et qu’il existe un unique couple les vérifiant

Université Paul Sabatier 2012/2013 L3 MAF “Algèbre 1” : TD n^o1

Exercice 1 (Cours) 1) Soienta,b∈Zpremiers entre eux. Il existe doncu₀,v0∈Ztels queu₀a+ v₀b=1. Déterminer tous les couples(u,v)∈Z×Ztels queua+vb=1.

2) On supposeb>0. Montrer qu’il existe un unique couple(u,v)∈Z×Ztel queua+vb=1 et 0≤u≤b−1.

3) Comment s’étendent ces résultats lorsque le pgcd deaetbest un entierd>0 arbitraire ? 4) Résoudre, pourc∈Zquelconque, l’équationax+by=cavec(x,y)∈Z×Z.

Exercice 2 (Cours) 1) SoientA,B∈K[X]non tous deux constants et premiers entre eux. Montrer que, pour tout couple(F,G)∈K[X]×K[X]tel queFA+GB=1, les conditions et degF<degB et degG<degAsont équivalentes ; et qu’il existe un unique couple les vérifiant.

2) Comment s’étend ce résultat lorsque le pgcd deAetBest un polynôme arbitraire ? Exercice 3 (Cours) 1) Soienta₁, . . . ,an∈Z. Montrer qu’il existe un uniqued∈Ntel que :

Div(d) =Div(a₁)∩ · · · ∩Div(an).

C’est donc le pgcd dea₁, . . . ,a_n.

2) Montrer qu’il existex₁, . . . ,xn∈Ztels qued=a₁x₁+· · ·+anxn. 3) Enoncer et prouver les assertions correspondantes pourK[X].

Exercice 4 (Cours) 1) Soient a=ε ∏p^r_iⁱ eta⁰=ε⁰∏p^r

0 i

i (décompositions en facteurs premiers).

Montrer quea⁰diviseasi, et seulement si,∀i,r_i⁰≤ri. En déduire le nombre de diviseurs dea.

2) Montrer qu’en générala∧a⁰=∏p^min(ri,r

0 i)

i .

3) Donner une condition nécessaire et suffisante pour queasoit un carré.

4) On supposeaeta⁰premiers entre eux et tels queaa⁰soit un carré. Montrer que soitaeta⁰sont des carrés, soit−aet−a⁰sont des carrés.

5) Montrer que 2 n’est pas le carré d’un nombre rationnel.

Exercice 5 (Cours) 1) Soitpun nombre premier. Montrer que les coefficients binomiaux ^p_k sont multiples de ppourk=1, . . . ,p−1.

2) En déduire, pourx,y∈Zarbitraires, la congruence(x+y)^p≡x^p+y^p (mod p).

3) Démontrer le petit théorème de Fermat :a^p≡a (mod p)pour touta∈Z.

4) Démontrer quea⁵⁶¹≡a (mod 561)pour touta∈Z.

Exercice 6 (Cours) 1) Soienta₁, . . . ,an∈Zstrictement positifs et premiers entre eux deux à deux.

Montrer que les entiers bi:= ∏

1≤j≤n j6=i

aj sont premiers entre eux dans leur ensemble, et en déduire, pour toutb∈Z, l’existence dex₁, . . . ,xn,y∈Ztels que :

b a₁· · ·an

=y+x₁

a₁+· · ·+xn

an

·

Montrer que l’on peut imposer 0≤xi≤ai−1 pouri=1, . . . ,net que l’écriture est alors unique.

2) Enoncer et prouver les assertions correspondantes pourK[X]. Détailler en particulier le cas du corpsK=C. (On aura reconnu ladécomposition en éléments simplesdes fractions rationnelles.)

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Exercice 7 (Cours) Quels sont les irréductibles deR[X]? deC[X]? Quels sont les irréductibles de degré 2 deQ[X]? Quel lien y a-t-il en général entre l’existence de racines deP(X)dansKet son irréductibilité dansK[X]? Que peut-on dire de mieux pour les degrés 2 et 3 ?

Exercice 8 1) Soientx,y,z∈Ztels quex²+y²=z². On suppose tout d’abordx,y,zpremiers entre eux dans leur ensemble, autrement dit, que leur pgcd est 1. Montrer : qu’ils sont premiers entre eux deux à deux ; quexouyest impair, mais pas les deux ; quezest impair.

2) On suppose que c’est x qui est impair. Montrer quez−x etz+xont pour pgcd 2, puis que (z−x)/2 et(z+x)/2 sont des carrés. En déduire qu’il existeu,v∈Ztels quex=u²−v²,y=2uv etz=u²+v².

3) Décrire toutes les solutions entières de l’équationx²+y²=z²sans hypothèse surx,y,z.

4) Montrer que l’équationx⁴+y⁴=z⁴n’admet pas de solutions entières non évidentes,i.e.telles quexy6=0.

Exercice 9 1) Montrer que le reste de la division euclidienne deX^a−1 parX^b−1 estX^r−1, où rest le reste de la division euclidienne deaparb.

2) Montrer que le pgcd deXⁿ−1 et deX^p−1 estX^q−1, oùqest le pgcd denetp.

Exercice 10 1) On posePn(X):= 1 n!

n−1

∏

i=0

(X−i). (Donc, par la convention usuelle sur les produits vides,P₀=1.) Montrer que tout polynôme deC[X]de degré≤nadmet une unique décomposition P=a₀P₀+· · ·+a_nP_naveca₀, . . . ,an∈C.

2) Montrer queP(Z)⊂Zsi, et seulement si,a₀, . . . ,an∈Z.

Exercice 11 1) Soienta,b∈Zavec a>b>0. On définit une suite(xn) d’entiers parx₀:=a, x₁:=b; et, pour toutn≥2 tel quexnest non nul, x_n+1 est le reste de la division euclidienne de x_n−1parx_n. Montrer que la suite(xn)décroît strictement et qu’il existeptel quex_p6=0 etx_p+1=0.

(La suite est donc finie.) Vérifier qued:=xpest le pgcd deaetb.

2) On noteqnle quotient de la division euclidienne dexn−1parxn. Démontrer la formule :

a

b

=M

d

0

,oùM:=

q₁ 1

1 0

· · ·

qp 1

1 0

.

3) Montrer queM⁻¹est à coefficients entiers et permet de calculer les coefficients de Bézout.

Exercice 12 1) SoientA,B∈K[X]tous deux non nuls et tels que degA>degB. On définit une suite(An)de polynômes parA₀:=A,A₁:=B; et, pour toutn≥2 tel queA_nest non nul :A_n+1est le reste de la division euclidienne deAn−1parAn. Montrer que la suite(degAn)décroît strictement et qu’il existeptel queAp6=0 etA_p+1=0. Vérifier que∆:=Apest un pgcd deAetB.

2) On note Q_nle quotient de la division euclidienne de A_n−1 parA_n. On poseF₀:=1, G₀:=0, F₁:=0,G₁:=1, puis, pourn=1, . . . ,p:

F_n+1:=F_n−1−Q_nF_netG_n+1:=G_n−1−Q_nG_n.

3) Montrer queAn=FnA+GnBpourn=0, . . . ,p+1. Vérifier, pourn=1, . . . ,p, les relations : degQn=degAn−1−degAnet degGn=degQ₁+· · ·+degQn−1.

4) En déduire queF_p,G_psont, à un facteur constant près, les coefficients obtenus à l’exercice 2.

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