Suites de vecteurs

Suites de vecteurs

Table des mati` eres

1 Espaces vectoriels norm´es 2

1.1 D´efinition d’une norme . . . 2

1.2 Les normes 1, 2 et∞. . . 3

1.2.1 Cas des sommes finies. . . 3

1.2.2 Cas des int´egrales sur un intervalle compact . . . 5

1.3 Distance . . . 6

1.4 Applications k-Lipschitziennes . . . 9

1.5 Normes ´equivalentes . . . 10

2 Suites dans un espace vectoriel norm´e 11 2.1 Convergence d’une suite . . . 12

2.2 Somme et produit de limites . . . 15

3 Suites de complexes 16 3.1 Premi`eres propri´et´es . . . 16

3.2 Quelques suites d´efinies par r´ecurrence . . . 17

3.2.1 Suites arithm´etico-g´eom´etriques . . . 17

3.2.2 Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2 . . . 17

3.2.3 Suites homographiques . . . 18

4 Suites de r´eels 18 4.1 Limites infinies . . . 18

4.2 limites et relation d’ordre . . . 20

4.3 Suites monotones . . . 21

4.4 Suites adjacentes . . . 22

5 Les suites extraites 23

6 Suites de Cauchy (hors programme) 26

K d´esigne R ou C.

1 Espaces vectoriels norm´ es

1.1 D´ efinition d’une norme

D´efinition. SoitE unK-espace vectoriel . On appelle norme surE toute application N :E −→Rtelle que, pour tout (x, y, λ)∈E×E×K,

N(x)≥0 (positivit´e).

N(x) = 0 =⇒x= 0 (N est d´efinie), N(λx) = |λ|N(x) (N est homog`ene), et

N(x+y) ≤ N(x) +N(y), cette derni`ere propri´et´e ´etant appel´ee l’in´egalit´e triangulaire.

SiN est une norme sur E, le couple (E, N) est appel´e un espace vectoriel norm´e.

Notation. Sauf indication du contraire, une norme sur un espace vectoriel est not´ee k.k: E −→ R⁺

x 7−→ kxk.

Lorsqu’on dit “soit E un espace vectoriel norm´e ”, il faut comprendre, “soient E un espace vectoriel et une norme sur E que l’on noterak.k”.

Remarque. Si E est un espace vectoriel norm´e , k0k= 0.

D´emonstration.

k0_Ek=k0_K.0_Ek=|0_K|k0_Ek= 0_R.

Corollaire de l’in´egalit´e triangulaire. Soit E un espace vectoriel norm´e . Alors

∀(x, y)∈E² |N(x)−N(y)| ≤N(x−y).

D´emonstration.

Soit (x, y)∈E². N(x) = N((x−y) +y)≤N(x−y) +N(y), donc

N(x)−N(y)≤N(x−y). En intervertissant les rˆoles jou´es par x et y, on obtient que N(y)−N(x)≤N(x−y), donc

|N(x)−N(y)|= max(N(x)−N(y), N(y)−N(x))≤N(x−y).

D´efinition.

Soient E un espace vectoriel norm´e et u∈E.uest unitaire si et seulement si kuk= 1.

Siu6= 0, on appelle vecteur unitaire associ´e `a u le vecteur u

kuk, qui est bien unitaire.

Suites de vecteurs 1 Espaces vectoriels norm´es D´efinition. Soient E un espace vectoriel norm´e et F un sous-espace vectoriel de E.

La restriction `a F de la norme de E s’appelle la norme induite sur F et F muni de cette norme induite est un espace vectoriel norm´e .

Exemple. Sur R et sur C, |.| est une norme.

1.2 Les normes 1, 2 et ∞.

1.2.1 Cas des sommes finies.

Propri´et´e. Sur Kⁿ, on dispose de trois normes classiques.

k.k₁ : Kⁿ −→ R+

x= (x₁, . . . , x_n) 7−→ kxk₁ =

n

X

i=1

|x_i|, k.k2 : Kⁿ −→ R⁺

x= (x₁, . . . , x_n) 7−→ kxk₂ = v u u t

n

X

i=1

|x_i|², et k.k∞ : Kⁿ −→ R⁺

x= (x₁, . . . , x_n) 7−→ kxk∞ = max

1≤i≤n|x_i|. D´emonstration.

• Etude de la norme 1 : Pour toutx∈Kⁿ,kxk₁ ≥0.

Soit x = (x₁, . . . , x_n) ∈ Kⁿ tel que kxk₁ = 0. Ainsi

n

X

i=1

|x_i| = 0, donc pour tout j ∈Nn, 0≤ |x_j| ≤

n

X

i=1

|x_i|= 0, ce qui prouve que x= 0.

Soient λ∈K etx= (x₁, . . . , x_n)∈Kⁿ.kλxk₁ =

n

X

i=1

|λx_i|=|λ|kxk₁. Soient x= (x₁, . . . , x_n)∈Kⁿ et y= (y₁, . . . , y_n)∈Kⁿ.

kx+yk₁ =

n

X

i=1

|x_i+y_i| ≤

n

X

i=1

|x_i|+|y_i| ≤ kxk₁ +kyk₁. Ainsik.k1 est une norme sur Kⁿ.

• Etude de la norme 2 : admis pour le moment.

• Etude de la norme∞.

Pour toutx∈Kⁿ,kxk∞ ≥0.

Soit x= (x₁, . . . , x_n)∈Kⁿ tel que kxk∞= 0. Ainsi pour tout j ∈Nn, 0≤ |x_j| ≤ sup

1≤i≤n

|x_i|= 0, ce qui prouve que x= 0.

Soient λ∈K etx= (x1, . . . , xn)∈Kⁿ. Soit i∈Nⁿ. |λxi|=|λ||xi| ≤ |λ|kxk∞, donc

|λ|kxk∞ est un majorant de {|λx_i|/i∈Nn}. Ainsi (1) :kλxk∞ ≤ |λ|kxk∞.

Supposons que λ 6= 0. Soiti ∈Nn. |x_i|= 1

|λ||λx_i| ≤ 1

|λ|kλxk∞, donc 1

|λ|kλxk∞ est un majorant de {|x_i|/i∈Nn}. Ainsi kxk∞≤ 1

|λ|kλxk∞.

On peut aussi d´emontrer cette derni`ere in´egalit´e en appliquant (1) au couple (1 λ, λx).

Pour λ= 0, k0xk∞= 0 =|0|kxk∞, donc, dans tous les cas, kλxk∞=|λ|kxk∞. Soient x= (x₁, . . . , x_n)∈Kⁿ et y= (y₁, . . . , y_n)∈Kⁿ.

Soit i∈Nⁿ. |xi+yi| ≤ |xi|+|yi| ≤ kxk∞+kyk∞, donckxk∞+kyk∞ est un majorant de{|x_i+y_i|/i∈Nn}. Ainsi kx+yk∞≤ kxk∞+kyk∞.

Ainsik.k∞ est une norme surKⁿ.

Remarque. Pour tout p∈[1,+∞[, on peut d´efinir k.k_p : Kⁿ −→ R+

x= (x1, . . . , xn) 7−→ kxkp =

n

X

i=1

|xi|^p

!_p¹

et montrer que c’est une norme sur Kⁿ, mais ce r´esultat est hors programme . La d´efinition de la norme infinie se justifie alors par le r´esultat suivant.

