D403 ‒ Une bien jolie couverture
Trouver le triangle d'aire minimale qui couvre n'importe quel triangle dont les longueurs des côtés n'excèdent jamais la valeur 1.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Les 2 cas extrêmes à loger sont : un triangle équilatéral de côté 1 et un triangle isocèle de base quasi nulle et périmètre 2 . Une première approche conduit à un triangle isocèle ABC de hauteur AH = 1 et de base BC
= 1 ; son aire mesure 1/2 .
Il est possible de réduire la hauteur AH en effectuant une trisection de l'angle A = 6t de telle sorte que la longueur du côté AB soit minimisée .
Les 3 triangles ADE , AEF et AFG sont égaux . Leur angle au sommet vaut 2t . Et AD = AE = AF = AG = BC = 1
Dans ce cas nous avons l'égalité : cos t = 1 / ( 2 tan 3t ) cos 3t = 4 cos³ t - 3 cos t
sin 3t = 3 sin t - 4 sin³ t
cos t = cos 3t / 2sin 3t => 8 sin³ t - 4 sin² t - 6 sin t + 1 = 0 D'où l'équation en X avec X = sin t
8X³ - 4X² - 6X + 1 = 0 ==> X = 0.15555390873.. = sin t t = 8°.9489225465.. et l'angle A = 6t = 53°.69353528
La hauteur AH = cos t = 0.9878274047 et l'aire du triangle isocèle ABC de base BC = 1 devient S = 1/2 x BC x AH = 0.4939137..
Les triangles ABE ou AFC peuvent ainsi loger tous les triangles isocèle d'angle au sommet < 2t = 17°.897845..
Le triangle ABC prend le relais pour les angles au sommet 2t < A < 60° .
