Rouges et bleus à égalité
Problème E537 de Diophante
On remplit une grille carrée de côté n avec les entiers 1,2,3,...., n2 pris dans cet ordre à partir de la première case en haut à gauche jusqu'à la dernière case en bas à droite. C'est ainsi que la première rangée contient les entiers 1,2,3,....n ; la deuxième rangée les entiers n + 1,n + 2,....,2n ; la troisième rangée les entiers 2n + 1, 2n + 2 , ...
, 3n...etc... jusqu'à la dernière rangée qui contient n2 - n + 1 , n2 - n + 2 , ... , n2. On choisit n nombres distincts de cette grille de telle sorte que deux
quelconques d'entre eux ne se trouvent ni sur la même rangée ni sur la même colonne.
La somme de ces nombres est égale à 5335. Quelle est la dimension n de la grille ? On colorie ensuite chacune des n2 cases soit en rouge soit en bleu de telle manière que sur chaque rangée comme sur chaque colonne il y a le même nombre de cases rouges et de cases bleues. Démontrer que les sommes des nombres inscrits dans les cases rouges et dans les cases bleues sont identiques.
Solution
En écrivant les entiers en base n, il apparaît que les chiffres des unités vont, colonne par colonne, de 1 à n et ceux des ennaines de 0 à n-1, rangée par rangée. De ce fait en prenant n nombres de telle sorte que deux quelconques d'entre eux ne se trouvent ni sur la même rangée ni sur la même colonne le total des unités est n(n+1)/2 et celui des ennaines n2(n-1)/2 ; soit au total n(n2+1)/2 = 5335. D’où n = 22.
Présentons (exemple en base 6) la grille comme somme matricielle de deux grilles ou nous avons séparé pour chaque nombre : le chiffre des ennaines (de 0 à n-1) et le chiffre des unités (de 1 à n).
01 02 03 04 05 10 11 12 13 14 15 20 21 22 23 24 25 30 31 32 33 34 35 40 41 42 43 44 45 50 51 52 53 54 55 100
01 02 03 04 05 10 01 02 03 04 05 10 01 02 03 04 05 10 01 02 03 04 05 10 01 02 03 04 05 10 01 02 03 04 05 10 00 00 00 00 00 00
10 10 10 10 10 10 20 20 20 20 20 20 30 30 30 30 30 30 40 40 40 40 40 40 50 50 50 50 50 50
= +
A l’évidence, en totalisant en rangées dans le tableau central, les sommes bleues et rouges sont égales : ln2/2 (pour 0≤l<n) et, en totalisant en colonnes dans le tableau de droite, les sommes bleues et rouges sont aussi égales cn/2 (pour 0<c≤n). Il en va de même des sommes rouges. Les cumuls en bleu et en rouge sont donc égaux.
Chaque somme vaut m2(4m2+1), où m = n/2, soit ici 58 685.
