ChapitreX CalculInt´egral

(1)

Calcul Int´ egral

Terminologie :Soitf une fonction d´efinie sur un intervalleI. On dit que :

• f est de classeC⁰ surIsif est une fonction continue surI;

• f est de classeCⁿ surI(n∈N^∗), sif est une fonctionnfois dérivable surI et si la dérivéen-ième def, notéef⁽ⁿ⁾, est continue surI.

• f est de classeC^∞ si elle est ind´efiniment d´erivable surI (i.e. de classeCⁿ surI, pour toutn∈N).

1 Primitives

1.1 D´ efinition, existence et discussion sur la non-unicit´ e

Soitf:I→Rune fonction. Une primitive def surI est une fonctionF:I→Rqui est d´erivable surI et qui v´erifie :

∀x∈I F^′(x) =f(x).

D´efinition 1 (Primitive d’une fonction)

◮ Exemple 1 :Les fonctions

F1:R→R, x7→x³

3 et F2:R→R, x7→ x³ 3 + 1 sont deux primitives de la fonctionf:R→R, x7→x².

Soitf une fonction définie sur unintervalleIdeRet soientF1 etF2 deux primitives def surI. Alors il existe un nombre réelk (indépendant dex) tel que :

∀x∈I F1(x) =F2(x) +k.

Théorème 1 (Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante)

Preuve

Soitaun élément deIfixé. Soitxun élément deIdifférent dea. En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonctionF1−F2

entreaetxet en remarquant que (F1−F2)^′=F₁^′−F₂^′=f−f= 0, on obtientF1(x)−F2(x)−(F1(a)−F2(a)) = 0, i.e. : F1(x) =F2(x) +F1(a)−F2(a).

On en d´eduit que :

∀x∈I F1(x) =F2(x) +k, avecknombre r´eel d´efini park=F1(a)−F2(a).

Soitf une fonction d´efinie etcontinuesur unintervalleIdeR. Alorsf admet une primitive surI.

Théorème 2 (Critère d’existence d’une primitive)

1

(2)

◮ Remarque

D’après les théorèmes 1 et 2, toute fonctionfdéfinie et continue sur un intervalleIdeRadmet une primitiveFsurIet les autres primitives defsurIsont les fonctionsF+k, oùk∈R.

1.2 Primitives des fonctions usuelles

Fonction Une primitive Domaine de validit´e

x7→a,ar´eel x7→ax surR

x7→xⁿ,nentier relatif,n6=−1 x7→ xⁿ⁺¹ n+ 1

surRsin∈N

sur ]− ∞,0[ ou sur ]0,+∞[, sin≤ −2

x7→x⁻¹= 1

x x7→ln(x) sur ]0,+∞[

x7→ 1

√x x7→2√

x sur ]0,+∞[

x7→sin(x) x7→ −cos(x) surR

x7→cos(x) x7→sin(x) surR

x7→ 1

cos²(x) = 1 + tan²(x) x7→tan(x) suri

−π 2,π

2

hpar exemple

x7→e^x x7→e^x surR

x7→ 1

√1−x² x7→arcsin(x) sur ]−1,1[

x7→ 1

1 +x² x7→arctan(x) surR

◮ Remarque

Pour démontrer les résultats de ce tableau, il suffit de vérifier, pour chaque ligne, que la fonction de la deuxième colonne est dérivable sur l’intervalle donné et de montrer que sa dérivée co¨ıncide avec la fonction de la première colonne. En effet, dire queFest une primitive def surIsignifie, par définition même, queFest dérivable surIet que pour toutx∈I,F^′(x) =f(x).

(3)

1.3 Primitives et lin´ earit´ e

1. Soitf:I→Rune fonction admettant une primitiveF surI et soit a∈R. Alors la fonctionaF:I→R est une primitive de la fonctionaf surI.

2. Soitf:I→R(resp.g:I→R) une fonction admettant une primitiveF (resp.G) surI. Alors la fonction F+G: I→Rest une primitive de la fonctionf +g surI.

3. Soitf:I→R(resp.g:I→R) une fonction admettant une primitiveF (resp.G) surIet soienta, b∈R. Alors la fonctionaF+bGest une primitive de la fonctionaf+bg:I→RsurI.

Théorème 3 (Primitives et linéarité)

Preuve

Ce théorème est conséquence de la linéarité de la dérivation.

◮ Exemple 2 :Une primitive de la fonctionf d´efinie par :

f: ]0,+∞[→R, x→ −3x+ 2

x= (−3)×x+ 2×1 x

est donn´ee par la fonction :

F: ]0,+∞[→R, x→ −3

2x²+ 2 ln(x).

1.4 Primitives et composition

Soientf: I→Ret soitg:J→Rdeux fonctions dérivables sur leur ensemble de définition telles que la composée g◦f:I→Rest définie, i.e. telles que :

∀x∈ I f(x)∈J.

