R´ eels, suites, continuit´ e
I R
A retenir du cours :
• l’in´egalit´e triangulaire ;
• la d´efinition des bornes sup´erieure et inf´erieure d’une partie ;
• les trois th´eor`emes suivants :
– l’existence d’une borne sup pour toute partie major´ee de R ; – le th´eor`eme des segments emboˆıt´es ;
– le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass ;
• la traduction de ces th´eor`emes en termes de suites : – toute suite monotone born´ee converge ;
– deux suites adjacentes convergent vers la mˆeme limite ;
– de toute suite born´ee on peut extraire une sous-suite convergente ;
• R est complet : les suites de Cauchy sont les suites convergentes.
1◦ Exercices “abstraits”
a) D´emontrer que les traductions sont “facilement” ´equivalentes aux versions initiales.
D´emontrer chacun des trois th´eor`emes ci-dessus `a partir des deux autres.
b) En n’utilisant que le th´eor`eme de la borne sup´erieure, montrer l’existence et l’unicit´e d’une racine carr´ee dans R+. (Consid´erer sup{y ∈ R+, y2 < x} et inf{y ∈ R+, y2> x}.)
c) Pour A, B born´ees dans R, que peut-on dire de sup(A∪B) ? de sup(A∩B) ? de sup(A+B) o`u A + B = {x + y, x ∈ A, y ∈ B} ? de sup(AB) lorsque A, B ⊂ R+ ?
d) Soit A non vide major´ee et x ∈ A. Montrer : sup(A \ {x}) = sup A ⇐⇒ x < sup A.
e) Montrer que si A est ferm´e et major´e, alors sup(A) ∈ A.
f ) V´erifier que limn→+∞
√n + 1 −√
n = 0. En d´eduire que supn∈Nsin√ n = 1.
g) Soit A ⊂ R. Montrer que A est un intervalle si et seulement si ∀x, y ∈ A, [x, y] ⊂ A. 1 h) Montrer les connexes de R sont les intervalles. (Une partie A ⊂ R est dite connexe s’il n’existe pas de fonction A → {0, 1} surjective continue.)
i) Montrer qu’un ouvert de R peut s’´ecrire comme une r´eunion d´enombrable d’intervalles ouverts disjoints. (Soit ∼ la relation d´efinie sur notre ouvert O par : x ∼ y si [x, y] ⊂ O.
Montrer que c’est une ´equivalence et que les classes d’´equivalences sont des intervalles ouvert.
Exhiber un rationnel dans chacune et conclure.)
j) (Application.) Soit F un ferm´e de R et f : F → R continue. Montrer que l’on peut prolonger f en une fonction continue sur R.
2◦ Partie enti`ere et d´eveloppement d´ecimal d’un r´eel
a) Qu’est-ce que la partie enti`ere d’un r´eel ? Pourquoi existe-t-elle ? Dans la suite, la partie enti`ere sera not´ee ⌊· · · ⌋.
b) (CAPES 1977) Justifier, pour chaque x ∈ R, l’existence et l’unicit´e d’un ´el´ement n ∈ Z tel que : (2n − 1) π ≤ x < (2n + 1) π.
c) Quel sens a l’´ecriture d´ecimale illimit´ee 0,3199999999 · · · ? A-t-on 0, 999 · · · = 1 ?
d) Qu’est-ce que le d´eveloppement d´ecimal d’un r´eel ? Comment le calcule-t-on ? Quel est le d´eveloppement d´ecimal (propre) des r´eels pr´ec´edents ?
1Ici et dans la suite, on note [x, y] l’ensemble des r´eels compris entre x et y, que l’on ait x ≤ ou x ≥ y.
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e) (La mˆeme en plus d´etaill´ee.) Soit x0∈ [0, 1[. On d´efinit deux suites (an) ∈ ZNet (xn) ∈ RN par :
an+1 = ⌊10xn⌋ et xn+1= 10xn− an+1.
1. Dessiner le graphe de f : [0, 1] → [0, 1], x 7→ 10x − ⌊10x⌋. En d´eduire que pour tout n, an ∈ {0, · · · , 9} et xn∈ [0, 1[.
2. Montrer que lim
n→+∞
n
X
k=1
an 10n = x.