∀x∈Kⁿ kxk_p −→

p→+∞kxk_∞. D´emonstration.

Soit x= (x₁, . . . , x_n)∈Kⁿ. kxk^p_∞≤

n

X

i=1

|x_i|^p, donc kxk∞≤ kxk_p.

De plus, kxk_p ≤ (nkxk^p_∞)^1p =kxk∞e^ln(n)p −→

p→+∞kxk∞. Ainsi, le principe des gendarmes permet de conclure.

Propri´et´e. Soient p ∈ N^∗ et E₁, . . ., E_p p K-espaces vectoriels munis de normes respectivement not´ees k.k₁, . . ., k.k_p. Alors E =E₁× · · · ×E_p est un espace vectoriel norm´e si on le munit de l’une des normes classiques suivantes.

N₁ : E −→ R+

x= (x₁, . . . , x_p) 7−→ N₁(x) =

p

X

i=1

kx_ik_i,

N₂ : E −→ R+

x= (x1, . . . , xp) 7−→ N2(x) = v u u t

p

X

i=1

kxik²_i , et

N∞: E −→ R+

x= (x₁, . . . , x_p) 7−→ N∞(x) = max

1≤i≤pkx_ik_i. D´emonstration.

Exercice.

Suites de vecteurs 1 Espaces vectoriels norm´es 1.2.2 Cas des int´egrales sur un intervalle compact

Propri´et´e. Soient (a, b)∈R² avec a < b. Sur C([a, b],K), on dispose de trois normes classiques.

k.k1 : C([a, b],K) −→ R⁺ f 7−→ kfk₁ =

Z b

a

|f(x)|dx, k.k₂ : C([a, b],K) −→ R+

f 7−→ kfk2 = s

Z b

a

|f(x)|²dx, et k.k∞ : C([a, b],K) −→ R⁺

f 7−→ kfk∞= sup

x∈[a,b]

|f(x)|. D´emonstration.

• Etude de la norme 1 :

Pour toutf ∈ C([a, b],K), kfk₁ ≥0.

Soit f ∈ C([a, b],K) tel que kfk₁ = 0. Ainsi Z b

a

|f(x)|dx = 0. Or x 7−→ |f(x)| est une application continue et positive sur [a, b] donc f = 0.

Soient λ∈K etf ∈ C([a, b],K). kλfk1 = Z b

a

|λf(x)|dx=|λ|kfk1. Soient f ∈ C([a, b],K) et g ∈ C([a, b],K).

kf +gk1 = Z b

a

|f(x) +g(x)|dx ≤ Z b

a

(|f(x)|+|g(x)|)dx≤ kfk1+kgk1. Ainsik.k₁ est une norme sur C([a, b],K).

• Etude de la norme 2 : admis.

• Etude de la norme∞ :

Pour toutf ∈ C([a, b],K), kfk∞ ≥0.

Soit f ∈ C([a, b],K) tel quekfk∞= 0. Ainsi pour tout x∈[a, b], 0≤ |f(x)| ≤ sup

y∈[a,b]

|f(y)|= 0, donc f = 0.

Soient λ∈K etf ∈ C([a, b],K). Soitx∈[a, b].|λf(x)|=|λ||f(x)| ≤ |λ|kfk∞, donc

|λ|kfk_∞ est un majorant de {|λf(x)|/x∈[a, b]}. Ainsi (1) :kλfk_∞≤ |λ|kfk_∞. Supposons que λ6= 0. Soit x∈[a, b]. |f(x)|= 1

|λ||λf(x)| ≤ 1

|λ|kλfk∞, donc 1

|λ|kλfk∞

est un majorant de {|f(x)|/x∈[a, b]}. Ainsi kfk∞≤ 1

|λ|kλfk∞.

On peut aussi d´emontrer cette derni`ere in´egalit´e en appliquant (1) au couple (1 λ, λf).

Pour λ= 0, k0fk∞ = 0 =|0|kfk∞, donc, dans tous les cas, kλfk∞=|λ|kfk∞. Soient f ∈ C([a, b],K) et g ∈ C([a, b],K).

Soit x∈ [a, b]. |f(x) +g(x)| ≤ |f(x)|+|g(x)| ≤ kfk∞+kgk∞, donc kfk∞+kgk∞ est un majorant de {|f(x) +g(x)|/x∈[a, b]}. Ainsi kf +gk∞≤ kfk∞+kgk∞.

Ainsik.k∞ est une norme surC([a, b],K).

1.3 Distance

D´efinition. Soit E un espace vectoriel norm´e . On appelle distance associ´ee `a la norme k.k de E, l’application d: E² −→ R+

(x, y) 7−→ kx−yk.

D´efinition. Soient E un espace vectoriel norm´e dont la distance associ´ee est not´eed etA une partie deE. La restriction ded `aA² est appel´ee la distance induite par d sur A.

Propri´et´e. Avec les notations pr´ec´edentes, pour toutx, y, z ∈E,

— d(x, y)∈R⁺ (positivit´e) ;

— d(x, y) = 0⇐⇒x=y (s´eparation) ;

— d(x, y) =d(y, x) (sym´etrie) ;

— d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z) (in´egalit´e triangulaire).

D´emonstration.

Les deux premi`eres propri´et´es sont simples `a ´etablir.

Pour l’in´egalit´e triangulaire, fixons (x, y, z)∈E³.

d(x, z) =kz−xk=k(z−y) + (y−x)k ≤ kz−yk+ky−xk=d(x, y) +d(y, z).

D´efinition. On appelle espace m´etrique tout couple (E, d) o`u E est un ensemble et o`ud :E² −→R+ est une application telle que, pour toutx, y, z ∈E,

— d(x, y) = 0⇐⇒x=y (s´eparation) ;

— d(x, y) =d(y, x) (sym´etrie) ;

— d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z) (in´egalit´e triangulaire).

Ainsi un espace vectoriel norm´e muni de la distance associ´ee `a sa norme est un espace m´etrique, mais il existe des espaces m´etriques qui ne sont pas des espaces vectoriels norm´es.

Sauf indication du contraire, les propri´et´es ´enonc´ees et d´emontr´ees dans le cadre des espaces vectoriels norm´es sont encore valables dans le cadre plus g´en´eral des espaces m´etriques (ce sera ´evident dans les nombreux cas o`u seule la distance associ´ee `a la norme intervient), cependant, nous nous contenterons du cadre des espaces vectoriels norm´es qui seul est au programme.

En fait, une certaine classe d’espaces m´etriques est au programme. Ce sont les (A, d_A) o`uA est une partie d’un espace vectoriel norm´e E et o`ud_A est la distance induite sur A par la distance associ´ee `a la norme de E.

Propri´et´e. Soit E un espace vectoriel norm´e dont la distance associ´ee est not´ee d.

Alors∀(x, y, z)∈E³ d(x+z, y+z) =d(x, y).

Cette propri´et´e ne se g´en´eralise pas aux espaces m´etriques.

Propri´et´e. Corollaire de l’in´egalit´e triangulaire. Soit E un espace vectoriel norm´e dont la distance associ´ee est not´eed.

Alors∀(x, y, z)∈E³ |d(x, y)−d(y, z)| ≤d(x, z).

