Sup PCSI2 — Contrˆole 2003/09
Rappel : r´edigez chaque partie ou exercice sur une (ou plusieurs) copie(s) s´epar´ee(s). Pas d’encre rouge. Les calculatrices ne sont pas autoris´ees. Toutes les justifications doivent figurer sur votre copie, mais la r´edaction doit rester sobre. Vous pouvez admettre un r´esultat, `a condition de le signaler tr`es clairement. Les copies mal pr´esent´ees encourent une p´enalit´e de deux points sur vingt. Mettez votre nom sur chaque copie. Qu’on se le dise.
Exercice 1 (d’apr` es un fragment d’une ´ epreuve du CCC 1998)
◮SoientKun corps et n∈N∗. NotonsEl’ensemble des matrices carr´ees d’ordren, `a coefficients dansK. In
d´esigne la matrice identit´e d’ordren. Pouri etj appartenant `a [[1,n]], nous noterons Ωi,j la matrice d´efinie par (Ωi,j)ℓ,k=δi,ℓδj,k quels que soientℓet kappartenant `a [[1,n]].
Q1 ´Enoncez et d´emontrez la formule donnant une expression simple de Ωi,j×Ωℓ,k.
◮Notons tr(A) la trace de la matrice A ∈ E: tr(A) = X
16i6n
Ai,i. Nous savons que la trace est une forme lin´eaire non nulle surE.
Q2 SoientAet B deux ´el´ements deE. D´emontrez la relation tr(A×B) = tr(B×A).
Q3 Notons H l’ensemble des ´el´ements deE dont la trace est nulle. Montrez que Hest un s.e.v. de E; quelle est sa dimension ?
Q4 NotonsD={kIn|k∈K} l’ensemble des matrices scalaires. Montrez queDest un s.e.v. de E; quelle est sa dimension ?
Q5 Montrez que Het Dsont suppl´ementaires l’un de l’autre.
◮D´esormais,K=R. D´efinissonsϕ: (A, B)∈E27→tr(tA×B).
Q6 Prouvez queϕest un produit scalaire.
◮(E, ϕ) est donc un espace euclidien.
◮NotonsT la transposition :T(A) =tA; nous savons queT est un automorphisme involutif deE.
Q7 Montrez que T est un automorphisme orthogonal deE. Interpr´etez g´eom´etriquement.
◮D´esormais,n= 2 ; doncEd´esigne leR-e.v. des matrices carr´ees d’ordre 2 `a coefficients r´eels. Nous noterons B= (Ω1,1; Ω1,2; Ω2,1; Ω2,2) la base canonique deE.
Q8 D´eterminez la matriceM deϕdansB.
Q9 Best-elle orthonorm´ee, pour le produit scalaire ϕ? Q10 D´eterminez la matrice dansBdeT.
Q11 Quelle est la trace deT ?
Q12 Montrez que les s.e.v. Het Dsont suppl´ementaires orthogonaux.
Q13 D´eterminez la matrice dansBde la projection orthogonaleπH surH.
Q14 Montrez queT commute avec la projection orthogonaleπD surD.
◮NotonsN la norme associ´ee `aϕ:N(A) =p
ϕ(A, A) pourA∈E.
Q15 SoitA∈E. Combien vaut N(A) siAest orthogonale ?
Q16 SoientAet B deux ´el´ements deE. D´emontrez l’in´egalit´eN(A×B)6N(A)N(B).
Tournez S.V.P.
Exercice 2 (E.M. Lyon 2001)
Q1 Soit f ∈ C¡
[0,1],R¢
. Justifiez l’existence de la fonctionF : x∈[0,1]7→
Z x
0
¡f(t) +f(t2)¢ dt.
Q2 Montrez que F est de classeC1. Vous expliciterezF′(x).
Q3 Montrez que sif est de classeCk, alorsF est de classeCk+1.
◮Notons d´esormais Φ la fonction qui, `af ∈ C¡
[0,1],R¢
associe Φ(f) =F o`uF a ´et´e d´efinie `a la question 1.
Q4 Soient x ∈[0,1] et f ∈ C¡
[0,1],R¢
. Des trois notations¡ Φ(f)¢
(x), Φ¡ f(x)¢
et Φ(f)(x), lesquelles ont un sens ?
Q5 Soit f ∈ C¡
[0,1],R¢
. Combien vaut¡ Φ(f)¢
(0) ? Q6 Φ est-il surjectif ?
Q7 Montrez que Φ est un endomorphisme de C¡
[0,1],R¢ . Q8 Nous savons que C∞¡
[0,1],R¢
est un s.e.v. de C¡
[0,1],R¢
. Montrez que ce s.e.v. est stable par Φ.
◮Dans les cinq questions suivantes, nous ´etudions l’injectivit´e ´eventuelle de Φ. Soitf ∈ker(Φ).
Q9 Soit t∈[0,1]. Quelle relation simple existe-t-il entref(t) etf(t2) ? Q10 Combien valentf(0) etf(1) ?
◮Supposons qu’il existex∈]0,1[ tel quef(x)6= 0.
Q11 Consid´erons la suite (xn)n∈Nd´efinie par x0=xet xn+1 = (xn)2 pour n∈N. Quelle est la limite de cette suite ?
Q12 Observez la suite de terme g´en´eralf(xn) et mettez en ´evidence une contradiction.
Q13 Φ est-il injectif ?
◮Int´eressons-nous `a l’action de Φ sur R[X]. Nous identifierons P ∈R[X] et la fonction polynˆome associ´ee, que nous consid´ererons comme un ´el´ement deC∞¡
[0,1],R¢ . Q14 Montrez queR[X] est un s.e.v. deC¡
[0,1],R¢
stable par Φ.
Q15 Explicitez Φ(Xn) pourn∈N.
Q16 SoitP un ´el´ement deR[X], autre que le polynˆome nul. Notonsnle degr´e deP. Quel est le degr´e de Φ(P) ? Q17 Soitq∈N; notons Φq leq-i`eme it´er´e de Φ. Calculez le degr´edq de Φq(X).
◮NotonsE l’ensemble des ´el´ements deR[X] dont 0 est racine.
Q18 Montrez queE est un s.e.v. deR[X], et qu’il est stable par Φ.
Q19 L’endomorphisme deE induit par Φ est-il surjectif ?
◮Un peu de calcul pour finir.
Q20 Soientf : t∈[0,1]7→ln(1 +t) etF = Φ(f). ExplicitezF(x), pour x∈[0,1].
[Contr^ole 2003/09] Compos´e le 11 juin 2008