Alors la fonctiong◦f:I→Rest une primitive de la fonctionhd´efinie par : h:I→R, x7→f^′(x)×g^′(f(x)).

Th´eor`eme 4 (Primitives et composition)

Preuve

Ce théorème est une traduction, dans le langage des primitives, du résultat du cours de calcul différentiel suivant : sif:I →Ret soit g:J→Rdeux fonctions dérivables sur leur ensemble de définition telles que la composéeg◦fest définie, alors la fonctiong◦f:I→R est dérivable surIet on a pour toutx∈I, (g◦f)^′(x) =f^′(x)×g^′(f(x)).

◮ Remarque

Ce théorème possède de nombreuses applications. On liste≪les plus classiques≫ ci-dessous.

(4)

Hypoth`eses Fonction Une primitive Domaine de validit´e

• u:I → R admettant une primitiveU surI

• a, b∈Raveca6= 0

x7→u(ax+b) x7→ 1

a×U(ax+b) sur une partieJ deRtelle que :∀x∈J ax+b∈I

• u:I→Rd´erivable surI

• ∀x∈I u(x)>0 x7→u^′(x)

u(x) x7→ln(u(x)) surI

• ∀x∈I u(x)<0 x7→u^′(x)

u(x) x7→ln(−u(x)) surI

u:I→Rdérivable surI x7→u^′(x)×eû(x) x7→eû(x) surI

• ∀x∈I u(x)>0

• α∈Ravecα6=−1

x7→u^′(x)× u(x)^α

| {z }

e^α×ln(u(x))

x7→ 1

α+ 1 ×u(x)^α+1 surI

◮ Exemple 3

1. Une primitive de la fonction f:R→R, x7→cos(3x) est donn´ee par la fonction : F:R→R, x7→ 1

3sin(3x).

2. Une primitive de la fonction f:R→R, x7→ 2x

x²+ 9 est donn´ee par la fonction : F:R→R, x7→ln(x²+ 9).

3. Une primitive de la fonction f:R→R, x7→ 8 cos(2x)

| {z }

4×2 cos(2x)

e^sin(2x) est donn´ee par la fonction :

F:R→R, x7→4×e^sin(2x).

4. Une primitive de la fonction f:R→R, x7→(2x+ 1)×(x²+x+ 3)⁵³ est donn´ee par la fonction : F:R→R, x7→ 3

8×(x²+x+ 3)⁸³.

2 L’int´ egrale

2.1 D´ efinition

Soitf une fonction continue sur un intervalleI et soienta, b∈I. On appelle intégrale deaà b le nombre réel noté

Z b a

f(x)dx et d´efini par

Z b a

f(x)dx=F(b)−F(a) o`u F est une primitive (quelconque) de f.

Définition 2 (Définition de l’intégrale)

(5)

◮ Remarque

La d´efinition de Zb

a

f(x)dxne dépend pas du choix de la primitiveFdefsurI choisie, d’après le théorème 1.

◮ Exemple 4 : Z 2

0

2x dx= [x²]²₀= 2²−0²= 4.

2.2 Interpr´ etation g´ eom´ etrique de l’int´ egrale

Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;−→i ,−→j). L’unité d’aire est l’aire du carré de côtéOI, oùI est le point du plan tel que−→

OI =−→i.

Soitf une fonction continue sur un intervalleI et soient a, b∈Itels quea < b. On appelle domaine associé à une fonctionf continue etpositive au-dessus de [a;b], le domaineD délimité par Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=b.

Définition 3 (Domaine associé à une fonction continue et positive au dessus d’un segment)

Soitf une fonction continue et positive sur un intervalle I et soienta, b∈I tels que a < b. L’aire du domaine Dassocié à f au-dessus de [a;b], exprimée en unités d’aire, est donnée par

Z b a

f(x)dx.

Théorème 5 (Interprétation géométrique de l’intégrale)

◮ Exemple 5 :Soitf la fonction d´efinie parf(x) =x²−4x+ 5 sur l’intervalle [1; 4]. L’aire du domaine associ´e

`a cette fonction continue et positive sur [1; 4] est donn´ee par Z 4

1

f(x)dx= 6.

1 2 3 4 5 6

−1

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

Cf

D

2.3 Int´ egration par parties

Soientuetv deux fonctions de classeC¹ sur [a;b]. Alors on a : Z b

a

u(x)v^′(x)dx= [uv]^b_a− Z b

a

u^′(x)v(x)dx.

Théorème 6 (Intégration par parties)

Preuve

(6)

Ce théorème est conséquence de la formule de dérivation : (uv)^′=u^′v+v^′u.

◮ Exemple 6 :Pour calculer Z ^π₂

0

xcos(x)dx, on introduit les fonctionsuetv d´efinies surh 0,π

2 ipar

∀x∈h 0,π

2 i

u(x) =xet v(x) = sin(x).

Ces deux fonctions sont de classeC¹surh 0,π

2

iet on a :

∀x∈h 0,π

2 i

u^′(x) = 1 etv^′(x) = cos(x).