Suites de vecteurs 1 Espaces vectoriels norm´es D´emonstration.

Soit (x, y, z)∈E³.d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y), donc d(x, y)−d(y, z)≤d(x, z).

En intervertissant x etz, on obtient que d(z, y)−d(y, x)≤d(z, x), donc |d(x, y)−d(y, z)| ≤d(x, z).

D´efinition. Soient E un espace vectoriel norm´e et (a, r)∈E×R^∗+.

La boule ouverte centr´ee enade rayonrest l’ensembleBo(a, r) = {x∈E/d(a, x)< r}.

La boule ferm´ee de centreaet de rayonrest l’ensembleB_f(a, r) ={x∈E/d(a, x)≤r}.

La sph`ere de centre a et de rayon r est l’ensemble S(a, r) = {x∈E/d(a, x) =r}.

D´efinition. Soit E un espace vectoriel norm´e.

On appelle boule unit´e de E la boule ferm´ee de centre 0 et de rayon 1.

Exemple. Etudions les formes des boules unit´es de R² muni respectivement des normes k.k1, k.k2 etk.k∞.

• Pour k.k₂, la boule unit´e est B ={(x, y) ∈R²/x²+y² ≤1}. Il s’agit du disque de centre O et de rayon 1.

• Pourk.k1,B ={(x, y)∈R²/|x|+|y| ≤1}, doncB∩R²+={(x, y)∈R²+/x+y ≤1}.

AinsiB∩R²+ est l’int´erieur du triangle d´elimit´e par les axes et par la droitex+y= 1.

Le reste de B s’obtient en appliquant `a B∩R<sup>2</sup>+ les sym´etries par rapport aux axes et par rapport `a O.

• Pour k.k∞, B ∩R²+ = {(x, y) ∈ R²+/x ≤ 1 et y ≤ 1}, donc B ∩R²+ est l’int´erieur du carr´e dont les sommets sont les points de O, (1,0), (0,1) et (1,1). Le reste de B s’obtient en appliquant `aB ∩R<sup>2</sup>+ les sym´etries par rapport aux axes et par rapport `a O.

Propri´et´e. (non g´en´eralisable aux espaces m´etriques) Les boules d’un espace vectoriel norm´e sont des convexes.

D´emonstration.

Soient E un espace vectoriel norm´e et (a, r) ∈ E ×R^∗+. Montrons que B_o(a, r) est convexe (la d´emonstration est similaire pour les boules ferm´ees).

Soient (x, y)∈B_o(a, r)² et t∈[0,1].

d(a, tx+ (1−t)y) =ktx+ (1−t)y−(ta+ (1−t)a)k

≤tkx−ak+ (1−t)ky−ak

< tr+ (1−t)r=r, donc [x, y]⊂B_o(a, r).

D´efinition. SoientEun espace vectoriel norm´e ,Aune partie non vide deE eta∈E.

On note d(a, A) = inf

x∈Ad(a, x). C’est la distance de a `a A.

D´emonstration.

{d(a, x)/x∈A}est une partie non vide deRminor´ee par 0, donc elle admet une borne inf´erieure. Ainsi d(a, A) est correctement d´efini.

D´efinition. Soient E un espace vectoriel norm´e , A et B deux parties non vides de E. On note d(A, B) = inf

(x,y)∈A×Bd(x, y). C’est la distance de A `a B.

Exemple. Dans R, pour tout a∈R, d(a,Q) = 0.

D´efinition. Soient E un espace vectoriel norm´e ,A une partie non vide de E.

On appelle diam`etre de A la quantit´e δ(A) = sup

(x,y)∈A²

d(x, y)∈R⁺∪ {+∞}.

Propri´et´e. Soient E un espace vectoriel norm´e et (a, r)∈E×R^∗+.δ(B_f(a, r))≤2r.

D´emonstration.

Soit (x, y) ∈ B_f(a, r)². d(x, y) ≤ d(x, a) +d(a, y) ≤ 2r, donc 2r est un majorant de {d(x, y)/(x, y)∈B_f(a, r)²}. Ainsi δ(B_f(a, r))≤2r.

Propri´et´e. (non g´en´eralisable aux espaces m´etriques) Soient E un espace vectoriel norm´e non nul et (a, r)∈E×R^∗+. Alors δ(B_f(a, r)) = 2r.

D´emonstration.

E ´etant non nul, il existe x₀ ∈ E \ {0}. Notons e le vecteur unitaire associ´e `a x₀. d(a+re, a−re) = 2r et (a+re, a−re)∈B_f(a, r)², donc δ(B_f(a, r))≥2r.

Propri´et´e. Soient E un espace vectoriel norm´e et A et B deux parties de E telles que ∅ 6=A⊂B. Alors δ(A)≤δ(B).

D´emonstration.

{d(x, y)/(x, y)∈A²} ⊂ {d(x, y)/(x, y)∈B²}, donc δ(A)≤δ(B).

D´efinition et propri´et´e. Soient E un espace vectoriel norm´e et A une partie de E.

Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.

i){kxk/x∈A} est born´e.

ii)Pour tout x₀ ∈E, {kx−x₀k/x∈A} est born´e.

iii) Pour tout x₀ ∈E, il existeR ∈R+ tel que A⊂B_f(x₀, R).

iv) Il existe (x₀, R)∈E×R⁺ tel que A⊂B_f(x₀, R).

Dans ce cas, on dit que A est born´ee.

D´emonstration.

Soit (x₀, x₁) ∈ E². Pour tout x ∈ E, kx − x₁k ≤ kx − x₀k +kx₀ −x₁k, donc si {kx−x₀k/x∈A} est born´e, alors{kx−x₁k/x∈A} est born´e.

Exemple. Les boules sont born´ees mais les droites affines ne sont pas born´ees.

D´emonstration.

Soit D une droite affine passant par a∈E et dirig´ee par le vecteur unitaire e.

d(a, a+λe) = λ, donc aucune boule ferm´ee centr´ee en a ne contient D. Ainsi D n’est pas born´ee.

D´efinition. Soient A un ensemble, E un espace vectoriel norm´e et f :A−→E une application. On dit que f est born´ee si et seulement si f(A) est une partie born´ee de E.

Propri´et´e. Soient A un ensemble non vide et E un espace vectoriel norm´e . On note B(A, E) l’ensemble des applications born´ees de A dans E.

Pour f ∈ B(A, E), on note kfk∞= sup

a∈A

kf(a)k.

(B(A, E),k.k∞) est un espace vectoriel norm´e .

Suites de vecteurs 1 Espaces vectoriels norm´es D´emonstration.

• L’application identiquement nulle est un ´el´ement deB(A, E), doncB(A, E)6=∅.

Soit (f, g, α, β)∈ B(A, E)²×K². Pour tout a∈A,

k(αf+βg)(a)k ≤ |α|kf(a)k+|β|kg(a)k ≤ |α|kfk∞+|β|kgk∞, donc (αf+βg)∈ B(A, E).

AinsiB(A, E) est un sous-espace vectoriel de F(A, E).

• De plus, d’apr`es ce qui pr´ec`ede, kαf +βgk∞≤ |α|kfk∞+|β|kgk∞, d’o`u l’on peut d´eduire l’in´egalit´e triangulaire.

