D´ efinition g´ en´ erale

Dans l’approche lin´eaire, les courants cr´e´es par des forces externes appliqu´ees au syst`eme sont lin´eairement proportionnelles `a celles-ci. Nous consid´erons un syst`eme ther-modynamique sur lequel des forces externes sont appliqu´ees. Ces forces sont nomm´ees F<sub>i</sub> et la r´eponse `a leur application, le courant, est appel´e J_i. Les constantes de propor-tionnalit´es entre un courant J_a et une force F_b, sont elles nomm´ees L_ab. Tel que montr´e dans [40], la condition importante `a laquelle ces constantes doivent ob´eir est la relation d’OnsagerL_ab =L_ba. Cette relation est vraie quand l’entropie interne g´en´er´ee est donn´ee par

∂s

∂t

gen =∑

i

J_i·F_i. (1.94)

Nous allons consid´erer ici seulement deux forces externes soit un gradient de temp´erature et un potentiel ´electrique. `A partir de l’´equation thermodynamique donnant la densit´e d’entropie T ds = du − (µ +q<sub>e</sub>V)dn o`u u est l’´energie interne qui peut ˆetre calcul´e dans notre cas comme la moyenne de H, ⟨H⟩ dans l’ensemble grand canonique puisque le potentiel chimique µ apparaˆıt explicitement. Le potentiel ´electrique est V, q_e est la charge et n est la densit´e de particules. Nous pouvons red´efinir le potentiel chimique comme ˜µ=µ+q_eV et dans une situation quasi-statique, la d´eriv´ee temporelle donne

∂s

∂t

tot

= 1 T

(∂u

∂t −µ˜∂n

∂t )

. (1.95)

Les ´equations de continuit´e pour les courants d’´energiesJ_ener et de particule J_part sont

∂u

∂t +▽ ·Jener = 0

∂n

∂t +▽ ·J_part= 0

(1.96)

et lorsque nous rempla¸cons dans l’Eq. (1.95), nous obtenons

Le deuxi`eme terme `a droite de l’´egalit´e de l’Eq. (1.97) correspond bien `a la forme n´ecessaire de l’Eq. (1.94) et donc nous avons

∂s et nous pouvons d´efinir les deux forces motrices associ´ees aux deux courants J_part et J_Q soit, respectivement

Les courantsJ_partetJ_Q, qui sont ici des objets ph´enom´enologiques, sont donn´es au niveau microscopique par les valeurs moyennes des op´erateurs courants soit

⟨Jˆ_x

Les deux coefficients de transport qui nous int´eressent particuli`erement sont la conduc-tivit´e et le pouvoir thermo´electrique.

1. La conductivit´eσ est le coefficient du courant de charge `a temp´erature constante.

J_elec=q_e

⟨Jˆ_x

⟩

= q_e²

T L₁₁E_x =σE_x. (1.103) Ainsi

σ= q_e²

T L₁₁. (1.104)

2. Tel que d´ej`a discut´e, le pouvoir thermo´electrique est la r´eponse en courant ouvert

`

a l’application d’un gradient de temp´erature.

0 = q_e

T L₁₁E_x+L₁₂∇x

(1 T

)

. (1.105)

S ´etant d´efini par l’Eq. (8), nous obtenons de l’Eq. (1.105) S = 1

q_eT L₁₂

L₁₁. (1.106)

La tˆache consiste maintenant `a calculer les L<sub>ab</sub> `a partir des mod`eles microscopiques.

Les ´equations s’appellent formules de Kubo [41]. L’approche est montr´ee en d´etail dans [40] et nous nous contentons ici d’un bref survol. L’id´ee g´en´erale consiste `a ajouter une perturbation externe P `a l’Hamiltonien pour ensuite calculer la r´eponse du syst`eme

`

a cet ajout. L’art r´eside dans la d´efinition de cette perturbation. Dans une optique de r´eponse lin´eaire ce terme est de la forme du terme de droite de l’Eq. (1.94). Pour le champ

´

electrique, cela est simple `a comprendre, le couplage `a un champ ´electromagn´etique ´etant bien connu en m´ecanique quantique. L’op´erateur quantit´e de mouvement ˆp est remplac´e par ˆp−q_eA(r, t), o`uA(r, t) est le potentiel vecteur. La perturbation est donc ´ecrite `a l’aide de A, mais c’est bien de la mˆeme forme. Pour le cas du gradient de temp´erature, c’est plus myst´erieux. En effet,F_Q(Eq. (1.101)) sugg`ere que l’Hamiltonien de couplage devrait contenir un gradient de temp´erature. Comment est-ce possible ? En effet, comment un objet T qui est un multiplicateur de Lagrange servant `a d´eterminer l’´energie moyenne pour un syst`eme compos´e d’un grand nombre de particules pourrait-il se coupler `a un op´erateur quantique ? La r´eponse `a cette question tient dans l’id´ee de Luttinger [42, 43]

d’introduire un couplage `a un champ m´ecanique et de montrer que cela peut imiter le couplage `a un gradient de temp´erature. Une d´emonstration pas `a pas est pr´esent´ee par Shastry dans [44]. D’un autre cˆot´e, il y a moyen d’´eviter cette difficult´e. Effectivement, sachant que L₁₂=L₂₁, nous pouvons calculerL₂₁ qui est donn´e quand nous calculons le

courant de chaleur en pr´esence d’une perturbation de champ ´electrique et donc le mˆeme couplage que pour L₁₁. Finalement, les coefficients L_ab sont donn´es par les fonctions de corr´elation courant-courant. En utilisant la d´efinition des susceptibilit´es (Eq. (1.13)), nous avons en fonction du vecteur d’onde et de la fr´equence (position et temps)