A l’aide du théorème précédent, on a donc :` Z ^π₂

0

|{z}x

u(x)

cos(x)

| {z }

v^′(x)

dx = [ x

|{z}

u(x)

sin(x)

| {z }

v(x)

]₀^π² − Z ^π₂

0

|{z}1

u^′(x)

×sin(x)

| {z }

v(x)

dx

= π

2 −[−cos(x)]₀^π²

= π

2 −1

◮ Remarque

On s’efforcera de rédiger soigneusement, comme ci-dessus, les calculs d’intégrales par intégration par parties.

2.4 Int´ egration par changement de variable

Soitϕ: [α, β]→Rune fonction de classe C¹ sur [α, β]. Soit f:I →R une fonction continue sur son ensemble de d´efinition. On suppose que :

∀x∈[α, β] ϕ(x)∈I.

Ainsi la fonctionf◦ϕest-elle bien d´efinie. On a : Z β

α

f(ϕ(u))ϕ^′(u)du= Z ϕ(β)

ϕ(α)

f(x)dx.

Théorème 7 (Intégration par changement de variable)

◮ Exemple 7 :Calcul deI= Z ^π₂

0

sin(2u)

2 + 2 sin(u) du, `a l’aide du changement de variablex= sin(u).

Ici, la nouvelle variablexest exprimée en fonction de la variable donnéeu. Comme pour toutu∈R, sin(2u) = 2 sin(u) cos(u), l’intégrale à calculer se réécrit :

I= Z ^π₂

0

2 sin(u)

2 + 2 sin(u) cos(u)du= Z ^π₂

0

sin(u)

1 + sin(u) cos(u)du.

On reconnaˆıt une int´egrale du type Z β

α

f(ϕ(u))ϕ^′(u)du, o`u : α= 0 ; β=π

2 ; f: R\ {−1} →R, x7→ x

x+ 1 ; ϕ: h 0,π

2

i→R, u7→sin(u).

On remarque que la fonctionϕest de classeC¹surh 0,π

2

i; le théorème précédent s’applique donc. Pour effectuer le changement de variablex= sin(u), on calcule :

dx= sin^′(u)du= cos(u)du ; sin(0) = 0 ; sinπ 2

= 1.

(7)

On a donc : I=

Z 1 0

x

1 +xdx= Z 1

0

1 +x−1 1 +x dx=

Z 1 0

1− 1

1 +x dx= [x−ln(1 +x)]¹₀= 1−ln(2).

◮ Exemple 8 :Calcul deJ = Z 4

1

1 1 +√

xdx, avec le changement de variablex=u².

Ici, contrairement à l’exemple précédent, c’est la variable donnéexqui est exprimée en fonction de la nouvelle variable u. Dans un premier temps, on va exprimer u en fonction de x pour pouvoir appliquer le théorème précédent, i.e. on cherche une^≪formule^≫ du typeu=ϕ(x)^≪réciproque de la formule^≫ x=u².

La fonctionψd´efinie par :

ψ: [1,2]→[1,4], u7→u²

est continue, strictement croissante et vérifie ψ(1) = 1 et ψ(2) = 4. D’après, le théorème de la bijection, la fonctionψest donc bijective. On noteϕ=ψ⁻¹ l’application réciproque deψ:

ϕ: [1,4]→[1,2], x7→√ x qui est de classeC¹ sur [1,4]. On a atteint notre premier objectif :

∀x∈[1,4] ∀u∈[1,2] x=u²=ψ(u)⇐⇒u=ϕ(x) =√ x.

D’après le théorème précédent, appliqué avec :

α= 1 ; β= 4 ; f: R\ {−1} →R, x7→ 2u

1 +u ; ϕ: [1,4]→[1,2], x7→√ u on a :

(∗)

Z 4 1

1 1 +√

xdx

| {z }

J

= Z 4

1

2√ x 1 +√ x

1 2√

xdx= Z 2

1

2u 1 +udu.

En pratique, pour passer du membre de gauche de l’identité (∗) à son membre de droite, on n’écrit pas le terme du milieu et on remplaceen une seule fois:

√xparu (u=ϕ(x))

dxpar 2udu (x=u² et la d´eriv´ee deu7→u² estu7→2u) ; 1 par√

1 = 1 ; 4 par√

4 = 2.

D’apr`es (∗), on a donc : J =

Z 2 1

2u

1 +u du= 2 Z 2

1

u

1 +udu= 2 Z 2

1

1 +u−1 1 +u du= 2

Z 2 1

1− 1

1 +udu= 2 [u−ln(1 +u)]²₁= 2+ln 4

9

.

2.5 Propri´ et´ es de l’int´ egrale

Soitf: [a, b]→Rune fonction continue sur un intervalle [a, b]. Pour toutc∈]a, b[, on a : Z b

a

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx+ Z b

c

f(x)dx.

