Monte Carlo quantique en temps continu

kG_k(iω_n) . (1.62) Nous pouvons d´eriver les deux ´egalit´es suivantes en utilisant la d´efinition ξ ≡iω_n+µ− Σ(iω_n) :

∑

k

ε_kG_k =∑

k

ε_k−ξ+ξ

ξ−ε_k =−1 +ξ∑

k

G_k =−1 +ξG_mm (1.63)

∑

k

ε²_kG_k=∑

k

ε_k(ε_k−ξ) +ε_kξ

ξ−ε_k =ξ∑

k

ε_k

ξ−ε_k =−ξ+ξ²G_mm, (1.64) ce qui permet de r´e´ecrire l’Eq. (1.62)

ℑ⁻₀¹(iω_n) =iω_n+µ−ξ+G⁻¹(iω_n) = Σ(iω_n) +G⁻¹(iω_n), (1.65) o`u par simplicit´e G<sub>mm</sub> ≡ G. Nous voyons bien que l’Eq. (1.65) est bien la mˆeme que l’Eq. (1.35) et l’Eq. (1.28). Cette d´erivation nous montre par contre que le probl`eme de la DMFT consiste `a r´esoudre le probl`eme de l’impuret´e d’Anderson. Cela est une tˆache possible contrairement `a l’approche d’une moyenne sur des champs fluctuants. Dans les deux sous-sections suivantes, nous allons pr´esenter deux m´ethodes de solutionneur d’impuret´es, une num´eriquement exacte et l’autre approximative.

1.3 Solutionneurs d’impuret´ es

1.3.1 Monte Carlo quantique en temps continu

Commen¸cons par discuter de fa¸con g´en´erale ce que repr´esente une simulation Monte-Carlo en m´ecanique quantique. Nous allons suivre la pr´esentation de Mathias Troyer [31]

et aussi emprunter `a celle de Millis [32]. Supposons que nous d´esirons calculer A=∑

bϵE

A(b)p(b), (1.66)

o`up > 0 et ∑

bϵEp(b) = 1.

Si nous interpr´etons b comme ´etant une variable al´eatoire avec distributionp(b) alors

A=⟨A⟩p. (1.67)

Le Monte Carlo consiste `a estimer la quantit´e A en prenant M ´echantillons de b soit A≈ 1

M

∑M i=1

A(b_i). (1.68)

En physique statistique (classique et quantique), p est habituellement de la forme p(b) = 1

Ze^−βF(b), (1.69)

o`uF est l’´energie libre et Z la fonction de partition.

L’´echantillon al´eatoireb_i peut ˆetre g´en´er´e en suivant une chaˆıne de Markov. Nous cr´eons une marche al´eatoireb₀, b₁, b₂. . .dans E avec les probabilit´es conditionnelles

p(b_n|b_n−1b_n−2. . . b₀) = p(b_n|b_n−1), (1.70) c’est-`a-dire qu’il y a d´ependance seulement sur le pas pr´ec´edent.

L’´echantillon b₀, b₁, b₂. . .sera bien g´en´er´e selonp(b) si nous avons un bilan d´etaill´e, soit p(x)p(y|x) =p(y)p(x|y), (1.71) si nous avons l’ergodicit´e, c’est-`a-dire que l’application r´ep´et´ee de p(y|x) permet d’aller de n’importe quelb vers n’importe quel autre b^′ et finalement, si p(x|x)>0.

Pour obtenir un p(y|x) qui satisfait bien le bilan d´etaill´e, nous pouvons utiliser l’ap-proche de Metropolis :

1. choisir une fonction candidate q(y|x)

2. ´etant donn´e x (´etape n−1), choisir y (´etape n) selonq(y|x) 3. accepter x→y avec une probabilit´e min

(

1,^p(y)q(x_p(x)q(y^|_|^y)_x) )

sinon rester `ax 4. contraindre q(y|x) en utilisant la condition d’ergodicit´e

Une m´ethode Monte Carlo pour la m´ecanique quantique est num´eriquement exacte dans sa limite d’application, c’est-`a-dire que sa seule source d’erreur est l’erreur sta-tistique. L’un des avantages majeurs de toutes m´ethodes Monte Carlo est que l’erreur est

∆A=

√V ar(A(b))

M et est donc ind´ependante de l’ensemble E. Par exemple, pour r´esoudre des int´egrales, c’est-`a-dire si l’Eq. (1.66) est une somme de Riemann avec un nombre de b infini, l’ensemble E repr´esente le nombre de dimensions et donc l’erreur est la mˆeme peu importe le nombre d’int´egrales `a r´esoudre.