Pour tout f ∈ B(A, E), kfk∞ ≥0.

Soit f ∈ B(A, E) tel que kfk∞= 0. Ainsi pour tout x∈A, 0≤ kf(x)k ≤sup

y∈A

kf(y)k= 0 etf = 0.

Soient λ ∈ K et f ∈ B(A, E). Soit x ∈ A. kλf(x)k = |λ|kf(x)k ≤ |λ|kfk∞, donc

|λ|kfk∞ est un majorant de {kλf(x)k/x∈A}. Ainsi (1) : kλfk∞ ≤ |λ|kfk∞. Supposons que λ6= 0. Soit x∈ A. kf(x)k= 1

|λ|kλf(x)k ≤ 1

|λ|kλfk∞, donc 1

|λ|kλfk∞

est un majorant de {kf(x)k/x∈A}. Ainsi kfk∞≤ 1

|λ|kλfk∞.

On peut aussi d´emontrer cette derni`ere in´egalit´e en appliquant (1) au couple (1 λ, λf).

Pour λ= 0, k0fk∞ = 0 =|0|kfk∞, donc, dans tous les cas, kλfk∞=|λ|kfk∞.

Propri´et´e. Soit E un espace vectoriel norm´e . On note l^∞(E) l’ensemble des suites born´ees `a valeurs dans E. Si (x_n)n∈N ∈l^∞(E), on note k(x_n)k∞= sup

n∈N

kx_nk.

(l^∞(E),k.k∞) est un espace vectoriel norm´e . D´emonstration.

Exercice.

1.4 Applications k-Lipschitziennes

D´efinition. Soient E et F deux espaces vectoriels norm´es, k ∈ R⁺ et f : E −→ F une fonction dont le domaine de d´efinition sera not´e D_f. f est k-lipschitzienne si et seulement si

∀(x, y)∈ D²_f d(f(x), f(y))≤kd(x, y).

Lorsque k < 1, on dit quef estk-contractante.

Propri´et´e. La compos´ee d’une application k-lipschitzienne et d’une application k⁰- lipschitzienne est une application kk⁰-lipschitzienne.

Propri´et´e. Soit E un espace vectoriel norm´e . L’application k.k est 1-lipschitzienne.

D´emonstration.

Soit (x, y)∈E². d(kxk,kyk) = |kxk − kyk| ≤ kx−yk.

Propri´et´e. Soient E un espace vectoriel norm´e et A une partie non vide de E.

L’application E −→ R⁺

x 7−→ d(x, A) est 1-lipschitzienne.

D´emonstration.

Soit (x, y)∈E². Soita∈A.d(x, A)≤d(x, a)≤d(x, y) +d(y, a), doncd(x, A)−d(x, y) est un minorant de {d(y, a)/a∈A}. Ainsi d(x, A)−d(x, y)≤d(y, A).

Donc d(x, A)−d(y, A)≤d(x, y).

En intervertissant les rˆoles jou´es parxety, on obtient qued(y, A)−d(x, A)≤d(x, y), donc |d(x, A)−d(y, A)|= max(d(x, A)−d(y, A), d(y, A)−d(x, A))≤d(x, y).

Propri´et´e. Soient p ∈ N^∗, E₁, . . ., E_p p espaces vectoriels norm´es dont les normes sont not´eesN₁, . . ., N_p. On note E =E₁× · · · ×E_p.

Soiti∈Np. L’applicationi^`emeprojection p_i : E −→ E_i x= (x1, . . . , xp) 7−→ xi

est 1-lipschit- zienne lorsque E est muni de l’une de ses trois normes classiques,k.k₁, k.k₂ ou k.k∞. D´emonstration.

Exercice.

Remarque. Sur E =C([0,1],R),f 7−→f(0) n’est pas lipschitzienne pour N₁. D´emonstration.

Soit k ∈R+. Supposons que cette application est k-lipschitzienne.

Ainsi, pour tout f ∈E, |f(0)| ≤kR1

0 |f(t)|dt.

Soit n ∈ N^∗. Notons fn le vecteur de E d´efini par les relations suivantes : pour tout t∈[0,¹_n] f(t) = 1−ntet pour tout t ∈[_n¹,1]f(t) = 0.

1 =|f_n(0)| ≤k Z 1

0

f_n(t)dt= k

2n, donc pour tout n∈N^∗, 2n≤k, ce qui est faux.

1.5 Normes ´ equivalentes

D´efinition. Soient E unK-espace vectoriel etk.k₁ etk.k₂ deux normes sur E. On dit que ces deux normes sont ´equivalentes si et seulement s’il existe (α, β)∈(R^∗+)² tel que

∀x∈E kxk1 ≤αkxk2 et kxk2 ≤βkxk1.

Propri´et´e. Avec les notations pr´ec´edentes, k.k₁ et k.k₂ sont ´equivalentes si et seule- ment si Id_E : (E,k.k₁) −→ (E,k.k₂) et Id_E : (E,k.k₂) −→ (E,k.k₁) sont lipschit- ziennes.

Exemple. Soient p ∈ N^∗ et E₁, . . ., E_p p espaces vectoriels norm´es dont les normes sont not´eesN₁, . . ., N_p. On noteE =E₁× · · · ×E_p. Les trois normes classiques,k.k₁, k.k₂ etk.k_∞ sont deux `a deux ´equivalentes.

D´emonstration.

Soit x= (x₁, . . . , x_p)∈E. kxk²_∞ ≤ kxk²₂, kxk²₂ =

p

X

i=1

N_i(x_i)² ≤(

p

X

i=1

N_i(x_i))²=kxk²₁ et kxk₁ ≤pkxk∞, ainsi k.k∞≤ k.k₂ ≤ k.k₁ ≤pk.k∞.

Suites de vecteurs 2 Suites dans un espace vectoriel norm´e Propri´et´e. Soit E un espace vectoriel norm´e. Sur l’ensemble des normes de E, la relation “ˆetre ´equivalente `a” est une relation d’´equivalence.

Propri´et´e. Soient E un K-espace vectoriel et k.k1 et k.k2 deux normes ´equivalentes surE.

Une partie A de E est born´ee pour k.k₁ si et seulement si elle est born´ee pour k.k₂ (cependant le diam`etre de A n’est pas le mˆeme pour k.k1 et pour k.k2).

D´emonstration.

Il existe (α, β)∈R²+ tel que ∀x∈E kxk₁ ≤αkxk₂ et kxk₂ ≤βkxk₁.

Si A est born´ee pour k.k₁ il existe R ∈ R+ tel que A ⊂ B_f^k.k1(O, R) ⊂ B_f^k.k2(O, βR), donc A est born´ee pour k.k₂.

Propri´et´e. Soient E et F deux K-espaces vectoriels. On suppose que E est muni de deux normes ´equivalentes, not´ees k.k^E₁ etk.k^E₂. On suppose ´egalement que F est muni de deux normes ´equivalentes, not´eesk.k^F₁ et k.k^F₂.

Alors f : E −→ F est lipschitzienne pour k.k^E₁ et k.k^F₁ si et seulement si elle est lipschitzienne pour k.k^E₂ etk.k^F₂.

D´emonstration.