Th´eor`eme 8 (Relation de Chasles)

◮ Exemple 9 :Soitf la fonction d´efinie par : f: [0,2]→R, x7→

x six∈[0,1]

2−x six∈]1,2]

(8)

La fonctionf est clairement continue sur [0,1[∪]1,2]. On calcule :

x→1lim⁻f(x) = lim

x→1⁻x= 1 =f(1) et lim

x→1⁺f(x) = lim

x→1⁺2−x= 1 =f(1).

La fonction f est donc aussi continue en 1. La fonction f étant continue sur [0,2], on peut considérer son intégrale sur [0,2]. D’après ce qui précède, on a :

Z 2 0

f(x)dx = Z 1

0

f(x)dx+ Z 2

1

f(x)dx

= Z 1

0

x dx+ Z 2

1

2−x dx

= x²

2 1

0

+

2x−x² 2

2

1

= 1.

On peut retrouver ce résultat en considérant l’interprétation géométrique de l’intégrale. En effet,fétant continue et positive sur [0,2],

Z 2 0

f(x)dxest l’aire du triangle gris´e ci-dessous. Cette aire vaut 2×1 2 = 1.

1 2

−1

1 2

−1

Cf

Soientf: [a, b]→Retg: [a, b]→Rdeux fonctions continues sur un intervalle [a, b]. Pour toutλ∈R, pour tout µ∈R, on a :

Z b a

λf(x) +µg(x)dx=λ Z b

a

f(x)dx

! +µ

Z b

a

g(x)dx

! Théorème 9 (Linéarité de l’intégrale)

◮ Remarque

Ce théorème découle du théorème 3.

Soitf: [a, b]→Rune fonction continue et positive sur [a, b], i.e. telle que pour toutx∈[a, b], f(x)≥0. Alors Z b

a

f(x)dx≥0

et Z b

a

f(x)dx= 0 ⇐⇒ ∀x∈[a, b] f(x) = 0.

Théorème 10 (Positivité de l’intégrale)

(9)

Soientf: [a, b]→Retg: [a, b]→Rdeux fonctions continues sur un intervalle [a, b] telles que :

∀x∈[a, b] f(x)≤g(x).

Alors on a :

Z b a

f(x)dx≤ Z b

a

g(x)dx.

Théorème 11 (Intégrale et relation d’ordre)

◮ Remarque

On obtient ce théorème en appliquant le précédent à la fonctiong−fqui est continue et positive sur [a, b].

◮ Exemple 10 :Soitf: [a, b]→Rune fonction continue sur [a;b] et soientm, M ∈Rtel que : (∗) ∀x∈[a, b] m≤f(x)≤M,

i.e.m(resp.M) est un minorant (resp. majorant) def sur [a, b]. (Comme f est continue sur [a, b],f est bornée et atteint ses bornes sur [a, b]. De tels réelsmetM existent donc toujours.) D’après (∗) et le théorème précédent, on a :

Z b a

m dx

| {z }

m(b−a)

≤ Z b

a

f(x)dx≤ Z b

a

M dx

| {z }

M(b−a)

et donc :

m(b−a)≤ Z b

a

f(x)dx≤M(b−a).

Cette inégalité se traduit géométriquement, dans le cas oùf est de plus positive sur [a, b] : Aire du rectangle

ABDC ≤ Aire du domaine associ´e `af

au-dessus de [a, b] ≤ Aire du rectangle

ABF E .

C^f

b

C

bD

x=a x=b

bA

a

bB

b

E

bF

m M

◮ Remarque

L’exemple précédent est une application classique du théorème 11. On peut garder l’idée suivante à l’esprit.^≪D’un encadrement d’une fonction continue sur un segment, on déduit un encadrement de son intégrale sur ce segment^≫.

Soitf: [a, b]→Rune fonction continue sur [a, b] Alors on a :

Z b a

f(x)dx ≤

Z b a

|f(x)|dx.

Théorème 12 (Majoration de la valeur absolue d’une intégrale)

(10)

◮ Exemple 11 :On va expliquer comment combiner les deux théorèmes précédents pour prouver que la valeur absolue de l’intégrale :

I= Z π

0

sin(x⁵ln(x+ 1))dx

est inférieure ou égale àπ. La méthode exposée ne requiert pas le calcul de la valeur exacte deI, qui est délicat.

D’après le théorème 12, on a :

(∗) |I|=

Z π 0

sin(x⁵ln(x+ 1))dx ≤

Z π 0

sin(x⁵ln(x+ 1)) dx.

Le sinus d’un nombre réel étant compris entre−1 et 1, sa valeur absolue est inférieure ou égale à 1. Ainsi a-t-on : (∗∗) ∀x∈[0, π] |sin(x⁵ln(x+ 1))| ≤1.

≪En intégrant l’inégalité (∗∗) entre 0 etπ^≫, on trouve, d’après le théorème 11 (cf. aussi exemple 10) : (∗ ∗ ∗)

Z π 0

sin(x⁵ln(x+ 1)) dx≤

Z π 0

1dx=π.

