Suite `a la soumission de travaux r´ecents de Xiaoyu Deng, Jernej Mravlje, Rok Zitko, Michel Ferrero, Gabriel Kotliar et Antoine Georges [66], il est important de discuter plus en d´etail la nature de ce que nous avons appel´e temp´erature de coh´erence Tcoh. Dans notre cas, elle correspond `a la temp´erature `a laquelle le pouvoir thermo´electrique a un extremum. Les comportements de type liquide de Fermi, c’est-`a-dire avec notre d´efinition du Chapitre 3, un pouvoir thermo´electrique lin´eaire en temp´erature, sont observ´es pour des temp´eratures plus basses qu’environ T =Zt (voir Fig.2-(d) du Chapitre 3) o`uZ est le poids de quasi-particules apparaissant `a la Fig. 3 du chapitre 2. Par contre, pour Deng et al. [66], le liquide de Fermi est seulement d´efini comme ´etant le cas pour lequel la partie imaginaire de laself-energy est quadratique en fr´equence et en temp´erature. Cette temp´erature est atteinte (T /D≈0.01 o`uD est la demie largeur de bande) dans leur cas bien avant que la lin´earit´e disparaisse dansS`a plus haute temp´erature (T /D≈0.03)(voir leur Figure 4). Notre temp´eratureTcohcorrespond plutˆot `a ce qu’ils appellentT∗dans [66]
(voir aussi [67] pour des courbes deS `a d’autres dopages). Finalement, ils d´efinissent une temp´eratureTM IR `a partir de laquelle la r´esistivit´e d´epasse la valeur de Mott-Ioffe-Regel.
L’´etat incoh´erent est consid´er´e comme ´etant celui au-del`a de TM IR, o`u aucune quasi-particule ne pourra ˆetre trouv´ee. La physique dans cette r´egion est enti`erement celle de particules dans l’espace r´eel. Le transport pour T < TM IR serait domin´e par les quasi-particules. Ils d´efinissent la pr´esence de quasi-particules comme la situation o`u la densit´e spectraleA(k, ω) pr´esente des pics bien d´efinis autour du niveau de Fermi, en plus d’une bande de Hubbard inf´erieure et sup´erieure. Cette temp´erature est pour eux bien plus grande que la temp´erature pour laquelle le pouvoir thermo´electrique a un extremum.
Selon notre d´efinition de la limite de Mott-Ioffe-Regel dans le Chapitre 2 (ρ ∼ ~a/e2), celle-ci est obtenue pour des temp´eratures de l’ordre de notre Tcoh dans notre cas (voir Figure 11 du Chapitre 2), contrairement `a [66] qui ont une d´efinition un peu diff´erente et atteignent cette temp´erature `a TM IR > T∗ = Tcoh. Mais cette limite de Mott-Ioffe-Regel n’est pas d´efinie parfaitement rigoureusement. Notre d´efinition de Tcoh correspond aussi avec la r´egion o`u le pic de transition entre la bande de Hubbard et le pic de quasi-particule disparaˆıt dans la conductivit´e optique (voir Figure 12 du Chapitre 2). Il est donc important de regarder de plus pr`es la situation de la d´efinition de la transition coh´erence-incoh´erence. Selon la Figure 2 de [66], la temp´erature pour laquelle le pouvoir
thermo´electrique atteint un extremum correspond `a la r´egion de temp´eratures pour la-quelle il cesse d’y avoir une claire s´eparation entre le pic autour deω = 0 et la bande de Hubbard dans la densit´e d’´etats. Cela va aussi ´evidemment correspondre `a la situation o`u le pic de transition disparaˆıt dans la conductivit´e optique.
V´erifions que c’est bien ce qui arrive dans notre cas. `A la Fig. 4.4, nous pr´esentons la densit´e d’´etats pour plusieurs temp´eratures pour le cas U = 32t et n = 0.80. Nous voyons bien que Tcoh ∼ 0.5t indique la r´egion de temp´erature `a partir de laquelle la s´eparation entre le pic autour de ω= 0 et la bande de Hubbard commence `a disparaˆıtre.
