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A626. Une partition impossible Quel est le plus grand entier naturel qui ne peut pas s’exprimer comme la somme de quatre nombres premiers distincts ? Justifiez votre réponse.

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A626. Une partition impossible

Quel est le plus grand entier naturel qui ne peut pas s’exprimer comme la somme de quatre nombres premiers distincts ? Justifiez votre réponse.

Solution proposée par Gaston Parrour

Il est maintenant établi que tout nombre impair est la somme de 3 nombres premiers impairs ; ce qui dans le cas général constitue le minimum attendu

Ici il est demandé de déterminer quel est le plus grand entier qu'on ne peut décomposer en 4 premiers distincts.

Remarque préliminaire :

Puisqu'il s'agit ici de 4 nombres premiers, en utilisant le résultat rappelé ci-dessus pour un nombre impair N : (a) le nombre impair suivant N+2, peut s'exprimer par 4 nombres premiers par l'ajout du premier pair 2 à N (b) le nombre pair N+3, peut s'exprimer par 4 nombres premiers par l'ajout du premier impair 3 à N

Pour cerner la question posée, on peut :

1 -déterminer quel est le plus grand entier N0 généré de la façon décrite décrite ci-dessus et pour lequel les 4 premiers impliqués par cette méthode ne sont jamais tous différents

2 -vérifier alors que toute décomposition de ce N0 est impossible en 4 premiers distincts.

3 -vérifier enfin que les entiers suivants N0 peuvent toujours se décomposer en 4 premiers distincts 1 – Le plus grand entier N0 qui ne se décompose pas en 4 premiers distincts (dictés par la démarche de la remarque préliminaire).

---> Pour exploiter la remarque préliminaire, déterminons tout d'abord le premier nombre impair N3 qui ne peut être décomposé en moins de 3 nombres premiers.

A partir de N impair quelconque : s'il est premier, il n'est pas candidat N3

s'il est décomposable en 2 nombres premiers, par parité on a N = 2+p Dans ce cas (N-2) impair est le nombre premier p

Donc en examinant les paires d'impairs successifs [ (N-2),N], la première qui concerne deux nombres non premiers fournit le nombre N3 cherché.

La première paire d'impairs successifs non premiers est (25,27) donc

===> N3 = 27 est le premier nombre qui nécessite 3 premiers (au minimum)

→ Parmi les décompositions possibles en trois nombres premiers de N3 = 27, NE retenons QUE celles où les trois nombres premiers sont différents :

27 = 3+5+19 = 3+7+17 = 3+11 +13

Malgré cette restriction, dans ces décompositions où figure un « 3 », l'ajout de 3 conduit au nombre N0=30 et produit des décompositions de N0=30 qui ne contiennent pas 4 premiers distincts (avec ce mode de

génération)

2 - Vérifions qu' aucune décomposition de 30 n'est possible en 4 premiers distincts 30 = 28+2 = 27+3 = 25+5 = 23+7 = 19+11 = 17+13

Examinons les décompositions possibles en trois nombres premiers pour les nombres en gras :

(OUI est pour une décomposition résultante de 30 en 4 premiers distincts, NON dans le cas contraire) 28 est pair il exige 3 nombres premiers pairs (impossible) ou « 2 » et 2 impairs ==> NON

27 décomposition déjà examinée ==> NON 25 =3+3+19=3+5+17=5+7+13=7+7+11=3+11+11 ; avec « 5 » ajouté ==> NON 23 = 2+2+19=3+3+17=3+7+13=5+7+11 ; avec « 7 » ajouté ==> NON 19 = 3+3+13=3+5+11=5+7+7 ; avec « 11 » ajouté ==> NON 17 = 2+2+13=3+3+11=5+5+7=3+7+7 ; d'emblée ==> NON 13 = 3+3+7=3+5+5 d'emblée ==> NON 11 = 3+3+5 d'emblée ==> NON ==> N0 = 30 est un entier qui ne peut se représenter par la somme de 4 premiers distincts

Il reste à vérifier que N0 est le plus grand entier de ce type ; d'où le point 3suivant.

(2)

3 – La décomposition en 4 premiers distincts est possible pour les entiers N > N0 = 30

On peut utiliser la remarque initiale pour générer, à partir d'un nombre impair Ni, l'impair Ni+2 et le pair Ni+3 → Pour que cela soit efficace : Ni doit se décomposer en trois premiers distincts et il suffit alors que le plus petit premier p1 de cette décomposition vérifie p1 > 3

Compte tenu de N0=30, on doit faire appel à Ni= 29 pour générer 31 et 32 Or en particulier 29 = 5+7+17 donc 31 = 2+5+7+19 et 32 = 3+5+7+19 On poursuit avec 31 en trois nombres premiers distincts avec p1>3 (en particulier p1=5):

31 = 5+7+19 d'où 33 et 34 avec l'ajout de 2 et de 3 respectivement Puis avec 33

33 = 5+11+17 qui génère 35 et 36 Puis avec 35

35 = 5+7+23 = 7+11+17 ceci génère 37 et 38,

En poursuivant avec 37 = 5+13+19 = 7+11+19 puis 39 = 5+11+23 = 7+13+19 puis 41 = 5+7+29 = 7+11+23 = 11+13+17 etc … ,

==> on constate que la décomposition d'un impair en trois premiers distincts, - avec le plus petit p1 > 3-, est réalisée pour N impair plus grand ou égal à 29.

Dans le cas p1 = 5, la décomposition apparaît alors toujours possible.

==> Ceci permet de dire que pour tout N > N0=30 , la décomposition en 4 premiers distincts est possible ; N0 est le plus grand qui ne peut se décomposer en 4 premier distincts

N.B. Pour le dire autrement : pour tout nombre impair Ni plus grand ou égal à 29 on se donne un premier p1 >

3 , en l'occurrence p1=5

Dans ces conditions, suivant l'approche ci-dessus :

==> on peut toujours décomposer le nombre pair restant, Ni-5, en deux nombres premiers impairs distincts.

On a ci-dessus vérifié effectivement ceci pour les premiers Ni impairs, croissant depuis N = 29.

En particulier, plus N est grand et plus il existe en général deux nombres premiers p2 et p3 voisins de la moyenne (Ni-5)/2 et donc de plus en plus éloignés de p1 = 5.

(Au début de cette investigation, un cas limite est celui de 43 -5 = 38 ; pour 38 la décomposition en nombre premiers la plus voisine de la moyenne 19 est 38 = 7+31)

En fait, l'existence d'au moins une paire de nombres premiers pour la décomposition du nombre pair N-5 constitue une part de ce qui n'est actuellement qu'une conjecture :

« tout nombre pair est la somme de deux nombres premiers »

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