De (∗) et (∗ ∗ ∗), on d´eduit alors|I| ≤π.

3 Fonctions d´ efinies ` a l’aide d’une int´ egrale

Soitf une fonction continue sur un intervalle Iet soita∈I. Alors la fonction : F:I→R, x7→

Z x a

f(t)dt

est la primitive deF qui s’annule ena. La fonctionF vérifie doncF(a) = 0 et est dérivable (et donc continue) surI, avec comme dérivéef. Ainsi, si pour toutt∈I, f(t)≥0, la fonctionF est croissante.

Théorème 13 (Intégrale fonction de sa borne supérieure)

◮ Exemple 12 :SoitF la fonction d´efinie par :

F:R→R, x7→

Z x 0

e⁻^t

2 2 dt.

AlorsF est d´erivable (et donc continue surR) et on a, pour tout x∈R, F^′(x) =e⁻^x

2

2 >0. On en d´eduit que la fonctionF est strictement croissante surR.

Soitf: [a, b]→Rune fonction continue sur [a, b] (a < b). Alors il existec∈]a, b[ tel que : f(c) = 1

b−a Z b

a

f(t)dt

!

| {z }

valeur moyenne de la fonctionf

. Th´eor`eme 14 (Valeur moyenne d’une fonction)

Preuve

L’énoncé résulte de l’application du théorème des accroissements finis à la fonctionFdéfinie par :F: [a, b]→R, x7→

Zx a

f(t)dtqui est d´erivable (et donc continue) sur [a, b].

◮ Exemple 13 :La valeur moyenne de la fonction sinus sur l’intervalle [0, π] est : 1

π Z π

0

sin(x)dx= 1

π [−cos(x)]^π₀ = 2 π.

(11)

4 Sommes de Riemann

Soitf une fonction continue sur un intervalle [a, b]. Alors on a : 1

n

n−1X

k=0

f

a+k b−a n

!

n→+∞−→

1 b−a

Z b

a

f(t)dt

!

| {z }

et 1 n

Xn

k=1

f

a+k b−a n

!

n→+∞−→

1 b−a

Z b

a

f(t)dt

!

| {z }

. Th´eor`eme 15 (Sommes de Riemann)

Interprétation géométrique du théorème :Dans le cas où on suppose de plusf positive sur [a, b], on peut expliquer géométriquement la convergence de la suite de terme général :

b−a n

n−1X

k=0

f

a+k b−a n

!

vers Z b

a

f(t)dt. Ce n’est pas tout à fait la formulation de la première assertion du théorème précédent (on a mutliplié par (b−a) de chaque côté du symbole_n→+∞−→ ), mais l’énoncé précédent est équivalent et plus commode pour ce qui nous intéresse.

On commence par donner une interprétation géométrique du terme d’indice 5 de la suite considérée. Sur le dessin ci-dessous, on a posé, pour toutk∈J0,5K:

x_k=a+k b−a 5 .

Pour chaque k ∈ J0,4K, le rectangleR_k a pour hauteur f(xk) et pour largeur xk+1−x_k = b−a

5 . Par suite, l’aire du rectangleR_k est : b−a

5 f(xk).L’aire de tout le domaine gris´e ci-dessous est donc : X4

k=0

b−a

5 f(xk) =b−a 5

X4

k=0

f

a+k b−a 5

! . On retrouve le terme d’indice 5 de la suite consid´er´ee.

Cf

x0 x1 x2 x3 x4 x5

R0 R1 R2 R3 R4

(12)

Le terme d’indicen(n∈N^∗quelconque) de la suite considérée admet une interprétation géométrique analogue, dans laquelle les rectangles auront pour largeur b−a

n . Plus n devient grand, plus il y a de rectangles et plus ceux-ci ont une largeur petite (le découpage est de plus en plus fin). Intuitivement l’aire de la zone grisée (la somme des aires des n rectangles), qui est égale au terme d’indice n de la suite, tend vers l’aire du domaine associé àf au-dessus de [a, b], i.e.

Z b a

f(x)dx, quandntend vers +∞.

◮ Exemple 14 :On ´etudie le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N∗ d´efinie par :

∀n∈N^∗ un= 1 n

n−1X

k=0

k n

3! .

Si on pose :

f:R→R, x7→x³ ; a= 0 ; b= 1

alors on a :

∀n∈N^∗ u_n= 1 n

n−1X

k=0

f

a+k b−a n

! .

Comme la fonctionf est continue surR, on peut appliquer le théorème précédent pour obtenir : un −→

n→+∞

1 1−0

Z 1 0

t³dt

= 1 4.

