E537. Rouges et bleus à égalité

E537. Rouges et bleus à égalité

Solution proposée par Quentin LEONE

1 Enoncé

On remplit une grille carré de côté n avec les entiers 1,2,3, . . . , n² pris dans cet ordre à partir de la première case en haut à gauche jusqu'à la dernière case en bas à droite. C'est ainsi que la première rangée contient les entiers 1,2, . . . , n, la deuxième rangée contient les entiersn+ 1, n+ 2, . . . ,2net ainsi de suite jusqu'à la dernière rangée qui contientn²−n+ 1, n²−n+ 2, . . . , n². On choisit n nombres distincts de cette grille de telle sorte que deux nombres quelconques d'entre eux ne se trouvent ni sur la même rangé, ni sur la même colonne. La somme de ces nombres est égale à 5335. Quelle est la dimension n de la grille ?

On colorie ensuite chacune desn² cases soit en rouge soit en bleu de telle manière que sur chaque rangée comme sur chaque colonne il y a le même nombre de cases rouges et de cases bleues. Démontrer que les sommes des nombres inscrits dans les cases rouges et dans les cases bleus sont identiques.

2 Solution

Soit A∈ M_n(N)associée à la grille. Nous avons donc :

A=











1 2 · · · n

n+ 1 n+ 2 · · · 2n

... ...

n²−n+ 1 n²−n+ 2 · · · n²











Plus précisemment, pour A= (a_ij)i,j∈{1,...,n}, nous avons a_ij = (i−1)n+j. Dans la première conguration, nous avons n nombres distincts tels que sur chaque ligne et sur chaque colonne, il n'y ait qu'un nombre choisit. De façon plus formelle, nous choisissons n élémentsa_ij deAtel que ietj ne soit chosit qu'une seule et unique fois. La somme de ces nombres est égale 5335.

1

Nous avons donc :

X

i,j∈{1,...,n}

a_ij = 5335

⇔

n

X

i=1

(i−1)n+

n

X

j=1

j = 5335

⇔ n(n²+ 1)

2 = 5335

Or 5335 = ²²⁽²²₂²⁺¹⁾ d'où n= 22. La taille de la grille est donc 22.

Dans la deuxième conguration, nous devons avoir sur chaque ligne et sur chaque colonne le même nombre de cases rouges et de cases bleues. Si nous colorions en rouge la caseaij, nous devons colorier en bleu les casesaik et a_lj, avec k 6=j etl 6=i, pour respecter la conguration. Nous avons donca_lk en rouge. Ora_ij+a_lk = (i−1)n+j+(l−1)n+k = (i−1)n+k+(l−1)n+j = a_ik+a_lj. Donc dans la plus simple des congurations, la somme des cases rouges est égale à la somme des cases bleues.

Ainsi, nous pouvons regrouper tous les éléments de la matrice par quatre tel que le regroupement respecte cette conguration simpliste. Aucuns élé- ments coloriés de la matrice ne sera laissé de côté sinon il y aurait un déséqui- libre dans la répartition des cases bleues et rouges. Nous avons donc p∈ N regroupement, où p est la partie entière de n²/4. Comme les sommes des nombres des cases bleues de chaque regroupement est la même que celle des nombres des cases rouges du même regroupement, la somme des nombres des cases bleues issues de tous les regroupements est identiques à la somme des nombres des cases rouges de tous les regroupements. De plus, comme chaque case bleue et chaque case rouge est regroupée, nous avons sommé toutes les valeurs des cases bleues et des cases rouges de la grille. Ainsi, les sommes des nombres inscrits dans les cases rouges et dans les cases bleues sont identiques.

CQFD

2