Il existe (α, β)∈R²+ tel que, pour tout x∈E, kxk^E₁ ≤αkxk^E₂ etkxk^E₂ ≤βkxk^E₁. Il existe (α⁰, β⁰)∈R²+ tel que, pour toutx∈F, kxk^F₁ ≤α⁰kxk^F₂ etkxk^F₂ ≤β⁰kxk^F₁. Sif estk-lipschitzienne pour k.k^E₁ etk.k^F₁, pour tout (x, x⁰)∈E²,

kf(x)−f(x⁰)k^F₂ ≤β⁰kkx−x⁰k^E₁ ≤β⁰αkkx−x⁰k^E₂, doncf est lipschitzienne pour k.k^E₂ etk.k^F₂.

Remarque. Deux normes ´equivalentes se comportent de la mˆeme fa¸con relativement aux notions d´ej`a introduites dans ce chapitre et `a celles que l’on ´etudiera par la suite.

On d´emontrera plus loin que si E est un espace vectoriel norm´e de dimension finie, toutes les normes surE sont ´equivalentes, si bien que sur un espace vectoriel norm´e de dimension finie, le plus souvent, il n’est pas n´ecessaire de pr´eciser la norme utilis´ee.

2 Suites dans un espace vectoriel norm´ e

Notation. Pour tout ce chapitre, on fixe un espace vectoriel norm´e not´eE, sa norme

´

etant not´eek.k et sa distance associ´eed.

D´efinition. Une suite d’´el´ements de E est une application N −→ E n 7−→ xn

, que l’on note sous la forme (x_n)n∈N et, par abus, sous la forme (x_n) : dans ce contexte, n est une variable muette, la suite (xp) est ´egale `a la suite (xn).

On note E^N l’ensemble des suites d’´el´ements deE.

Si (x_n)∈E^N, l’ensemble{x_n/n∈N}des valeurs prises par la suite (x_n) est appel´e son support.

2.1 Convergence d’une suite

D´efinition. Soient (x_n) ∈ E^N une suite de vecteurs de E et l ∈ E. La suite (x_n) converge vers l si et seulement si

(1) : ∀ε∈R^∗+ ∃N ∈N ∀n∈N (n≥N =⇒d(x_n, l)≤ε).

Ainsi la suite (xn) converge vers le vecteur l si et seulement si , pour tout ε > 0, `a partir d’un certain rang, la distance dex<sub>n</sub> `al est inf´erieure `aε.

Exemple. _n¹ −→

n→+∞0.

En effet, si ε > 0, posons N = 1 +b¹_εc ∈ N. Soit n ≥ N. Alors n ≥ N ≥ ¹_ε, donc 0≤ _n¹ ≤ε.

ATTENTIONL’´ecriture “u_n −→

n→+∞

1

n” n’a aucun sens : la limite ne d´epend pas den.

Remarque. Soit n₀ ∈N et soit (x_n)_n≥n0 une suite d’´el´ements deE seulement d´efinie

`

a partir du rang n₀. On prolonge cette suite sur Nentier en choisissant arbitrairement x₀, . . . , x_n0−1. Alors la propri´et´e “x_n −→

n→+∞`” ne d´epend pas du choix de x₀, . . . , x_n0−1. Propri´et´e. Unicit´e de la limite.

Soient (x_n)n∈N une suite de vecteurs deE et (l, l⁰)∈E². Si (x_n) converge versl et versl⁰, alors l =l⁰.

Dans ce cas,l est appel´e la limite de la suite (x_n). On la notel = lim

n→+∞x_n. On note ´egalement x_n −→

n→+∞l.

D´emonstration.

Soit ε > 0. Il existe (N, N⁰) ∈ N² tel que pour tout n ≥ N d(x_n, l) ≤ ε et pour tout n≥N⁰ d(xn, l⁰)≤ε. Pour p=max(N, N⁰),

d(l, l⁰)≤d(l, x_p) +d(x_p, l⁰)≤2ε.

Ainsid(l, l⁰) est un minorant deR^∗+, doncd(l, l⁰) = 0 etl =l⁰.

Remarque. La seconde notation est plus simple d’emploi que la premi`ere. En effet, on ne peut ´ecrire “l = lim

n→+∞x_n” qu’apr`es avoir montr´e l’existence de la limite, alors que l’´ecriture “x_n −→

n→+∞l” exprime l’existence de la limite et le fait qu’elle vaut l.

Remarque. Dans (1), les deux derni`eres in´egalit´es peuvent ˆetre choisies indiff´eremment strictes ou larges.

D´emonstration.

• Montrons que

(1)⇐⇒ ∀ε∈R^∗+ ∃N ∈N ∀n ∈N (n ≥N =⇒d(xn, l)< ε).

“⇐=” est simple `a ´etablir.

Supposons (1). Soit ε > 0. ₂^ε > 0, donc il existe N ∈ N tel que, pour tout n ≥ N, d(xn, l)≤ ₂^ε < ε.

• Montrons que (1)⇐⇒ ∀ε∈R^∗+ ∃N ∈N ∀n∈N (n > N =⇒d(x_n, l)≤ε).

Suites de vecteurs 2 Suites dans un espace vectoriel norm´e

“=⇒” est simple `a ´etablir.

Supposons que ∀ε∈R^∗+ ∃N ∈N ∀n ∈N (n > N =⇒d(x_n, l)≤ε).

Soit ε > 0. il existe N ∈ N tel que, pour tout n > N, d(xn, l) ≤ ε. Ainsi, en posant N⁰ =N + 1, pour toutn ≥N⁰, d(x_n, l)≤ε.

• L’´equivalence (1)⇐⇒ ∀ε ∈ R^∗+ ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n > N =⇒ d(x_n, l) < ε) est laiss´ee en exercice.

D´efinition. Une suite de vecteurs de E est convergente si et seulement s’il existe l ∈E tel que x_n −→

n→+∞l. Sinon, on dit que la suite est divergente.

Propri´et´e. Soient (x_n) une suite de vecteurs de E et l∈E.

Six_n −→

n→+∞l, alorskx_nk −→

n→+∞klk, mais la r´eciproque est fausse.

xn −→

n→+∞0 si et seulement si kxnk −→

n→+∞0.

x_n −→

n→+∞l si et seulement sid(x_n, l) −→

n→+∞0.

D´emonstration.

• Supposons que x_n −→

n→+∞l.

Soit ε >0. Il existe N ∈N tel que pour toutn ≥N, kx_n−lk ≤ε.

Soit n ≥N. |kxnk − klk| ≤ kxn−lk ≤ε, donc kxnk −→

n→+∞klk.

• Supposons que la r´eciproque est vraie pour une suite (x_n) convergeant versl. Comme kx_nk −→

n→+∞klk = k −lk, en utilisant la r´eciproque x_n −→

n→+∞−l et d’apr`es l’unicit´e de la limite, l =−l. Ainsi l = 0. Donc la r´eciproque est fausse au moins pour toute suite convergeant vers une limite non nulle.

• Cependant, lorsquel = 0, la r´eciproque est vraie. En effet, si kxnk −→

n→+∞0,

∀ε∈R^∗+ ∃N ∈N ∀n∈N (n≥N =⇒ kx_nk=d_R(kx_nk,0)≤ε), donc x_n −→

n→+∞0.

