G143: La revanche de Zig
A l’issue de la première partie jouée contre Jones avec un polyèdre à 2010 faces (voir G142), Zig a réalisé mais un peu tard que la distribution des mises était trop favorable à Jones. Il décide de prendre sa revanche et propose une deuxième partie en plusieurs manches avec un dé à 6 faces supposé parfait. A tour de rôle ils lancent le dé et enregistrent le cumul des points obtenus successivement par l’un et l’autre.
Quand ce cumul atteint ou dépasse 2010, ils arrêtent la manche. Si le score est strictement égal à 2010, Zig gagne la manche et s’il dépasse 2010, Jones est le vainqueur. Pour chaque manche, la mise initiale de Zig est 2 €, celle de Jones est de 5 £. Zig a-t-il bon espoir de récupérer les euros qu’il avait perdus à l’issue de la première partie ?
Soit P(n) la probabilité que n fasse partie des valeurs atteintes par le cumul des points.
Pour atteindre la valeur n, il faut partir de l’une des valeurs n-6, n-5, n-4, n-3, n-2 ou n-1.
On peut calculer P(1)=1/6, P(2)=7/62, P(3)=72/63, P(4)=73/64, P(5)=74/65, P(6)=75/66, et au delà 6P(n)=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)+P(n-4)+P(n-5)+P(n-6) (E)
A partir de là, on montre que P(6k+1)<P(6k+2)<P(6k+3)<P(6k+4)<P(6k+5)<P(6k+6) pour tout k, que la suite de P(6k+1) croît et celle des P(6k+6) décroît avec k, et comme P(6k+6)-P(6k+1)<5(P(6k)-P(6k-5))/6, les suites P(6k+1) et P(6k+6) sont adjacentes:
chacune des suites P(6k+i) pour 1≤i≤6 est donc convergente, et elles ont une limite commune a.
Posons f(n)=6P(n)+5P(n-1)+4P(n-2)+3P(n-3)+2P(n-4)+P(n-5); si l’on ajoute aux deux membres de l’égalité (E), 5P(n-1)+4P(n-2)+3P(n-3)+2P(n-4)+P(n-5) on obtient f(n)=f(n-1)=...=f(6)=(75+5*74+4*6*73+3*62*72+2*63*7+64)/65=6 ; or, quand n croît, f(n) tend vers (1+2+3+4+5+6)a=21a ; donc 21a=6 et a=2/7. Donc P(2010) est très proche de 2/7, et si t=1,154 est la parité £/€, l’espérance de gain de Zig est (2+5t)*2/7=2,22 € pour 2 € misés, donc légèrement favorable.
