G258 - Le réveil de Zig
Problème proposé par Patrick Gordon
Zig s'est acheté un réveil digital, qu'il pose à plat, affichage vers le plafond, sur le plancher de sa chambre. Il le place tantôt face à son lit, pour bien voir l'heure quand il se lève, tantôt face à la porte (de l'autre côté), pour bien voir l'heure quand il va ou retourne se coucher. Comme il est très brouillon, il ne sait pas, quand il se lève dans le noir, de quel côté est orienté son réveil.
Comme l'affichage est sur 4 chiffres, en "chiffres bâtons",
il ne sait pas, par exemple, si l'indication suivante :
désigne 15:21 ou 12:51 (on ne tiendra pas compte de l'écartement du chiffre 1 par rapport à son voisin de gauche ou de droite).
1. Sachant que l'affichage est sur 24h et que Zig (perturbé par ses voyages au long cours et souffrant du décalage) peut dormir à n'importe quelle heure du jour ou de la nuit, on demande combien d'horaires1 affichés sont ambigus.
2. Même question si Zig dort entre 22h et 6h du matin.
3. Pour les plus courageux, mêmes questions si le réveil affiche aussi les secondes sur 2 chiffres.
Solution de l’auteur
Quand Zig passe d'un côté à l'autre de son réveil, l'affichage subit une rotation de 180°, c’est- à-dire une symétrie centrale. Seuls donc demeurent lisibles les chiffres :
a. qui possèdent eux-mêmes un centre de symétrie, b. qui deviennent un autre chiffre par symétrie centrale.
Avec la police ci-dessus, au nombre des premiers figurent seulement les chiffres 1, 2, 5, 8, 0 et aucun chiffre au nombre des seconds.
Un horaire est ambigu si :
c'est un horaire possible,
sa lecture à l'envers est un horaire possible différent du premier.
1 Nous préférons ce terme à "heure", gardant ce dernier pour distinguer les deux chiffres de l'heure de ceux des minutes.
Nous avons relevé que seuls les chiffres 1, 2, 5, 8, 0 peuvent être pris en considération.
Le cas du 8 est particulier.
Si l'on note, en effet, ABCD l'horaire direct, ni A ni C ne peuvent valoir 8 et B ne peut valoir 8 si A = 2.
Mais la lecture inverse donne D'C'B'A' (en notant du signe "prime" le chiffre symétrique) et ni D' ni B' (donc ni D ni B) ne peuvent valoir 8.
Le chiffre 8 est donc à écarter et seuls restent en course les chiffres 1, 2, 5, 0.
Les deux chiffres des heures peuvent prendre n'importe laquelle des 11 valeurs : 00
01 02 05 10 11 12 15 20 21 22
qui, retournées, donneront des minutes possibles : 00, 10, 20, etc.
Les deux chiffres des minutes peuvent prendre n'importe laquelle des 11 valeurs : 00
01 02 10 11 12 20 21 22 50 51
qui, retournées, donneront des heures possibles (on notera qu'on ne peut retenir celles terminées par un 5 ni 52.
Question 1
Sont ambigus donc, en principe, les horaires formés de la composition d'une "heure" de la première liste et d'une "minutes" de la troisième, soit 121 horaires.
Il faut toutefois en retirer tous les horaires symétriques, tels que 12:21, qui se lisent aussi bien à l'endroit qu'à l'envers.
Le tableau suivant donne les couples à éliminer (signe *).
minutes
00 01 02 10 11 12 20 21 22 50 51
heures
00 *
01 *
02 *
05 *
10 *
11 *
12 *
15 *
20 *
21 *
22 *
Reste donc 121 – 11 = 110 horaires ambigus, tels que 00:01, qui se lit à l'envers 10:00, etc.
Question 2
Si Zig dort entre 22h et 6h du matin, seuls sont à considérer les horaires de 22:00 à 06:00.
Cela amène à remanier comme suit le tableau précédent (où le signe * désigne toujours les horaires non ambigus car symétriques) :
minutes 00 10 20 22 50
heures
00 * 01 * 02 * 05 * 22 * Soit 20 horaires ambigus.
Question 3
C'est un piège!
Si le réveil affiche aussi les secondes sur 2 chiffres, aucune ambiguïté n'est possible car on les voit défiler. Si c'est à gauche, c'est qu'on lit à l'envers!
