E537 Rouges et bleus à égalité Solution d’Olivier Lejeune
En reprenant les hypothèses du problème, on obtient les éléments suivants :
-premier nombre nécessairement compris entre : 1 et n, -second nombre nécessairement compris entre : n 1 et 2n, -troisième nombre nécessairement compris entre : 2n 1 et 3n, -quatrième nombre nécessairement compris entre : 3n 1 et 4n, -etc.
Nous pouvons donc assimiler chacun de ces éléments à une suite arithmétique de raison n, dont nous savons que la valeur recherchée en additionnant les 2 bornes revient à effectuer la somme d’une suite arithmétique dont on recherche la somme, c’est-à-dire :
-borne inférieure : [(n 1)/2] * (1 n^2-n 1), soit (n/2 0.5) * (n^2 – n 2).
-borne supérieure : [(n 1)/2] * (n n^2)
le nombre choisit sur chaque ligne correspondant à un nombre compris entre les 2 bornes.
Au maximum, nous aurons donc : 5335 = [(n 1)/2] * (n n^2), (1) Et au minimum : 5335 = (n/2 0.5) * (n^2 – n 2). (2)
Par résolution de (1) , on obtient :
o10670 = (n 1) * (n n^2), soit : o10670 = 2n^2 n^3 n, et o10670 = n (2n n^2 1), d’où o10670 = n (n 1)^2.
Lorsque n = 21, nous obtenons : 21 * 22^2 = 10.164, et lorsque n = 22, nous obtenons : 22 * 23^2 = 11.638.
nous avons donc maximum n = 22.
Par résolution de (2) , on obtient :
o10670 = (n 1) * (n^2 – n 2), soit : o10670 = n^3 n. 2, et :
o10668 = n^3 n d’ou, o10668 = n (n 1)(n-1)
En remplaçant n par 22, nous obtenons n (n 1)(n-1) = 10.626.
Nous pouvons donc raisonnablement prendre 22 comme valeur de n.
