0n+1 0n+2 0n+n-1 0n+n 1n+n-1 1n+n
1n+1 1n+2
(n-2)n+1(n-2)n+2 (n-1)n+1(n-1)n+2
(n-2)n+n-1 (n-2)n+n (n-1)n+n-1 (n-1)n+n
Si on prend exactement un nombre dans chaque colonne et dans chaque ligne ,
leur somme est égale à la somme de la somme de 1 à n et du produit de n par la somme de 1 à n-1.
i=1 n
i = 2 n(n+1)
i=1 n-1
i = 2 n²(n-1) n .
2 n(n+1)
2 n²(n-1)
+ =
2 n(n²+1)
Si la somme fait 5335, on doit résoudre l’équation: n + n - 10670 = 03
(n - 22)(n² + 22n + 485) = 0
La grille carrée fait 22 cases de côté.
On remplit une grille carrée de côté n avec les entiers 1,2,3,...., n² pris dans cet ordre à partir de la première case en haut à gauche jusqu'à la dernière case en bas à droite.
C'est ainsi que la première rangée contient les entiers 1,2,3,....n ; la deuxième rangée les entiers n + 1,n + 2,....,2n ;
la troisième rangée les entiers 2n + 1,2n + 2,....,3n...etc...
jusqu'à la dernière rangée qui contient n² - n + 1 , n² - n + 2,..., n².
On choisit n nombres distincts de cette grille de telle sorte que deux quelconques d'entre eux ne se trouvent ni sur la même rangée ni sur la même colonne.
La somme de ces nombres est égale à 5335. Quelle est la dimension n de la grille ? On colorie ensuite chacune des n² cases soit en rouge soit en bleu de telle manière que sur chaque rangée comme sur chaque colonne il y a le même nombre de cases rouges et de cases bleues. Démontrer que les sommes des nombres inscrits dans les cases rouges et dans les cases bleues sont identiques.
Si on prend exactement k nombres dans chaque colonne et dans chaque ligne de la grille, leur somme est égale à k fois la somme précedente.
Dans le cas particulier k=11, la somme des rouges = la somme des bleus = 11 x 5335 = 58685
4
22²(22²+1)=
