E537:Rouges et bleus à égalité
On remplit une grille carrée de côté n avec les entiers 1,2,3,…., n2 pris dans cet ordre à partir de la première case en haut à gauche jusqu’à la dernière case en bas à droite. C’est ainsi que la première rangée contient les entiers 1,2,3,….n ; la deuxième rangée les entiers n + 1,n + 2,….,2n ; la troisième rangée les entiers 2n+1,2n+2,.,3n…etc… jusqu’à la dernière rangée qui contient n2-n+1 , n2-n+2,…, n2. On choisit n nombres distincts de cette grille de telle sorte que deux quelconques d’entre eux ne se trouvent ni sur la même rangée ni sur la même colonne. La somme de ces nombres est égale à 5335.
Quelle est la dimension n de la grille ?
On colorie ensuite chacune des n2 cases soit en rouge soit en bleu de telle manière que sur chaque rangée comme sur chaque colonne il y a le même nombre de cases rouges et de cases bleues. Démontrer que les sommes des nombres inscrits dans les cases rouges et dans les cases bleues sont identiques.
Enlevons 1 à chaque nombre de la grille: en base n, tous les nombres de la nouvelle grille ont deux chiffres (un seul sur la première ligne, mais on peut mettre un zéro devant), tous les nombres d’une même ligne commençant par le même chiffre, et tous ceux de la même colonne finissant par le même chiffre.
En prenant un nombre par ligne et par colonne, on aura donc chacun des chiffres de 0 à n-1 comme premier chiffre, et comme chiffre des unités: la somme de ces nombres est donc (n+1)*n(n-1)/2, et en revenant aux nombres initiaux, leur somme est n(n2+1)/2.
La valeur 5335 est obtenue pour n=22.
De même, en revenant aux nombres écrits en base n, si l’on en a colorié autant en rouge qu’en bleu dans chaque colonne, le même chiffre des unités apparaitra autant de fois dans la somme rouge que dans la somme bleue; même chose pour les lignes. Les sommes sont donc égales (et il n’est pas besoin de supposer que toutes les cases sont coloriées, ce qui suppose n pair)
