magn´etique, la relation d’auto-coh´erence conserve la mˆeme forme qu’avecB= 0. Par cons´equent, l’ef-fet de B dans ∆ et Σ vient seulement de l’effet du champ dans G0mm. Il fut souvent argument´e que cela devrait ˆetre le cas et que le champ aurait seulement une influence au travers la densit´e d’´etats sans interaction. C’est finalement le cas, mais il ´etait n´ecessaire de le montrer rigoureusement puisqu’en v´erit´e, ce n’´etait pas une ´evidence.
Pour calculerGmm, nous pouvons utiliser la m´ethode d´evelopp´ee par Berciu et Cook [86], qui calcule directement la fonction G0mm qui est celle qui nous est n´ecessaire.
Nous pourrions aussi utiliser la m´ethode du papillon de Hofstadter [87]. En effet, nous avons besoin de la fonction locale et, dans ce cas, Gmm = Gmm. Puisque Gmm est in-variante de jauge, Gmm l’est aussi et ainsi, nous pouvons calculer notre G avec la jauge qui nous plaˆıt. Si nous choisissons la jauge de Landau (A = Bxy), pour un champ ra-ˆ tionnel, c’est-`a-dire que le ratio du flux magn´etique externe avec le quantum de flux est une fraction rationnelle ΦΦ
0 = pq, nous avons le papillon et nous disposons d’un syst`eme d’´equations fini pourG0k quand seul le saut aux plus proches voisins du r´eseau carr´e est consid´er´e. Dans l’esprit de [88–90] et [91], nous pourrions obtenir une proc´edure pour le calcul de G0k en trois dimensions en choisissant un champ rationnel. Dans ce cas, l’inva-riance sous translation dans la direction xest restaur´ee pour un saut deq param`etres de maille. Ainsi, l’Hamiltonien sans interaction devient
H =−t∑
k,σ
[ 2(
cos(kx) + cos(kz))
c†kσckσ + e−ikyc†k+gσckσ + eikyc†k−gσckσ ]
, (5.77)
o`u g = 2πpqx. Une fonction de Green peut ˆˆ etre d´efinie `a partir de cet Hamiltonien [91]. Nous pourrions aussi utiliser une approche matricielle du mˆeme probl`eme. En effet, l’Eq. (5.77) peut d´efinir un nouveau probl`eme de q bandes, chacune avec une zone de
Brillouin r´eduite |kx| ≤ πq, |ky| ≤ π et |kz| ≤ π. Dans ce cas, nous pouvons r´e´ecrire l’Hamiltonien sans interaction, en d´efinissant un nouvel op´erateur de destruction ΨTkσ = (ckσ, ck+gσ, . . . , ck+(q−1)gσ), comme Green avec interaction peut s’´ecrire simplement sous une forme du type
G0kσ(iωn−Σ(iωn, B)) = que le k est pour la zone de Brillouin r´eduite. La fonction locale Gmm sera donn´ee par la somme sur la zone de Brilloiun r´eduite et sur les bandes de G0kσ. Mais l’approche de Berciu et Cook [86] est beaucoup plus puissante et n’est pas limit´ee `a un r´eseau carr´e plus proches voisins.
Le probl`eme de la DMFT un site en pr´esence d’un champ magn´etique affectant le mouvement orbital des ´electrons est donc formellement r´esolu. Le travail restant consiste en une impl´ementation num´erique de la m´ethode. Dans la section suivante, nous allons plutˆot consid´erer un empilement de plans 2d avec un champ dans le plan. `A l’Annexe E.2,
((m−1)a,(n−1)a,pc) (ma,(n−1)a,pc) ((m+1)a,(n−1)a,pc) j
(ma,na,pc) t
t’
Figure 5.5 – Vue du haut du premier plan
nous pr´esentons les comportements asymptotiques deG, Σ et ∆ qui sont n´ecessaires pour le calcul en fr´equence de Matsubara.