• En fait, xn −→

n→+∞l si et seulement si

∀ε ∈ R^∗+ ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n ≥ N =⇒ |d(x_n, l)−0| = d(x_n, l) ≤ ε), donc si et seulement si d(x_n, l) −→

n→+∞0.

Principe des gendarmes : Soit (x_n)∈E^N et `∈E.

S’il existe une suite de r´eels (gn) telle que∀n ∈N, d(xn, l)≤gn etgn −→

n→+∞0, alors x_n −→

n→+∞`.

D´emonstration.

Au tableau.

Exemple. Montrer que Z 1

0

tⁿ

cost−2 dt −→

n→+∞0.

Propri´et´e. Soit N une seconde norme sur E, ´equivalente `a k.k.

Alors, pour toute suite (xn) de E et pour tout l ∈E, xn

−→N

n→+∞l⇐⇒xn

−→k.k n→+∞l.

D´emonstration.

Il existe (α, β)∈(R^∗+)² tel que N ≤αk.k et k.k ≤βN. Supposons que x_n −→^N

n→+∞ l. Soit ε > 0. Il existe M ∈ N tel que pour tout n ≥ M, N(x_n−l)≤ ε

β. Donc pour tout n≥M,kx_n−lk ≤ε, ce qui prouve que x_n −→^k.k

n→+∞l.

Exercice. Notons E l’espace des fonctions continues de [0,1] dans R.

On notek.k₁,k.k₂ etk.k∞les normes de la convergence en moyenne, de la conver- gence en moyenne quadratique et de la convergence uniforme.

Pour tout n ∈ N^∗, on note fn l’´el´ement de E d´efini par les relations suivantes : f_n(t) = 2nt pour tout t ∈ [0,_2n¹ ], f_n(t) = −2nt+ 2 pour tout t ∈ [_2n¹ ,_n¹] et f_n(t) = 0 pour toutt ∈[_n¹,1].

En ´etudiant la suite (fn), montrer que les trois normes sont deux `a deux non

´equivalentes.

Solution :

• Soit n ∈N^∗.

Le graphe def_n est la r´eunion des segments [O, A], [A, B] et [B, C], les pointsO, A,B etC ayant pour coordonn´ees (0,0), (_2n¹ ,1), (_n¹,0) et (1,0).

kf_nk∞ = 1.

kf_nk₁ est l’aire du triangle OAB, donc kf_nk₁ = _2n¹ . kf_nk²₂ =

Z _2n¹

0

(2nt)²dt+ Z ¹_n

1 2n

(−2nt+ 2)²dt.

Posonst = _n¹ −u dans la derni`ere int´egrale, ce qui est possible car l’application u7−→ _n¹ −uest de classe C¹. Ainsi,

kfnk²₂ = 2 Z _2n¹

0

(2nt)²dt= 8n² ht³

3 i_2n¹

0 = 8n²

3 × 1

(2n)³ = 1 3n. On en d´eduit que kfnk2 = 1

√3n.

• Pour k.k∞, f_n ne tend pas vers 0, mais f_n tend vers 0 pour k.k₁ et k.k₂. Ainsi, k.k∞ etk.k₁ ne sont pas ´equivalentes etk.k∞ et k.k₂ non plus.

√

nf_n tend vers 0 pour k.k₁, mais ce n’est pas le cas pour k.k₂, donc ces deux normes ne sont pas ´equivalentes.

Propri´et´e. Toute suite convergente est born´ee.

D´emonstration.

Soient (xn)∈E^Netl∈E tels quexn −→

n→+∞l. Il existeN ∈Ntel que pour toutn≥N, d(x_n, l)≤1.

PosonsR =max(1, max

0≤k≤N−1d(x_k, l))). Pour tout n ∈N,d(x_n, l)≤R, donc {x_n/n ∈N} ⊂B_f(l, R), ce qui prouve que la suite (x_n) est born´ee.

Suites de vecteurs 2 Suites dans un espace vectoriel norm´e

2.2 Somme et produit de limites

Propri´et´e. (ne se g´en´eralise pas aux espaces m´etriques) Soient (x_n) et (y_n) deux suites deE convergeant vers l etl⁰. Alors la suite (x_n+y_n) converge vers l+l⁰. D´emonstration.

k(x_n+y_n)−(l+l⁰)k ≤ kx_n−lk+ky_n−l⁰k −→

n→+∞0.

Propri´et´e. (ne se g´en´eralise pas aux espaces m´etriques) Soient (x_n) et (y_n) deux suites de E telle que la suite (x_n+y_n) converge. Alors (x_n) et (y_n) sont toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes. On dit que les suites (xn) et (yn) ont la mˆeme nature.

D´emonstration.

Si (x_n) converge, (y_n) = ((x_n+y_n) + (−x_n)) converge.

Propri´et´e. (ne se g´en´eralise pas aux espaces m´etriques) Soient (l_n) une suite de E qui converge versl∈E et (α_n) une suite de scalaires qui converge versα. Alors la suite (α_n.l_n) converge vers α.l.

D´emonstration.

Soit n ∈N. kα_n.l_n−α.lk=k(α_n−α).l_n+α.(l_n−l)k ≤ |α_n−α|kl_nk+|α|kl_n−lk.

(l_n) est une suite convergente, donc elle est born´ee. Ainsi, il existeM > 0 tel que pour tout n ∈N, klnk ≤M.

Ainsi, pour tout n∈N, kα_n.l_n−α.lk ≤ |α_n−α|M +|α|kl_n−lk −→

n→+∞0.

Remarque. La d´ecomposition “αn.ln−α.l= (αn−α).ln+α.(ln−l)” est tr`es souvent utilis´ee.

Propri´et´e. Soient (αn)∈K^N et (xn)∈E^N. Si l’une des suites est born´ee et si l’autre tend vers 0, alors α_nx_n −→

n→+∞0.

D´emonstration.

Supposons par exemple que (α_n) est born´ee et que x_n −→

n→+∞0.

Il existeM ∈R+ tel que ∀n∈N, |a_n| ≤M. Alors kα_nx_nk ≤Mkx_nk −→

n→+∞0, donc α_nx_n −→

n→+∞0 d’apr`es le principe des gendarmes.

Remarque. Sur E =C⁰([0,1],R) muni de la normek.k₁, consid´erons la suite d’appli- cations (f_n) d´efinie par les relations suivantes : pour tout n∈N et pour tout t∈[0,1]

fn(t) = √ ntⁿ. kf_nk₁ =

√n n+ 1 −→

n→+∞0, donc f_n −→

n→+∞0, mais kf_n.f_nk₁ = kt 7−→ nt²ⁿk₁ = n

2n+ 1 −→

n→+∞

1

2 6= 0, donc f_n.f_n ne tend pas vers 0 pour k.k₁.

Ce r´esultat n’est pas en contradiction avec la propri´et´e pr´ec´edente car dans la propri´et´e, le produit consid´er´e est celui d’un scalaire par un vecteur alors que dans cet exemple, le produit consid´er´e est celui de deux fonctions.

Propri´et´e. L’ensemble des suites convergentes de E not´e E_cv^N est un sous-espace vectoriel de l^∞(E) et l’application E_cv^N −→ E

(x_n) 7−→ lim

n→+∞x_n est une application lin´eaire.

