E537 Bleus et Rouges à égalité
On remplit une grille carrée de côté n avec les entiers 1, 2,3,...., n2 pris dans cet ordre à partir de la première case en haut à gauche jusqu'à la dernière case en bas à droite. C'est ainsi que la première rangée contient les entiers 1,2,3,....n ; la deuxième rangée les entiers n + 1, n + 2,....,2n ; la troisième rangée les entiers 2n + 1,2n + 2,....,3n...etc... jusqu'à la dernière rangée qui contient n2 - n + 1, n2 - n + 2,..., n2.
1. On choisit n nombres distincts de cette grille de telle sorte que deux quelconques d'entre eux ne se trouvent ni sur la même rangée ni sur la même colonne. La somme de ces nombres est égale à 5335. Quelle est la dimension n de la grille ?
2. On colorie ensuite chacune des n2 cases soit en rouge soit en bleu de telle manière que sur chaque rangée comme sur chaque colonne il y a le même nombre de cases rouges et de cases bleues. Démontrer que les sommes des nombres inscrits dans les cases rouges et dans les cases bleues sont identiques.
Solution de Patrick Gordon Question 1
On remarque que la case (i,j) reçoit la valeur n (i-1) + j. Chaque j (de 1 à n) est compté une fois, de même que chaque i (de 0 à n-1).
Pour les j, le total est n(n+1)/2.
Pour les i, le total est n × n(n-1)/2.
En tout donc, n(n²+1)/2. À noter que c'est le nème du total général, égal à la somme des n² premiers nombres entiers, soit : n²(n²+1) / 2.
Un tableur nous indique que n(n²+1)/2 prend la valeur 5335 pour n=22.
Question 2
Chaque j sera compté 11 fois, de même chaque i. Au total donc, 11 fois plus qu'à la question 1. Ce qui fait bien la moitié du total général de n²(n²+1) / 2.
