Enonc´e noG143 (Diophante) La revanche de Zig
A l’issue de la premi`ere partie jou´ee contre Jones avec un poly`edre `a 2010 faces (voir G142), Zig a r´ealis´e mais un peu tard que la distribution des mises
´etait trop favorable `a Jones. Il d´ecide de prendre sa revanche et propose une deuxi`eme partie en plusieurs manches avec un d´e `a 6 faces suppos´e parfait. A tour de rˆole ils lancent le d´e et ils enregistrent le cumul des points obtenus `a l’issue de chaque lancer. Quand ce cumul atteint ou d´epasse 2010, ils arrˆetent la manche. Si le score est strictement ´egal `a 2010, Zig gagne la manche et s’il d´epasse 2010, Jones est le vainqueur. Pour chaque manche, la mise initiale de Zig est 2 euro, celle de Jones est de 5 livres. Zig a-t-il bon espoir de r´ecup´erer les euros qu’il avait perdus `a l’issue de la premi`ere partie ? Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Supposons un m´ega-jeu de l’oie `a plusieurs milliers de cases. Chaque manche de Zig et Jones se traduit par des segments de 1 `a 6 cases mis bout `a bout `a partir de l’origine ; les segments des 6 longueurs sont en proportions ´egales, et comme 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, en moyenne 1 case sur 21 appartient `a un segment d’1 case, 2 cases sur 21 appartiennent `a un segment de 2 cases, etc.
Zig gagne la manche si la case 2010 est la case finale du segment o`u elle est incluse. Comme 6 cases sur 21 (une par segment) sont de telles cases finales, Zig gagne la manche avec une probabilit´e 6/21 = 2/7. Quand il a mis´e 14 euros, il r´ecup`ere en moyenne 2 mises, soit 4 euros et 10 livres (valant environ 11,53 euros). Il gagne 10 livres en perdant 10 euros, soit (11,53−10)/14 = 0,109 euro de gain net par euro mis´e.
Dans le jeu G142, Zig ne gagnait en moyenne qu’une fois sur 2,719 ; il r´ecup´erait les mises : un euro et une livre (1,153 euro) en ayant mis´e 2,719 euros. Aussi perdait-il (2,719−2,153)/2,719 = 0,566 euro par euro mis´e.
Pour r´ecup´erer les euros perdus, Zig doit poursuivre le nouveau jeu jusqu’`a miser au moins 0,566/0,109 = 5,18 fois ce qu’il a mis´e au premier jeu, ou 1/0,109 = 9,15 euro par euro perdu au premier jeu.
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