A488. Somme et produit réglés à l'unité
Montrer qu’il existe 2012 nombres rationnels pas nécessairement distincts entre eux, compris dans l’intervalle ouvert ] [ et dont la somme et le produit sont égaux à 1.
Même question avec respectivement 2013,2014 et 2015 nombres rationnels.
Pour quelles valeurs de l’entier , existe-t-il nombres rationnels définis dans l’ensemble , pas nécessairement distincts, dont la somme et le produit sont égaux à 1 ?
Solution
Proposée par Fabien Gigante Montrons que :
Pour tout entier tel que ou , il existe nombres rationnels (pas nécessairement distincts) que l’on peut choisir dans l’intervalle [ ] et dont la somme et le produit sont égaux à 1.
Pour , le nombre 1 convient.
Pour , les nombres conviennent.
Pour , les nombres conviennent.
Pour , les nombres conviennent.
Etant donnée une solution pour , on peut construire une solution pour en y adjoignant les quatre nombres de somme 0 et de produit 1.
Par récurrence, on a ainsi construit des solutions pour tout entier tel que ou . Montrons que :
Pour tout ou , on ne peut pas trouver nombres rationnels (pas nécessairement distincts) dont la somme et le produit sont égaux à 1.
Pour , les deux nombres de somme et de produit égaux à 1 seraient les racines de qui est irréductible dans . Il n’y a donc a fortiori aucune solution dans .
Pour , il s’agit de montrer que n’a pas de solutions dans .
En mettant ces fractions au même dénominateur et en simplifiant, on se ramène à la recherche des solutions de l’équation ( ) dans . En éliminant de proche en proche les facteurs premiers communs à deux (donc à trois) de ces inconnues, on se restreint finalement à considérer uniquement les cubes parfaits. On doit alors montrer que l’équation n’a pas de solution dans ou, de façon équivalente, que l’équation
n’a pas de solution dans .
Cette dernière équation est celle d’une courbe elliptique, déjà rencontrée à l’occasion du problème A458. Elle est de rang 0, et possède pour uniques solutions rationnelles, les points de torsion, et , qui ne conviennent pas ici.
