Feuille d’exercices 12

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UNIVERSIT ´ E PIERRE ET MARIE CURIE Ann´ ee 2008/2009

MIME 13 LM 120

Feuille d’exercices 12

Examen janvier 2005

Question de cours

Enoncer le th´ ´ eor` eme du rang et expliquer pourquoi un endomorphisme de R

ⁿ

est surjectif si et seulement si il est injectif.

Exercices

Exercice 1. On consid` ere la matrice A d´ ependant du param` etre a ∈ R

A =





1 0 a

1 1 1

0 −1 0





et le syst` eme lin´ eaire d´ ependant des deux param` etres a, b ∈ R







x + + az = 1

x + y + z = 0

− y = b

1. Montrer que A est inversible si et seulement si a 6= 1.

2. Exprimer la solution du syst` eme en fonction de a et b dans le cas a 6= 1.

3. Indiquez le rang de A dans le cas a = 1.

4. Dans le cas a = 1, montrer que le syst` eme est incompatible si b 6= 1.

5. D´ ecrire l’ensemble des solutions du syst` eme dans le cas a = b = 1.

Exercice 2. Soit F = {v

₁

, v

₂

, v

₂

, v

₄

} la famille de vecteurs de R

³

d´ efinie par

v

1

=



 1 2

−1



 , v

2

=





−3

−6 3



 , v

3

=



 0 2 1



 , v

4

=



 2 2

− 1



 .

1. Cette famille est-elle libre ? Est-elle g´ en´ eratrice ? On ne se contentera pas de r´ epondre par oui ou par non (ce qui ne vaudra rien), mais on justifiera soigneusement chaque r´ eponse.

2. Extraire de la famille F une base du sous-espace vectoriel de R

³

qu’elle engendre.

1

(2)

Exercice 3. Soit {e

1

, e

2

, e

3

} la base canonique de R

³

. On se donne une application lin´ eaire f de R

³

dans R

³

telle que

f (e

1

) = 2e

1

− 3e

2

+ 3e

3

, f (e

2

) = −e

2

+ 3e

3

, f(e

3

) = 3e

2

− e

3

. 1. Ecrire la matrice de ´ f dans la base canonique.

2. Montrer que la famille

B =









 1 0 1



 ,



 0 1 1



 ,



 0

−1 1









 est une base de R

³

.

3. Calculer les images de vecteurs de B par f .

4. Calculer la matrice de f dans la base B. Que remarque-t-on ?

Exercice 4. On consid` ere les matrices d´ ependant des param` etres a, b ∈ R , A =

a 0 0 a

, B = 0 b

0 0

, C = a b

0 a

.

1. Pour tout n > 0 entier, exprimer la matrice A

ⁿ

en fonction de a.

2. Montrer que B

ⁿ

= 0 pour tout n > 1 entier.

3. Montrer que AB = BA.

4. Montrer que pour tout entier n > 0, on a C

ⁿ

= A

ⁿ

+ nA

ⁿ⁻¹

B. 5. En d´ eduire l’expression de C

ⁿ

en fonction des param` etres a et b pout tout n entier.

2