5 Formule de Taylor avec reste int´ egral

Soitf une fonction de classeCⁿ⁺¹ sur un intervalleI (n∈N). Soienta, x∈I. Alors on a : f(x) = f(a) +f⁽¹⁾(a)

1! (x−a) +f⁽²⁾(a)

2! (x−a)²+. . .+f⁽ⁿ⁾(a)

n! (x−a)ⁿ

| {z }

Polynˆome de degr´ende Taylor

+ Z x

a

f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)

n! (x−t)ⁿ dt

| {z }

Reste d’ordren

=

Xn

k=0

f^(k)(a)

k! (x−a)^k

| {z }

Polynˆome de degr´ende Taylor

+ Z x

a

f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)

n! (x−t)ⁿdt

| {z }

Reste d’ordren

. Théorème 16 (Formule de Taylor avec reste intégral)

Preuve

Dans le cas oùn= 0, l’assertion équivaut à : Zx

a

f^′(t)dt=f(x)−f(a). Cette dernière est vraie, d’après la définition même de l’intégrale que nous avons adoptée. Le cas général oùnest quelconque se déduit du casn= 0, à l’aide d’un raisonnement par récurrence que nous ne détaillons pas ici.

◮ Exemple 15 :On prouve que, pour toutx∈R, on a :

(∗) |sin(x)−x| ≤ |x|³ 6 .

La démonstration proposée ci-dessous, basée sur la formule de Taylor avec reste intégral, se scinde en deux parties. On donne ensuite deux applications typiques de (∗) : une majoration de l’erreur commise dans une approximation et un calcul de limite.

• Preuve de (∗) pourx≥0

Soitx∈R⁺. On ´ecrit la formule de Taylor `a l’ordre 2 pour la fonction sin entre 0 etx. On a :

(13)

sin(x) = sin⁽⁰⁾(0) +sin⁽¹⁾(0)

1! (x−0)¹+sin⁽²⁾(0)

2! (x−0)²+ Z x

0

sin⁽³⁾(t)(x−t)² 2! dt

= x−

Z x 0

cos(t)(x−t)²

2 dt (car sin⁽⁰⁾= sin, sin⁽¹⁾= cos, sin⁽²⁾=−sin et sin⁽³⁾=−cos).

On en d´eduit que :

(∗∗) |sin(x)−x|=

Z x 0

cos(t)(x−t)²

2 dt

. D’autre part, on a :

Z x 0

cos(t)(x−t)²

2 dt

≤

Z x 0

cos(t)(x−t)² 2

dt (cf. th´eor`eme 12)

= Z x

0 |cos(t)|

| {z }

≤1

(x−t)² 2

dt

≤ Z x

0

(x−t)²

2 dt (cf. th´eor`eme 11 et pour toutt∈[0, x] (x−t)²

2 ≥0)

= x³

6 (une primitive det7→ (x−t)²

2 est t7→ −(x−t)³ 6 .) On a donc :

(∗ ∗ ∗)

Z x 0

cos(t)(x−t)²

2 dt

≤ x³

6 . En combinant (∗∗) et (∗ ∗ ∗), on obtient l’in´egalit´e (∗) :

|sin(x)−x| ≤ x³ 6 =|x|³

6 (comme x≥0,|x|=x).

• Preuve de (∗) pourx <0

Soitx <0. Alors−x >0 et d’après ce qui précède on a :

(∗ ∗ ∗∗) |sin(−x)−(−x)| ≤ | −x|³ 6 =|x|³

6 .

La fonction sinus ´etant impaire, on a : sin(−x) =−sin(x) et donc sin(−x)−(−x) =−(sin(x)−x). Ainsi a-t-on :

(∗ ∗ ∗ ∗ ∗) |sin(−x)−(−x)|=|−(sin(x)−x)|=|sin(x)−x|. De (∗ ∗ ∗∗) et (∗ ∗ ∗ ∗ ∗), on déduit l’inégalité (∗) :

|sin(x)−x| ≤ |x|³ 6 .

• Première application de l’inégalité (∗) : Valeur approchée de sin(0.1) avec majoration de l’erreur commise Pourx= 0.1, (∗) s’écrit|sin(0.1)−0.1| ≤ (0.1)³

6 . En approximant sin(0.1) par 0.1, on commet donc une erreur inf´erieure `a 0.001.

• Deuxième application de l’inégalité (∗) : Étude de la limite en 0 de sin(x) x² −1

x Soit x∈R^∗. Alors, d’apr`es (∗) on a : |sin(x)−x| ≤ |x|³

6 . En divisant chaque membre de cette in´egalit´e par|x²|>0, on obtient :

sin(x) x² −1

x ≤|x|

6

(14)

et par suite :

−|x|

6 ≤sin(x) x² −1

x≤ |x| 6 . En appliquant le theor`eme^≪des gendarmes^≫, on a donc :

x→0lim sin(x)

x² −1 x= 0.