χ_ab(q, iΩ_n) =

∫ _β

0

dτe^iΩnτ⟨T_τJˆ_a(q, τ) ˆJ_b(−q,0)⟩ (1.107) et en fr´equence r´eelle

L_ab =T lim

ω→0

1

ωImχ_ab(q→0, iΩ_n→ω+i0⁺). (1.108) Les op´erateurs courant sont d´efinis pour un Hamiltonien particulier en suivant les lois de conservation

Ja = ∂O_a

∂t =i[H, Oa], (1.109)

o`uOa repr´esente l’op´erateur de polarisation appropri´e, de particule ou de chaleur, ce qui donne un objet ressemblant `a l’Eq. (1.98) par exemple pour le courant de chaleur. Ici, l’ordre dans lequel les limitesω etq tendent vers z´ero sont effectu´ees est tr`es important.

La limite thermodynamique (Volume → ∞) q → 0 doit ˆetre prise avant la limite DC (ω → 0). Cette limite est appel´ee limite rapide. En effet, comme discut´e dans [45], les deux limites ne commutent pas. Si nous d´efinissons une vitesse de phase v = _|^ω_q| de la perturbation externe et prenons q → 0 en premier, v → ∞ et nous sommes dans la limite rapide. Si par contre nous essayons de prendre ω → 0 en premier, v → 0, nous sommes dans la limite lente. Dans ce cas, la perturbation est adiabatique et les charges et l’´energie peuvent se redistribuer pour obtenir un ´etat d’´equilibre. Cette distinction sera importante dans la Section 1.5 o`u nous discutons d’approximations possibles pour le pouvoir thermo´electrique.

La question suivante est de savoir comment ´ecrire les expressions lorsque nous avons un syst`eme discret comme dans la m´ethode tight-binding (TB) et que la m´ethode de solution est la DMFT et donc, de fa¸con effective, en dimension infinie. Dans le cas TB, les op´erateursO_a deviennent

O^x₁ =∑

i

R^x_in_i, (1.110)

O₂^x =∑

i

R_i^x(h_i−µn_i), (1.111)

avecn_i eth_i les op´erateurs locaux de charge et d’´energie. La d´erivation a ´et´e consid´er´ee rigoureusement par Paul et Kotliar [46]. Ils ont montr´e que non seulement les termes appel´es corrections de vertex s’annulent pour la conductivit´e comme c’´etait d´ej`a connu, mais que c’est aussi le cas pourL12. Les expressions obtenues pour le mod`ele de Hubbard

`

a une bande sont (la limite q→ 0 a ´et´e explicitement appliqu´ee et toute r´ef´erence `a ce q disparaˆıt `a partir de maintenant sauf si mentionn´e autrement)

χ₁₁(iΩ_l) = −∑

k,σ

v_k²1 β

∑

ωn

G_kσ(iω_n)G_kσ(iω_n+iΩ_l), (1.112)

o`u Ω_l est une fr´equence de Matsubara bosonique alors que ω_nen est une fermionique. La vitesse v_k est donn´ee parv_k = ^∂ε_∂k^k

x. Pourχ₂₁, nous avons χ₂₁(iΩ_l) =−∑

k,σ

v²_k1 β

∑

ωn

(

iω_n+ iΩ_l 2

)

G_kσ(iω_n)G_kσ(iω_n+iΩ_l) +∑

k,σ

v²_kn_kσ

| {z }

?

. (1.113)

Le point d’interrogation pour le deuxi`eme terme de droite de l’Eq. (1.113) sert `a poin-ter qu’habituellement, il n’est pas pr´esent dans la d´efinition du terme dit de la bulle, comme par exemple dans Kontani [47] alors qu’il apparaˆıt dans l’article de Paul et Kot-liar [46]. Lorsque le prolongement analytique est fait `a partir de r´esultats analytiques, cela n’a pas d’importance puisque celui-ci ne contribue pas `a la partie r´eelle de L₁₂ en fr´equences r´eelles obtenue `a partir de la partie imaginaire deχ<sub>12</sub>(Eq. (1.108)). Par contre, nous voudrions ´ecrire les expressions pour les coefficients du transport L<sub>11</sub> and L<sub>12</sub> de mani`ere optimale pour les obtenir `a partir d’un G provenant d’un calcul DMFT. Notre intention est d’effectuer tous les calculs en temps imaginaire (fr´equence) et il deviendra

