ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 3 6 novembre 2009
Le soin et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
Le langage binaire est utilisé par l'ordinateur pour comprendre et traiter les données.
Un mot de longueurn∈N∗ est une suite de nchires, constituée de 0ou de 1. Par exemple”01011” et”10110”sont deux mots distincts, de longueur 5.
1. Faire la liste des mots de longueur3.
Les réponses apportées aux questions suivantes devront être brièvement justiées.
Déterminer le nombre de :
2. Mots de longueur7. De longueur n.
3. Mots de longueur7 (resp. de longueur n) contenant exactement deux0. 4. Mots de longueur10 contenant au moins un0. Au plus un 0.
5. Mots de longueurnavec le ke 0 en pe position(1≤k≤p≤n).
Exercice II.
On considère la suite(un)n∈N, dénie par :
u0 = 43
un+1=−un+ 21−n, pourn∈N On pose,∀n∈N,wn= 2nun.
1. Montrer que la suite(wn)n∈N ainsi dénie est arithmético-géométrique.
2. Déterminer le terme général de la suite(wn)n∈N. 3. En déduire l'expression deun, pourn∈N.
4. Calculer S= X
0≤k≤9
uk.
Exercice III.
Les deux questions sont indépendantes.
1. Soitα etβ deux paramètres réels, donc xes.
Résoudre le système suivant d'inconnues x et y en fonction de ces deux paramètres :
(A)
−2 7x+ 5
3y=α
1 4x−1
2y =β
2. Créer un programme Turbo Pascal permettant de résoudre le système suivant, en mettant en oeuvre la méthode du pivot de Gauss :
(B)
ax+by=e cx+dy=f
oùa,b,c,d,e,f sont des nombres réels, vériant la condition ad−bc6= 0.
Le fonctionnement du programme sera brièvement expliqué.
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