E537. Rouges et bleus à égalité
Question 1
Le nombre situé en ligne 0 6 l 6 n−1 et en colonne 1 6 c 6 n a pour valeurc+nl.Ainsi la somme dennombres de telle sorte que deux quelconques d’entre eux ne se trouvent ni sur la même ligne ni sur la même colonne vaut
n
X
c=1
c+n
n−1
X
l=0
l= n(n2+1)
2 (valeur indépendante du choix). Puisque cette somme vaut 5335, alors l’approximation √3
2×5335 ≈ 22,02 nous permet de vérifier que la seule possibilité estn= 22.
Question 2
Comme il y a autant de cases rouges que de cases bleues, l’entiernest pair. Soit la matriceM définie parmlc= 1 si la case (l, c) est rouge et 0 si elle est bleue.
Considérons un graphe bipartiGde sommetsx1, . . . , xn ety1, . . . , yntel quexl
est relié àyc ssimlc= 1.La somme de toute rangée deM vaut n2 se traduit par le fait queGest régulier (tous les sommets sont de degré n2). Un corollaire du théorème de Hall (1935) dit « théorème des mariages » implique queGadmet un couplage parfait. Soitalc = 1 si l’arêtexlyc fait partie de ce couplage, 0 sinon.
La matrice résultanteA est alors une matrice de permutation (chaque rangée contient exactement un 1). En itérant sur la matriceM−Adont chaque rangée a pour somme n2 −1, nous montrons que M est la somme de n2 matrices de permutation. De plus, elles sont disjointes puisqu’il y a exactement n2 éléments 1 sur une même rangée. En utilisant la question 1 (cas où M est une simple matrice de permutation), la somme des cases rouges vaut alors n2×n(n2+1)
2 soit la moitié de la somme des éléments de 1 à n2. Ainsi, les sommes des nombres inscrits dans les cases rouges et dans les cases bleues sont identiques.
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