◮ Remarque

La propriété démontrée dans l’exemple précédent, i.e. :

∀x∈R |sin(x)−x| ≤|x|³ 6

admet une g´en´eralisation qui se formule comme suit. S’il existeC >0 une constante telle que pour toutt∈I, on ait|fⁿ⁺¹(t)| ≤C, alors on a :

∀x∈I

f(x)− f(a) +f⁽¹⁾(a)

1! (x−a) +f⁽²⁾(a)

2! (x−a)²+f³(a)

3! (x−a)³+. . .+fⁿ(a) n! (x−a)ⁿ

!

≤C|x−a|ⁿ⁺¹ (n+ 1)! .

6 Fonctions continues par morceaux

Soit f:I →R une fonction et soitJ une partie de I. Alors la restriction de f `a J est l’application not´ee f|J

d´efinie par :

f|J:J →R, x7→f(x).

Pour passer de f `a f|J, on a uniquement restreint l’ensemble de d´efinition.

D´efinition 4 (Restriction d’une fonction)

◮ Exemple 16 : Ci-dessous, on a représenté la fonction carréef:R→R, x7→x² (cf. courbe en pointillés) et la restrictionf|[−1,2] de la fonction carrée à l’intervalle [−1,2] (cf. courbe en gras) .

1 2 3 4 5 6

−1

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4 C^f

Cf|[−1,2]

Soitf: [a, b]→Rune fonction. On dit quef est continue par morceaux sur [a, b], s’il existe une subdivision a=a0< a1< a2< . . . < a_n< an+1=b

de [a, b] telle que pour tout i ∈ J0, nK, f|]ai,ai+1[ est prolongeable par continuité à [ai, ai+1], i.e. que f (ou f|]ai,ai+1[) admet une limite finie à droite en ai et une limite finie à gauche en ai+1. Une telle subdivision de [a, b], lorsqu’elle existe, est dite adaptée àf.

D´efinition 5 (Fonction continue par morceaux sur un segment)

(15)

◮ Exemples 17

1. Soitf la fonction d´efinie par :

f: [−2,2]→R, x7→

1 six∈[−1,1]

0 sinon .

Alorsf est continue par morceaux sur [−2,2]. Elle poss`ede deux points de discontinuit´e, en −1 et en 1.

La subdivisiona0=−2< a1=−1< a2= 1< a3= 2 de [−2,2] est adapt´ee `af.

1 2

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

• •

[ ]

Cf

2. Soitg la fonction d´efinie par :

g: [−1,1]→R, x7→







0 six∈[−1,0]

1

x six∈]0,1]

.

Alorsg n’est pas continue par morceaux sur [−1,1].

1 2 3 4 5 6

−1

1 2 3

−1

−2

−3

Cg

b

Soitf une fonction d´efinie sur un intervalle I (e.g.R). On dit que f est continue par morceaux surI, si pour tousa, b∈Itels quea < b la fonctionf_|[a,b] d´efinie sur [a, b] est continue par morceaux sur [a, b].

D´efinition 6 (Fonction continue par morceaux sur un intervalle)

◮ Exemples 18

1. SoitI un intervalle deR. Alors la fonction indicatrice1I deI d´efinie par : 1I:R→R, x7→

1 six∈I 0 sinon .

est continue par morceaux surR. En particulier, siaetb sont deux réels tels quea < b, alors la fonction 1[a,b] est continue par morceaux surR. Elle ne possède que deux points de discontinuité, enaet enb.

2. La fonctionf d´efinie par :

f:R→R, t7→e^−t×1R⁺(t)

est continue par morceaux surR. Elle ne poss`ede qu’un point de discontinuit´e, en 0.

1 2

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−3

−4

−5

−6

• [

C^f

(16)

3. La fonction partie enti`ere est continue par morceaux surR. L’ensemble de ses points de discontinuit´e est l’ensembleZdes entiers relatifs.

1 2 3

−1

−2

1 2 3

−1

b [

b

b [

Graphe de la fonction partie enti`ere

7 G´ en´ eralisation de la notion d’int´ egrale

On généralise la théorie de l’intégration vue pour les fonctions continues aux fonction continues par morceaux.

Soitf: [a, b]→Rune fonction continue par morceaux sur [a, b] et soita=a0< a1< a2< . . . < a_n< an+1=b une subdivision de [a, b] adaptée à f. Alors on définit l’intégrale deaàb def par :

Z b a

f(t)dt = Xn

i=0

Z ai+1

ai

f|]a\i,ai+1[(t)dt

= Z a1

a0

f\_|]a₀_,a₁_[(t)dt+ Z a2

a1

f\_|]a₁_,a₂_[(t)dt+ Z a3

a2

f\_|]a₂_,a₃_[(t)dt+. . .+ Z an+1

an

f_|]a\_n_,a_n+1_[(t)dt

où pour tout i ∈ J0, nK, f_|]a\_i_,a_i+1_[ désigne le prolongement par continuité de la fonction f_]a_i_,a_i+1_[ à [ai, ai+1].

Pour chaque i∈ J0, nK, l’int´egrale Z ai+1

ai

f_|]a\_i_,a_i+1_[(t) dt est bien d´efinie, car la fonction f_|]a\_i_,a_i+1_[ est continue sur [ai, ai+1].