Par contre, pour les probl`emes concernant les fermions, il existe un d´esavantage majeur.

En effet, quand nous traitons un probl`eme de m´ecanique quantique Z = Tr

[

e^−β(^H−µNˆ)]

=∑

i

pi (1.72)

et nous pouvons avoir une probl`eme de signe si certains des p<sub>i</sub> satisfont la condition p<sub>i</sub> < 0. Cela apparaˆıt dans des syst`emes fermioniques quand deux ´electrons ´echangent leur position. La solution consiste `a ´echantillonner avec les valeurs absolues des poids

⟨A⟩=

∑

iA_ip_i

∑

ip_i =

∑

iA_iSgn(p_i)|p_i|

∑

iSgn(p_i)|p_i| ≡ ⟨ASgn⟩_|p|

⟨Sgn⟩_|p| . (1.73) La moyenne du signe est donn´ee par

⟨Sgn⟩=

∑

ipi

∑

i|p_i| = Z

Z_|p|. (1.74)

Zest la fonction de partition de fermionsZ = e^{−βFf erm}alors queZ_|p|est celle de particules sans signe (bosons) ayant le mˆeme Hamiltonien Z_|p| = e^−βFbos. Comme il y a absence d’antisym´etrie F_bos < F_{f erm}. Nous avons ainsi

⟨Sgn⟩= e^−β(^Ff erm−Fbos). (1.75)

L’´energie libre est une quantit´e extensive et donc le signe moyen tend vers z´ero expo-nentiellement quand la grandeur du syst`eme augmente et/ou la temp´erature diminue.

Un Monte Carlo quantique (QMC) direct sur un syst`eme de fermions devient imprati-cable bien avant que la grandeur du syst`eme ne devienne int´eressante ou la temp´erature assez basse. Nous pouvons remarquer la mˆeme chose `a partir de l’erreur qui devient

exponentiellement grande.

∆Sgn

⟨Sgn⟩ =

√⟨Sgn√ ²⟩ − ⟨Sgn⟩²

M⟨Sgn⟩ ≈ e^β(^Ff erm−Fbos)

√M . (1.76)

D’o`u l’id´ee d’utiliser la DMFT o`u le QMC est appliqu´e `a un syst`eme avec un nombre fini d’impuret´es et o`u le reste du r´eseau est remplac´e par un champ moyen dynamique.

Il est aussi tr`es important de noter que le cas de la DMFT `a un site pour une bande est particulier puisqu’il est exempt de probl`eme de signe.

Regardons maintenant la saveur particuli`ere de QMC que nous utilisons ici, soit le Monte Carlo quantique en temps continu (CTQMC) avec le d´eveloppement en hybridation. Nous n’allons pas pr´esenter toutes les ´etapes de l’impl´ementation, cette tˆache est faite en grands d´etails dans les notes de Werner [33]. Nous cherchons `a r´esoudre le mod`ele d’une impuret´e d’Anderson tel que d´ecrit par l’Eq. (1.56). Pour bien diff´erencier les ´electrons du bain (c<sub>kσ</sub>) de ceux de l’impuret´e (c<sub>mσ</sub>) nous allons renommer ces derniersd<sub>σ</sub>, d<sup>†</sup><sub>σ</sub> puisque qu’il y a une seule impuret´e, un indice de positon est inutile. Dans ce cas, le mod`ele d’Anderson s’´ecrit

H =∑

k,σ

ε_kc^†_kσc_kσ +∑

k,σ

(

V_kc^†_kσd_σ+V_k^∗d^†_σc_kσ

)−µ∑

σ

d^†_σd_σ+U n_↑n_↓, (1.77)

o`un_σ =d^†_σd_σ.

Il y ainsi quatre termes `a l’Hamiltonien

H =H⁰+HU+Hbain+Hmixe, (1.78) o`u H⁰ = −µ(n_↑ +n_↓), H_U = U n_↑n_↓ et forment ensemble l’Hamiltonien de l’impuret´e seule soit H_Loc = H⁰ +H_U alors que H_bain = ∑

k,σε_kc^†_kσc_kσ est l’Hamiltonien du bain d’´electrons libres et H_mixe = ∑

k,σ

(

V_kc^†_kσd_σ +h.c.