´

evident si sa pr´esence est importante ou non. Son existence peut ˆetre retrac´ee `a la fa¸con dont nous choisissons de traiter τ = 0 quand nous ´ecrivons les expressions en fr´equence de Matsubara. Une chose que nous pouvons imm´ediatement voir est que le terme avec

1 β

∑

ωniω_nG_kσ(iω_n)G_kσ(iω_n+iΩ_l) dans l’Eq. (1.113) ne converge pas tr`es bien puisque, asymptotiquement, il va comme _iω¹

n. Ce fait devrait nous indiquer que si nous voulons effectuer le calcul en fr´equence de Matsubara, le second terme `a droite de l’´egalit´e devrait ˆ

etre inclus pour s’assurer que tout converge bien.

Pour comprendre ce qui peut arriver i.e. que faire avec le deuxi`eme terme de l’Eq. (1.113), consid´erons le cas sans interaction (U = 0). Nous connaissons le r´esultat exact pour la fonction de Green G_k(iω_n) = _iω ¹

n−(εk−µ). Concentrons-nous premi`erement sur le terme l = 0 seulement

qui est maintenant une fonction avec un pˆole simple mais, malheureusement, elle est encore plus probl´ematique que pr´ec´edemment. En effet, son comportement asymptotique est maintenant 1, une constante et la somme ne devrait pas converger si nous voulons utiliser le th´eor`eme des r´esidus. Mais, pour le moment, oublions cela et trouvons la solution comme si tout ´etait convergeant et nous discuterons le tout plus loin. Le r´esidu de cette fonction est ˜ε_k et nous pouvons calculer

1

Si nous regardons `a Ω_l fini, nous pouvons r´e´ecrire, en voyant que la fonction a deux pˆoles plus haut, le terme manquant de Eq. (1.113) devrait permettre que tout se comporte bien. Si nous efectuons de nouveau le calcul de χ^U=0₁₂ , mais avec ∑

k,σv_k²n_kσ inclus, nous Cette fonction se comporte commeO

( 1 (iωn)²

)

asymptotiquement. Si Ωl est non nul, nous avons une fonction avec deux pˆoles simples et alors le th´eor`eme des r´esidus nous donne

lim

puisque pour Ω_l fini et τ → 0^±, lim_τ→0± (^eiΩlτ−1)^e−εkτ˜

iΩ_l = 0. Quand Ω_l = 0, l’Eq. (1.120) a un pˆole double et nous pouvons utiliser le truc de l’Eq. (1.115) et alors le calcul de l’Eq. (1.121) donnerait maintenant −ε˜_k

(−^∂f_∂˜^(˜_ε^ε_k^k))

. Nous obtenons finalement pour Eq. (1.120)

Il n’y a plus d’ind´etermination provenant de τ = 0. Cela montre que si nous voulons effectuer le calcul en fr´equence de Matsubara, nous devons imp´erativement conserver le

∑

kv_k²n_k dans la d´efinition de χ₁₂.

Nous allons maintenant r´e´ecrire χ₁₁ (Eq (1.112)) et χ₁₂ (Eq (1.113)) sous des formes qui nous seront utiles, c’est-`a-dire qu’elles permettront un calcul num´erique le plus effi-cace possible. Nous utiliserons le fait que la somme sur ω_n dans Eq (1.112)(Eq (1.113)) est, en fait, une convolution. En effet, en utilisant G_kσ(iω_n) = ∫β

Attardons-nous maintenant `a χ<sub>21</sub>. En regardant l’Eq. (1.113) avec le deuxi`eme terme puisque nous savons qu’il est n´ecessaire, nous voyons que nous pouvons s´eparer la somme en deux, c’est-`a-dire (nous laissons tomber l’indice de spin ´etant donn´e que nous consid´

e-rons l’´etat paramagn´etique, nous avons seulement `a multiplier tout par deux)

Regardons M_k(−τ) et ensuite N_k(τ)

Cette d´erivation est possible puisque (

G_k(iω_n)− _iω¹_n)

converge comme _(iω^cst

n)². La mˆeme d´emarche est appliqu´ee pour N_k(τ) et nous obtenons

Nk(τ) =−∂G_k(τ)

∂τ . (1.128)

Nous obtenons finalement pour h_k(τ) h_k(τ) = ∂G_k(−τ)

∂τ G_k(τ)− ∂G_k(τ)

∂τ G_k(−τ). (1.129) Pour les calculs num´eriques, nous utiliserons la d´efinition donn´ee par l’Eq. (1.125). Pour ce qui est de la fa¸con exacte d’impl´ementer le calcul num´erique, cela est discut´e dans l’Annexe D du Chapitre 2.

Dans le document Nouvelles approches en théorie du champ moyen dynamique : le cas du pouvoir thermoélectrique et celui de l’effet orbital d’un champ magnétique (Page 59-68)