G143. La revanche de Zig.
À l’issue de la première partie jouée contre Jones avec un polyèdre à 2010 faces (voir G142), Zig a réalisé mais un peu tard que la distribution des mises était trop favorable à Jones. Il décide de prendre sa revanche et propose une deuxième partie en plusieurs manches avec un dé à 6 faces supposé parfait. A tour de rôle ils lancent le dé et ils enregistrent le cumul des points obtenus à l’issue de chaque lancer. Quand ce cumul atteint ou dépasse 2010, ils arrêtent la manche. Si le score est strictement égal à 2010, Zig gagne la manche et s’il dépasse 2010, Jones est le vainqueur. Pour chaque manche, la mise initiale de Zig est
2 €, celle de Jones est de 5 £.
Zig a-t-il bon espoir de récupérer les euros qu’il avait perdus à l’issue de la première partie ? Solution proposée par Michel Lafond
Notons P(n) la probabilité d’obtenir exactement n par cumul.
On a : P(1) = 1 / 6.
P(2) = 7 / 62 car ou bien on fait 1 la première fois et il reste à cumuler 1, ou bien on fait 2 la première fois.
Soit P(2) = 1/6 P(1) + 1/6 = 7 / 62.
P(3) = 72 / 63 car ou bien on fait 1 la première fois et il reste à cumuler 2, ou bien on fait 2 la première fois et il reste à cumuler 1, ou bien on fait 3 la première fois.
Soit P(3) = 1/6 P(2) + 1/6 P(1) + 1/6 = 72 / 63.
On trouve de même P(4) = 73 / 64, P(5) = 74 / 65 et P(6) = 75 / 66.
À partir de n = 7 on a P(n) = 6
1 ( P(n–1) + P(n–2) + P(n–3) + P(n–4) + P(n–5) + P(n–6)).
On peut ainsi calculer par récurrence g = P(2010) qui est la probabilité de gain de Zig.
Un calcul informatique permet le calcul EXACT et montre que g = 2 / 7 + où vaut environ 0,653 10275.
L’espérance de gain de Zig pour une manche est donc approximativement de : (2 / 7) 5£ – (5 / 7) 2€ = 10 / 7 fois la différence entre une livre et un euro.
Pour répondre à la question, Zig a bon espoir de récupérer en février ce qu’il avait perdu en janvier.