)

est le terme qui permet l’´echange d’´electrons entre le bain et l’impuret´e. Comme dans [33], il est aussi possible de r´e´ecrire, sans rien changer, H_U =U

(

n_↑n_↓ −^n↑+n₂ ^↓)

etH⁰ =−(

µ−^U₂)

(n_↑+n_↓).

Notre but est de calculer la fonction de partition Z = Tr[

e^−βH]

, (1.79)

o`u la trace est sur les deux types d’´electrons soit Tr = Tr_dTr_c et seulement H apparaˆıt dans l’exponentielle, le potentiel chimique est implicite dans celui-ci.

Nous voulons aussi calculer la fonction de Green de l’impuret´e, soit g_σ(τ) =⟨

T_τd_σ(τ)d^†_σ⟩

= 1 ZTr[

e^{−(β−τ)H}d_σe^{−τ H}d^†_σ]

. (1.80)

La CTQMC se base sur l’id´ee de produire un d´eveloppement de la fonction de parti-tion en une s´erie de diagrammes et ensuite d’effectuer un ´echantillonnage stochastique dans l’espace de ces diagrammes. Dans cette m´ethode, fondamentalement, le temps n’est pas suppos´e discret d’o`u l’appellation temps continu. La fonction de partition Z est repr´esent´ee comme une somme des configurations i avec un poids p_i

Z =∑

i

p_i, (1.81)

ce qui est bien la forme d´esir´ee de l’Eq (1.72) et donc nous pouvons utiliser une chaˆıne de Markov pour r´esoudre le probl`eme.

De fa¸con pr´ecise pour notre cas, il faut ´ecrire un d´eveloppement diagramatique de H =H0+H1. En utilisant O(τ) = e^{τ H0}Oe^{−τ H0} etA(β) =Tτe^{−∫0βdτ H1(τ)}

Z = Tr[

e^−βH0A(β)]

. (1.82)

Le d´eveloppement en s´erie de puissance donne Z =

∑∞ n=0

∫ _β

0

dτ₁. . .

∫ _β

τn−1

dτ_nTr[

e^{−(β−τn)H0}(−H₁). . .e^{−(τ2−τ1)H0}(−H₁)e^−τ1H0]

. (1.83) Cette forme est bien du type Z =∑

ip_i, c’est-`a-dire une somme sur toutes les configura-tions i={τ₁, . . . , τ_n},n = 0,1, . . . et τ_n ϵ [0, β] dont le poids est

p_i = Tr[

e^{−(β−τn)H0}(−H₁). . .e^{−(τ2−τ1)H0}(−H₁)e^−τ1H0]

dτ_n. (1.84)

Nous avons montr´e une fa¸con g´en´erale de bˆatir un Monte Carlo en temps continu comme un d´eveloppement diagramatique. Nous devons ensuite d´eterminer autour de quel terme nous allons effectuer notre d´eveloppement, soit quelle est la nature de H₁. Ce choix d´etermine la saveur de CTQMC et, dans notre cas, nous utilisons un d´eveloppement en hybridation puisque que notre s´erie de puissance est en terme de l’hybridation du bain.

Soit

H₀ =H⁰+H_U+H_bain (1.85)

et

H₁ =H_mixe. (1.86)

CommeH1 est compos´e de deux termesH1 =∑

k,σ

(

Vkc^†_kσdσ+h.c.

)

=H₁^d†+H₁^d seule-ment les termes pairs contribuent dans le d´eveloppement. De plus, l’´evolution temporelle est r´egie par H₀ et celui-ci ne permet pas le spin-flip. Il doit donc y avoir un nombre

´

egal d’op´erateur de cr´eation et d’annihilation pour chacun des spins. Aussi, puisque les op´erateurs c et d op`erent sur des espaces diff´erents et que H<sub>0</sub> ne m´elange pas les ´etats de bain et de l’impuret´e, la fonction de partition peut ˆetre factoris´ee en deux termes qui se multiplient. Finalement, comme le bain est sans interaction, il existe un th´eor`eme de Wick pour celui-ci. La partie deZ donn´ee par la Tr_csera donn´ee par le d´eterminant d’une certaine matrice dont la grandeur est ´egale `a l’ordre de perturbation. Comme nous l’avons d´ej`a mentionn´e plus haut, nous ne donnons pas tout le d´eveloppement de la m´ethode mais r´ef´erons le lecteur pour le reste `a [33] o`u tout est fait en grands d´etails.

Dans le document Nouvelles approches en théorie du champ moyen dynamique : le cas du pouvoir thermoélectrique et celui de l’effet orbital d’un champ magnétique (Page 51-56)