E537. Rouges et bleus à égalité

E537. Rouges et bleus à égalité

On remplit une grille carrée de côté n avec les entiers 1,2,3,...., n² pris dans cet ordre à partir de la première case en haut à gauche jusqu'à la dernière case en bas à droite. C'est ainsi que la première rangée contient les entiers 1,2,3,....n ; la deuxième rangée les entiers n + 1,n + 2,....,2n ; la troisième rangée les entiers 2n + 1,2n + 2,....,3n...etc... jusqu'à la dernière rangée qui contient n² - n + 1 , n² - n + 2,..., n². On choisit n nombres distincts de cette grille de telle sorte que deux quelconques d'entre eux ne se trouvent ni sur la même rangée ni sur la même colonne. La somme de ces nombres est égale à 5335. Quelle est la dimension n de la grille ?

On colorie ensuite chacune des n² cases soit en rouge soit en bleu de telle manière que sur chaque rangée comme sur chaque colonne il y a le même nombre de cases rouges et de cases bleues. Démontrer que les sommes des nombres inscrits dans les cases rouges et dans les cases bleues sont identiques.

Notons a_ij le terme de la ligne i et de la colonne j de la grille : a_ij = (i-1).n + j. i et j varient de 1 à n.

1)

5335 est obtenu en prenant un terme de chaque ligne et de chaque colonne, de sorte que i et j prennent les valeurs de 1 à n une seule fois. D’où :

5335 = i=1 à n (i-1).n + j=1 à n j = n².(n-1)/2 + n.(n+1)/2 = n.(n²+1)/2

soit n.(n²+1) = 2x5x11x97 = 22x485 = 22.(22²+1)

A partir de la décomposition en facteurs premiers, c’est la seule combinaison possible.

donc n = 22

2)

Soit B = {(i,j) / a_ij bleu} et R = {(i,j) / a_ij rouge}. On cherche _Ra_ij .

Ra_ij = _R(i-1).n + j

i et j prennent les valeurs de 1 à n, n/2 fois. En effet pour i donné, aij est rouge exactement n/2 fois (n/2 cases rouges dans la ligne i). Donc, dans R, i prend toutes les valeurs de 1 à n, n/2 fois. Il en est de même pour j.

On peut donc « séparer » la somme et :

Raij = R(i-1).n + j = n/2 . ( i=1 à n (i-1).n + j=1 à n j) = 1/2 . i,jaij

Donc Baij = Raij = 1/2 . i,jaij