Problème proposé par Claudio Baiocchi Puce vient de tracer trois figures :
- 1ère figure : un triangle ABC puis les trois médiatrices des côtés AB, BC et CA ainsi qu’un carré qui a la même surface que le triangle,
- 2ème figure : un triangle DEF et un point G à l’intérieur du côté EF puis les quatre médiatrices des segments DE, EG, GF et FD,
- 3ème figure : un quadrilatère PQRS et les quatre médiatrices des côtés PQ,QR,RS et SP Quand Puce a le dos tourné, Zig efface les sommets et les côtés des triangles ABC et DEF et du quadrilatère PQRS mais laisse intacts toutes les médiatrices et le carré. Il met Puce au défi de reconstituer les points A,B,C puis D,E,F,G et enfin P,Q,R,S.
Dans quels cas Puce est-il en mesure de relever le défi avec une règle et un compas ? Justifier vos réponses.
Pour la première figure, si O est le point de concours des médiatrices, l’angle de OA et de la médiatrice de AC est égal à l’angle B, ainsi que l’angle extérieur des médiatrices de AB et BC : on détermine ainsi la direction OA, et en choisissant un point sur cette droite, on peut, en construisant ses symétriques par rapport aux médiatrices de AB et et AC construire un triangle homothétique de ABC, dont on fait la quadrature (voir la belle illustration sur le site de Thérèse Eveillaux http://therese.eveilleau.pagesperso-
orange.fr/pages/hist_mat/textes/euclides0.htm) : il suffit ensuite de mettre à l’échelle en utilisant le carré donné.
Pour les deuxième et troisième figures, rappelons que la composition de deux réflexions d’axes concourants est une rotation d’angle double de l’angle des axes. Réciproquement, toute rotation peut être décomposée en deux réflexions dont l’une a pour axe une droite quelconque passant par le centre de rotation, et l’autre la droite passant par ce centre, faisant avec la première un angle moitié de l’angle de rotation.
On en déduit que la composée de deux rotations de centres I et J distincts et d’angles non opposés est une rotation d’angle la somme des angles et de centre K tel les angles en I et J du triangle IJK sont la moitié des angles de rotation.
Ainsi pour la troisième figure, soit I le point de concours des médiatrices de PQ et QR, et J celui des médiatrices de RS et SP : le point P, invariant par la succession des
réflexions par rapport aux médiatrices de PQ, QR, RS, SP, est le centre de la rotation résultat de la composition, donc tel que les angles JIP et IJP sont égaux respectivement à ceux des médiatrices de PQ et QR, et des médiatrices de RS et SP.
La deuxième figure est un cas particulier de la troisième.