Pour mieux comprendre ce que cela signifie, nous pr´esentons `a la Fig. 4.5 la fonction spectrale pour diff´erentes valeurs de εk pour plusieurs temp´eratures dans le cas U = 32t et n = 0.80. Les lignes pointill´ees rouges correspondent `a ±5T, des valeurs de ω pour lesquelles ∂ω∂f a perdu environ 97% de sa valeur maximale `aω= 0. Ainsi, le transport est domin´e par les excitations `a l’int´erieur de cette fenˆetre. Le message de la Fig. 4.5 est clair, l’extremum dans le pouvoir thermo´electrique indique le d´ebut la r´egion o`u le transfert de poids spectral a pour cons´equence de faire disparaˆıtre la diff´erence entre la bande de Hubbard et les pics de quasi-particule. Il devient alors de plus en plus impossible pour ω < 0 de d´efinir une distinction objective entre ce qui ´etait avant les ´etats de la bande de Hubbard et ceux du pic de quasi-particule. De plus, la zone de fr´equences visit´ee par
∂f
∂ω inclut de plus en plus ces deux r´egions auparavant bien s´epar´ees et o`u seule celle des quasi-particules contribuait au transport. Dans le cas du pouvoir thermo´electrique autour du demi-remplissage, le transfert de poids spectral vers les fr´equences plus n´egatives dans le cas n < 1 et vers celles plus positives dans le cas n > 1 est ce qui va ´eventuellement provoquer le changement de signe de S pour une temp´erature plus grande que Tcoh. Comme nous pouvons le voir sur la Fig.2 du Chapitre 3, la proximit´e de cette temp´erature avec Tcoh d´epend fortement de n. Pour bien voir l’effet de ce transfert, nous pr´esentons
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a la Fig. 4.6 la fonction que nous d´efinissons comme S(ε, ω) ≡ ωX(ε)A2(ε, ω) qui, si nous la comparons avec la d´efinition de l’Eq.(1.135), peut ˆetre consid´er´ee comme un type de fonction spectrale de L12 permettant de mieux comprendre le changement de signe (il ne faut pas oublier la d´efinition de S qui contient un signe moins explicite S = −(kB/|e|)1/kBT L12/L11 ). Cette fois-ci encore, les lignes pointill´ees rouges corres-pondent `a ±5T.
Dans notre cas, la temp´erature maximale que nous avons ´etudi´ee pour S dans le Cha-pitre 3 ne correspond pas `a la situation totalement incoh´erente comme d´efinie dans [66], comme nous le voyons en comparant la Fig. 4.5 `aT = 1.949t `a la Fig.2-(b) pour T =D dans [66]. Par contre, pour cette temp´eratureT = 1.949t, le comportement du potentiel chimique (Fig.7 du Chapitre 2) est le mˆeme que celui `a la temp´erature TM IR = 0.4D de [66](voir [67] pourµ(T)), mais le comportement incoh´erent `a la Heike est quand mˆeme observ´e. En effet, selon la Fig.4 du Chapitre 3, `a partir d’environ n = 0.8, le pouvoir thermo´electrique suit bien le comportement de particules dans l’espace r´eel au lieu de celui d’objets bien d´efinis dans l’espacek.
Notre d´efinition de la transition coh´erence-incoh´erence est donc la temp´erature Tcoh in-diquant la r´egion o`u la bande de Hubbard et le pic de quasi-particule sont en train de fusionner pour devenir indiscernables, mˆeme s’il est quand mˆeme possible de d´efinir des
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etats plus ou moins d´efinis dans l’espace k, ce qui correspond `aT∗ dans [66].
La situation du m´etal corr´el´e est beaucoup moins extrˆeme que celle de l’isolant de Mott dop´e. Il existe aussi un certain transfert de poids spectral `a mesure que la temp´erature est augment´ee, mais celui-ci est beaucoup moins dramatique. Le changement de signe de T en fonction de la temp´erature vient surtout de l’´elargissement de la fenˆetre de fr´equences pour laquelle les ´etats contribuent au transport. Cela a pour cons´equence qu’`aT = 2t, le comportement deS n’est jamais celui `a la Heike comme nous pouvons le voir `a la Fig.4.7 o`u nous comparons le comportement `a U = 8t et celui `a U = 32t. La transition vers l’isolant de Mott dop´e a des cons´equences `a la fois sur L11 et L12 (rappelons-nous que S = q1
eT L12
L11). Le changement dans L11 est spectaculaire. En effet, `a U = 32t et n = 1, nous avons un isolant de Mott avec une bande interdite de l’ordre de U/2 et donc, une temp´erature de T = 2t, est loin d’ˆetre suffisante pour permettre l’excitation thermique de porteurs entre les deux bandes de Hubbard. Nous comparons 1/L11 pour U = 8t et U = 32t `a la Fig.4.8. Pour ce qui est deL12, l’effet de la physique de Mott n’est pas dans un changement important des valeurs absolues, mais bien par un changement de signe `a demi-remplissage, ce qui est un effet drastique. Cela est montr´e `a la Fig.4.9.
Finalement, si nous comparons le comportement deS pr´esent´e `a la Fig.4 du Chapitre 3 et celui pour les cuprates `a 290K, il semble bien que le cas des cuprates soit similaire. En effet, la Fig. 1 montre que lorsque nous nous ´eloignons de l’isolant de Mott, S devient
lin´eaire avant de changer de signe pour un dopage encore un peu plus ´elev´e. C’est ce type de comportement que nous retrouvons pourSKubo de la Fig.4 du Chapitre 3. Ainsi, dans le cas des cuprates, il semblerait qu’`a la temp´erature de la pi`ece, pour des dopages jusqu’`a environ 21%, le syst`eme est dans un ´etat o`u il n’y a plus de distinctions claires entre bande de Hubbard et quasi-particules. Pour des dopages plus ´elev´es, la temp´erature de la pi`ece n’est pas suffisamment ´elev´ee et ce sont des quasi-particules bien d´efinies qui sont responsables du transport.