G143. La revanche de Zig
Notons pn la probabilité d’atteindre le total n. Nous avons bien évidemment p0 = 1 et en conditionnant par rapport au total du coup précédent, nous en déduisons
pn =1
6(pn−1+. . .+pn−6), d’où
pn+1= 1
6(7pn−pn−6)
pour toutn>6, ce qui permet de calculer facilement les valeurs à l’aide d’un tableur et d’observer une convergence vers 27.
Zig perd si le total est compris entre 2011 et 2015 sans jamais avoir atteint 2010. En conditionnant par rapport au total du coup précédent, nécessairement compris entre 2005 et 2009, nous en déduisons
1−p2010=1
6(5p2009+ 4p2008+ 3p2007+ 2p2006+p2005). Si la suite converge (non prouvé), alors sa limite vaut 216 = 27.
Puisque 1−pp20102010 ≈ 25 et 1€<1£, l’espérance de gain de Zig est donc strictement positive et il pourra se refaire par rapport à la première partie (cf G142 Une partie franco-anglaise)
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