G117 : Une autre histoire de petits bâtons
Prenons comme unité la longueur initiale du bâton, et soient b, c et d les longueurs des trois morceaux. On a déjà par construction b<c+d, et si c≥d, on pourra former un triangle avec les trois morceaux si c≤b+d, ou b≥c-d =1-b-2d; b prend de façon équiprobable les valeurs entre 0 et 1/2, d entre 0 et (1-b)/2, parmi lesquelles seules conviennent celles où 1-b-2d≤b soit d≥1/2-b soit une probabilité de b/(1-b) pour b donné, et une probabilité globale de 2
∫
01/2bdb/(1-b)=2ln2-1
On pourra former un quadrilatère avec 4 morceaux, si la longueur du plus grand est inférieure à la somme des trois autres ; donc si c<d+e+f, puisque si e est le plus long des 4 (on suppose e≥f), la condition est obligatoirement vérifiée (on a déjà e<b≤c+d).
On retrouve donc la même condition, c<b+d, et la même probabilité que ci-dessus.