D´emonstration.

La suite identiquement nulle est un ´el´ement de E_cv^N, doncE_cv^N 6=∅.

Si (x_n) et (y_n) convergent vers l et l⁰, pour tout (α, β) ∈ K², α(x_n) +β(y_n) converge vers αl+βl⁰.

Propri´et´e. Suites `a valeurs dans un produit.

Soient p∈N^∗ etE₁, . . .,E_p pespaces vectoriels norm´es, leurs normes ´etant not´eesN₁, . . ., N_p. On noteE =E₁× · · · ×E_p que l’on munit de l’une des trois normes classiques.

Soient (x_n)_n∈N= ((x_1,n, . . . , x_p,n))_n∈Nune suite d’´el´ements de E etl = (l₁, . . . , l_p)∈E.

Alors (x_n) converge versl si et seulement si, pour touti∈Np, (x_i,n) converge vers l_i. D´emonstration.

Les trois normes ´etant ´equivalentes, on peut choisir de travailler avec la norme k.k₁. La suite (x_n) converge versl si et seulement si

p

X

i=1

N_i(x_i,n−l_i) = kx_n−lk₁ −→

n→+∞0, donc si et seulement si pour tout i∈Np

Ni(xi,n−li) −→

n→+∞0, c’est-`a-dire si et seulement si pour touti∈N^p, (xi,n) converge vers l_i.

3 Suites de complexes

3.1 Premi` eres propri´ et´ es

Propri´et´e. Soit (x_n)∈C^∗N telle que x_n −→

n→+∞`∈C\ {0}. Alors 1 x_n −→

n→+∞

1

`. D´emonstration.

|`|

2 >0, donc il existeM ∈N tel que pour toutn ≥M, |x_n−`| ≤ |`|

2 .

D’apr`es le corollaire de l’in´egalit´e triangulaire, pour toutn ≥M,|`| − |x_n| ≤ |`|

2 , donc |x_n| ≥ |`|

2 .

Soit ε >0. Il existe N⁰ ∈N tel que, pour toutn ≥N⁰,|x_n−`| ≤ |`|² 2 ε.

PosonsN = max(N⁰, M). Soit n ≥N. | 1 x_n − 1

`|= |`−x_n|

|x_n||`| ≤ |`|²

2 ε× 2

|`|² =ε.

Propri´et´e. Soit (zn) une suite de complexes et ` ∈C. Alorsz_n −→

n→+∞` si et seulement si Re(z_n) −→

n→+∞Re(`) et Im(z_n) −→

n→+∞Im(`).

Dans ce cas, on a donc lim

n→+∞z_n= lim

n→+∞Re(z_n) +i lim

n→+∞Im(z_n).

Suites de vecteurs 4 Suites de r´eels D´emonstration.

Pour l’implication directe, on utilise les majorations |Re(z_n)−Re(`)| ≤ |z<sub>n</sub> −`| et

|Im(zn) −Im(`)| ≤ |zn− `|. Pour l’implication r´eciproque, on utilise la majoration

|z_n−`| ≤ |Re(z<sub>n</sub>)−Re(`)|+|Im(z_n)−Im(`)|.

3.2 Quelques suites d´ efinies par r´ ecurrence

3.2.1 Suites arithm´etico-g´eom´etriques

Propri´et´e. Soita, b∈C. Soit (u_n) une suite de complexes telle que, pour tout n∈N, u_n+1 =au_n+b.

Supposons que a 6= 1 (sinon (u_n) est arithm´etique). Il existe un unique c∈ C tel que c=ac+b. Alors u_n+1−c=a(u_n−c), donc pour tout n∈N, u_n−c=aⁿ(u₀−c).

3.2.2 Suites r´ecurrentes lin´eaires d’ordre 2

Propri´et´e. Soient (a, b)∈K²\ {(0,0)} et (u_n)∈K^N une suite telle que

∀n ∈N, u_n+2 =au_n+1+bu_n.

On note χ(X) =X² −aX −b. On l’appelle le polynˆome caract´eristique de (u_n). On note ∆ =a² + 4b le discriminant de χ.

Premier cas. Supposons que ∆6= 0.

Alorsχ admet deux racines complexes distinctes que l’on notera λ₁ et λ₂. Dans ce cas,

∃(C₁, C₂)∈C² ∀n∈N, u_n=C₁λⁿ₁ +C₂λⁿ₂.

Dans le cas particulier o`u K =R et o`u ∆<0, il est parfois (mais pas toujours) utile d’´ecrireu_n sous une forme explicitement r´eelle. Or dans ce cas,λ₁ ∈C\R etλ₂ =λ₁. Posonsλ₁ =ρe^iθ. Alors, pour tout (C₁, C₂)∈C² et pour tout n ∈N,

C₁λⁿ₁ +C₂λⁿ₂ =ρⁿ((C₁+C₂) cos(nθ) +i(C₁−C₂) sin(nθ)). On en d´eduit que

∃(D₁, D₂)∈R² ∀n ∈N, u_n =ρⁿ(D₁cos(nθ) +D₂sin(nθ)).

Deuxi`eme cas. On suppose que ∆ = 0. Alors χ admet une racine double dans K, not´ee λ. Dans ce cas,

∃(C₁, C₂)∈K² ∀n ∈N, u_n =λⁿ(C₁+nC₂).

D´emonstration.

Au tableau.

Exemple. Fibonacci : F_n+2 =F_n+1+F_n, donc il existe α, β ∈ R tels que, pour tout n∈N, F_n =αλⁿ+β(−1)ⁿ

λⁿ , o`u λ= 1 +√ 5

2 est le nombre d’or.

3.2.3 Suites homographiques Au tableau.

4 Suites de r´ eels

4.1 Limites infinies

D´efinition. Soit (x_n) une suite de r´eels. On dit que x_n tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞ si et seulement si∀M ≥0, ∃N ∈N, ∀n≥N, x_n ≥M.

On dit que xn tend vers −∞lorsque n tend vers +∞ si et seulement si

∀M ≥0, ∃N ∈N, ∀n≥N, x_n≤ −M.

D´efinition. Lorsqu’une suite de r´eels tend vers +∞ ou −∞, elle est toujours diver- gente : on dit qu’elle diverge vers +∞ ou −∞. On distingue ainsi trois cat´egories de suites r´eelles :

— Les suites convergentes. Ce sont celles qui convergent vers un r´eel.

— Les suites divergentes de premi`ere esp`ece. Ce sont celles qui divergent vers +∞

ou−∞.

— Toutes les autres suites. On dit qu’elles sont divergentes de seconde esp`ece.

Propri´et´e. Siϕest une application strictement croissante de N dans N. On montre par r´ecurrence que, pour tout n ∈N,ϕ(n)≥n, doncϕ(n) −→

n→+∞+∞.

D´efinition. Soit (x_n) une suite d’un espace m´etrique E. On dit que x_n −→

n→+∞∞ si et seulement si d(x₀, x_n) −→

n→+∞+∞.

Exemple. z_n =i+n −→

n→+∞∞.

Propri´et´e. Composition des limites : Soit (x_n) une suite d’un espace m´etrique E qui converge vers` ∈E∪{∞}. Soitϕune application deNdansNtelle queϕ(n) −→

n→+∞+∞.