D´efinition 7 (Int´egrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment)

◮ Remarque

On peut d´emontrer que le nombre Zb

a

f(t)dtne dépend pas de la subdivision de [a, b] adaptée àfchoisie.

◮ Exemple 19 :On considère à nouveau la fonctionf de l’exemple 17 définie par : f: [−2,2]→R, x7→

1 six∈[−1,1]

0 sinon .

On a vu quef est continue par morceaux et que la subdivisiona0=−2< a1=−1< a2= 1< a3= 2 est une subdivision de [−2,2] adaptée à f. On vérifie que les fonctionsf_|]−2,−1[\ ,f\_|]−1,1[ et f[_|]1,2[ sont définies par :

f_|]−2,−1[\ : [−2,−1]→R, x7→0 ; f\_|]−1,1[: [−1,1]→R, x7→1 ; f[_|]1,2[: [1,2]→R, x7→0.

On a donc :

Z 2

−2

f(t)dt = Z −1

−2

f_|]−2,−1[\ (t)

| {z }

0

dt+ Z 1

−1

f\_|]−1,1[(t)

| {z }

1

dt+ Z 2

1

f[_|]1,2[(t)

| {z }

0

dt

= 2.

(17)

1. Relation de Chasles

Soitf: [a, b]→Rune fonction continue par morceaux sur un intervalle [a, b]. Pour toutc∈]a, b[, on a : Z b

a

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx+ Z b

c

f(x)dx.

2. Lin´earit´e

Soient f: [a, b]→Ret g: [a, b]→R deux fonctions continues par morceaux sur un intervalle [a, b]. Pour toutλ∈R, pour toutµ∈R, la fonctionλf+µg est continue par morceaux sur l’intervalle [a, b] et on a :

Z b a

λf(x) +µg(x)dx=λ Z b

a

f(x)dx

! +µ

Z b

a

g(x)dx

! .

3. L’int´egrale d’une fonction positive presque partout est positive

Soit f: [a, b] → R une fonction continue par morceaux sur un intervalle [a, b] et positive sur [a, b], sauf

´eventuellement en un nombre fini de points, alors : Z b

a

f(x)dx≥0.

4. Int´egrale et relation d’ordre

Soient f: [a, b]→Ret g: [a, b]→Rdeux fonctions continues par morceaux sur un intervalle [a, b] telles quef ≤g sur [a, b], sauf ´eventuellement pour un nombre fini de points, alors :

Z b a

f(x)dx≤ Z b

a

g(x)dx.

5. Majoration de la valeur absolue d’une int´egrale

Soit f: [a, b]→ Rune fonction continue par morceaux sur un intervalle [a, b] Alors|f|est continue par morceaux sur l’intervalle [a, b] et on a :

Z b a

f(x)dx ≤

Z b

a |f(x)|dx.

Théorème 17 (Propriétés de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment)

◮ Remarque

On prendra garde au fait que si une fonctionf: [a, b]→Rest continue par morceaux sur [a, b], positive sur [a, b] et d’intégrale nulle sur [a, b], alorsf n’est pas nécessairement identiquement nulle sur [a, b]. Elle est nulle sur [a, b], sauf éventuellement en un nombre fini de points. Par exemple, la fonctionfdéfinie par :

f: [−1,1]→R, x7→

0 six∈[−1,1[

1 six= 1

est continue par morceaux sur [−1,1], positive sur [−1,1] et v´erifie Z1

−1

f(t)dt= 0. Pourtant elle n’est pas identiquement nulle sur [−1,1] : en 1 elle ne s’annule pas.

1 2

−1

−2 Cf

b

[

(18)

Soitf une fonction continue par morceaux sur un intervalleI et soita∈I. Alors la fonction : F:I→R, x7→

Z x a

f(t)dt est :

• continue surI;

• d´erivable enx0, sif est continue enx0 et on aF^′(x0) =f(x0) ;

• croissante sur [a, b], sif est positive sur [a, b] sauf ´eventuellement en un nombre fini de points.

Théorème 18 (Intégrale fonction de sa borne supérieure et continuité par morceaux)

◮ Exemple 20 :Soitf la fonction1[2,+∞[(indicatrice de [2,+∞[). On a donc pout toutx∈]−∞,2[,f(x) = 0 et pour toutx∈[2,+∞[,f(x) = 1.

1 2

−1

1 2 3 4 5 6 7 8

−1

−2

−3

−4

C^f [

b

SoitF la fonction d´efinie par :

F:R→R; x7→

Z x 0

f(t)dt.

On calcule que :

F(x) =

0 six≤2 x−2 six >2 .

1 2 3 4

−1

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4 C^F

On retrouve les résultats du théorème précédent :F est continue surR, dérivable enx0six06= 2 (2 est l’unique point de discontinuité def) et croissante surR.