Problème proposé par Patrick Gordon
Zig s'est acheté un réveil digital, qu'il pose à plat, affichage vers le plafond, sur le plancher de sa chambre. Il le place tantôt face à son lit, pour bien voir l'heure quand il se lève, tantôt face à la porte (de l'autre côté), pour bien voir l'heure quand il va ou retourne se coucher. Comme il est très brouillon, il ne sait pas, quand il se lève dans le noir, de quel côté est orienté son réveil.
L'affichage est sur 4 chiffres, en "chiffres bâtons",
Q₁ Sachant que l'affichage est sur 24h et que Zig (perturbé par ses voyages au long cours et souffrant du décalage) peut dormir à n'importe quelle heure du jour ou de la nuit, on demande combien d'horaires affichés sont ambigus.
Q₂ Même question si Zig dort entre 22h et 6h du matin.
Q₃ Pour les plus courageux, mêmes questions si le réveil affiche aussi les secondes sur 2 chiffres.
Les chiffres ambigus sont 0, 1, 2, 5, 6, 8 et 9, avec lesquels on peut écrire 17 heures différentes (00, 01, 02, 05, 06, 08, 09, 10, 11, 12, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22) parmi lesquelles, il faut éliminer 06, 08, 09, 16, 18, 19 qui ne donnent pas, par
renversement, des nombres de minutes admissibles.
Q1 : Il y a 10*11=110 horaires ambigus, car les 11 horaires symétriques ne le sont pas (00:00, 01:10, 02:20, 05:50, 10:01, 11:11, 12:21, 15:51, 20:02, 21:12, 22:22) .
Q2 : Entre 22h et 6h, on peut éliminer les heures 10, 11, 12, 15, 20 et 21 : il ne reste que 00, 01, 02, 05, 22, soit 4*5=20 horaires ambigus.
Q3 : Si le réveil affiche aussi les secondes, nous pouvons appliquer les raisonnements précédents aux heures et secondes (au lieu d’heures et minutes) ; l’affichage sera ambigu si le renversement des heures et secondes donne un nombre distinct, et celui des minutes un nombre lisible, ou si le renversement des heures et secondes donne un nombre identique, et si le renversement des minutes un nombre lisible et distinct.
Le premier chiffre des minutes étant 0, 1, 2, ou 5, il y a 16 nombres de minutes lisibles après renversement, dont 4 identiques à l’original.
On obtient donc 110*16+11*12=1892 horaires ambigus pour la première question, et 20*16+5*12=380 pour la deuxième. Mais l’ambigüité est levée en moins d’une seconde!