Alorsxϕ(n) −→

n→+∞`.

D´emonstration.

Supposons que ` ∈E.

Soit ε >0. Il existe N⁰ ∈N tel que pour toutn ≥N⁰, d(x_n, `)≤ε.

De plus, il existe N ∈N tel que pour toutn ≥N,ϕ(n)≥N⁰. Ainsi, pour tout n≥N, d(x_ϕ(n), `)≤ε.

On proc`ede de mˆeme lorsque ` =∞.

Propri´et´e. Soient (x_n) une suite d’´el´ements de E etl ∈E.

x_n −→

n→+∞l si et seulement six_2n −→

n→+∞l et x_2n+1 −→

n→+∞l.

Suites de vecteurs 4 Suites de r´eels D´emonstration.

Supposons que x_n −→

n→+∞l. 2n ≥n −→

n→+∞+∞, donc 2n −→

n→+∞+∞.

De mˆeme, 2n+ 1 −→

n→+∞+∞ : par composition des limites, x_2n −→

n→+∞l etx_2n+1 −→

n→+∞l.

R´eciproquement, supposons quex_2n −→

n→+∞l etx_2n+1 −→

n→+∞l.

Pour tout n∈N, n∈ {2bⁿ₂c,2bⁿ⁻¹₂ c+ 1}, donc d(x_n, l)≤d(x2bⁿ

2c, l) +d(x_2bⁿ⁻¹

2 c+1, l) −→

n→+∞0.

Propri´et´e. Soient (x_n) une suite d’´el´ements deE,l∈E etp∈N^∗ tels que, pour tout i∈ {0, . . . , p−1}, xpn+i −→

n→+∞l. Alors xn −→

n→+∞l.

D´emonstration.

Adapter la d´emonstration pr´ec´edente.

Remarque. C’est encore vrai dans le cas de limites infinies.

Propri´et´e. Les propri´et´es sur les somme et produit de limites se g´en´eralisent au cas des limites infinies, sauf dans certains cas que l’on appelle des “formes ind´etermin´ees” : soit (x_n),(y_n) deux suites de r´eels et ε, ε⁰ ∈ {−1,1}.

— Si x_n −→

n→+∞ε∞ ety_n −→

n→+∞y∈R, alors x_n+y_n −→

n→+∞ε∞.

— Si x_n −→

n→+∞ε∞ et y_n −→

n→+∞ε∞, alors x_n +y_n −→

n→+∞ε∞, mais x_n−y_n est une forme ind´etermin´ee du type ∞ − ∞.

— Si x_n −→

n→+∞ε∞, alors−x_n −→

n→+∞−ε∞.

— Si xn −→

n→+∞ε∞ etα >0, alors αxn −→

n→+∞ε∞.

— Si x_n −→

n→+∞ε∞ ety_n −→

n→+∞` ∈R+, alors x_ny_n −→

n→+∞ε∞, sauf lorsque ` = 0, qui est une forme ind´etermin´ee du type 0× ∞.

— Si x_n −→

n→+∞ε∞ ety_n −→

n→+∞ε⁰∞, alors x_ny_n −→

n→+∞εε⁰∞.

— Si x_n −→

n→+∞ε∞ alors 1 x_n −→

n→+∞0.

— Si x_n −→

n→+∞0⁺ alors 1 x_n −→

n→+∞+∞.

Remarque. La forme ind´etermin´ee du type 0× ∞ se d´ecline aussi sous les formes ^∞_∞ et ⁰₀.

Exemples :

— u_n= (n+_n¹)²−n² : c’est une forme ind´etermin´ee du type ∞ − ∞.

En d´eveloppant, u_n = 2 +_n¹2 −→

n→+∞2.

— u_n=√

n+ 1−√ n −→

n→+∞0, en utilisant la quantit´e conjugu´ee.

— u_n = 2n²+n−1

n²−3 : c’est une forme ind´etermin´ee du type ∞

∞ = 0× ∞. En factorisant,u_n = 2 + ¹_n− _n¹2

1−_n³2

n→+∞−→ 2.

Remarque. Lorsque u_n est de la formeu_n =a^b_nⁿ, il est indispensable d’´ecrire u_n=e^bnlnan pour ´etudier sa limite.

En effet, la quantit´e a^b_nⁿ admet trop de formes ind´etermin´ees : ∞⁰, 0⁰ et la sournoise 1^+∞.

Par exemple, u_n= (1 + ¹_n)ⁿ=e^nln(1+1n) −→

n→+∞e car ^ln(1+x)_x −→

x→0 1.

4.2 limites et relation d’ordre

Principe des gendarmes : Soit (p_n),(g_n),(g⁰_n) trois suites de r´eels telles que

— Pour tout n ∈N,g_n≤p_n≤g⁰_n;

— Il existe `∈R tel que g_n −→

n→+∞` et g_n⁰ −→

n→+∞`.

Alorspn −→

n→+∞`.

D´emonstration.

Soit ε >0. Il existe N₁, N₂ ∈N tels que,

pour tout n≥N₁, |g_n−`| ≤ε et pour tout n≥N<sub>2</sub>, |g<sup>0</sup><sub>n</sub>−`| ≤ε.

PosonsN = max(N₁, N₂). Soitn ≥N :

`−ε≤g<sub>n</sub>≤p<sub>n</sub>≤g<sup>0</sup><sub>n</sub>≤`+ε, donc −ε≤p_n−` ≤ε.

Ainsi, pour tout n≥N, |p_n−`| ≤ε.

Le principe des gendarmes s’adapte aux cas des limites infinies : Principe des gendarmes : Soit (x_n) et (y_n) deux suites de r´eels.

Si, pour tout n∈N, x_n≥y_n et si y_n −→

n→+∞+∞, alors x_n −→

n→+∞+∞.

Si, pour tout n∈N, x_n≤y_n et si y_n −→

n→+∞−∞, alors x_n −→

n→+∞−∞.

Lemme du tunnel :Soit (u_n) une suite de r´eels qui converge vers `∈R. Soit a, b∈Rtels que a < ` < b.

Alors il existeN ∈N tel que pour tout n≥N, a < u_n < b.

On dit que “u_n∈]a, b[ `a partir d’un certain rang”.

D´emonstration.

Posonsε= min(`−a, b−`).ε >0, donc il existe N ∈N tel que∀n≥N, |u_n−`| ≤ε.

Soit n ≥N : a≤`−ε < u_n < l+ε≤b.

Exemple. Si u_n −→

n→+∞` >0, alors `a partir d’un certain rang,u_n >0.

ATTENTION !C’est faux avec des in´egalit´es larges.

Propri´et´e. Passage `a la limite dans une in´egalit´elarge.

Soit (a_n) et (b_n) deux suites convergentes de r´eels telles que, pour toutn ∈N,a_n≤b_n. Alors lim

n→+∞a_n≤ lim

n→+∞b_n. D´emonstration.

Posonsx_n =b_n−a_n. Pour toutn ∈N, x_n≥0 et x_n −→

n→+∞` ∈R. Il s’agit de montrer que `≥0.

Soit ε >0. Il existe N ∈N tel que, pour toutn≥N, |x_n−`| ≤ε.

En particulier, x_N −` ≤ε, donc` ≥x_N −ε≥ −ε.