3. Montrer que la suite (an) ne stationne pas `a 9.
4. Montrer que si (an)n≥1 et (bn)n≥1 sont deux suites `a valeurs dans {0, . . . , 9} qui ne stationnent pas `a 9 et telles que P
n≥1an10−n = P
n≥1bn10−n, alors les suites sont
´egales : pour tout n ≥ 1, an = bn.
5. Enoncer et d´emontrer des r´esultats analogues en base B (B ∈ N, B ≥ 2 ; on vient de traiter le cas B = 10).
f ) Montrer qu’un r´eel est rationnel si, et seulement si son d´eveloppement d´ecimal est ultime- ment p´eriodique (i.e. la suite (an) de la question pr´ec´edente p´eriodique `a partir d’un certain rang).
g) Quels sont les nombres premiers p tel que le d´eveloppement d´ecimal de 1/p soit p´eriodique de p´eriode 6 ? (C’est plutˆot une question d’alg`ebre.)
II D´eveloppement en fraction continue
L’inconv´enient de la repr´esentation des r´eels d´ecimale ou plus g´en´eralement en base B, c’est qu’elle d´epend du choix (arbitraire) de la base. Les fractions continues n’ont pas ce d´efaut, mais elles sont tout `a fait inadapt´ees aux calculs (les sommes, par exemples, sont impossibles
`
a calculer ainsi).
1◦ Pr´eliminaires
a) Soit x ∈ R. Montrer qu’il existe un infinit´e de couples (p, q) ∈ Z × N∗, tels que
x −p
q ≤ 1
q2.
(Mettre q+1 nombres mx−⌊mx⌋ (1 ≤ m ≤ q+1) dans q tiroirs [k/q, (k + 1)/q[ (0 ≤ k ≤ q−1).) b) Montrer que pour tout (p, q) ∈ Z × N∗,
√2 − p q
≤ 1 =⇒
q
√2 − p ≥
1 (1 + 2√
2)q. (Ceci traduit que√
2 est “mal approchable” par des rationnels.) 2◦ Liminaire
Soit (an)n≥0 une suite d’entiers telle que a0≥ 0 et, pour n ≥ 1, an > 0. On d´efinit deux suites (pn)n≥0 et (qn)n≥0 par :
p0= 1 q0= 0,
p1 = a0
q1 = 1,
pn+1= anpn+ pn−1
qn+1= anqn+ qn−1.
a) Montrer que (qn)n≥1 est positive, strictement croissante. Quelle est sa limite ? b) Pour n ∈ N, on pose Dn= pnqn+1− pn+1qn. Montrer que Dn = (−1)n pour tout n.
c) Pour n ∈ N∗, on pose yn = pn/qn. Montrer que les suites (y2n+1)n≥0 et (y2n)n≥1 sont adjacentes. En d´eduire que la suite (yn)n≥1 converge.
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d) Ecrire une jolie formule pour exprimer yn en fonction de a0, . . . , an. Dans la suite, on noterayn = [a0; a1, . . . , an].
3◦ D´ecomposition en fraction continue
Soit x > 0 donn´e. On d´efinit, lorsque c’est possible, des suites (xn) et (an) par : x0= x et ∀n ∈ N, xn+1 = 1
xn− ⌊xn⌋, an= ⌊xn⌋, o`u ⌊·⌋ d´esigne la partie enti`ere.
a) Ici, x = 77/45. Calculer les valeurs de an et xn qui sont d´efinies.
b) Montrer que pour x ∈ Q, la suite (xn) n’est d´efinie que pour un nombre fini de termes.
On suppose d´esormais que pour x ∈ R \ Q et on reprend les notations de 2◦.
c) Montrer que la suite (xn) est d´efinie sur N, et que la suite (an) satisfait les hypoth`eses de 2◦.
d) Calculer explicitement la suite (an) pour x = √
3 et x = (1 +√
5)/2 (`a la main), ainsi que les 20 premi`eres valeurs de an, pn, qn et pn/qn pour x = e et x = π (`a la machine). Que constate-t-on ?
e) Montrer que
∀n ≥ 1, x = pnxn+ pn−1
qnxn+ qn−1
. f ) En d´eduire que
∀n ≥ 1, x − pn
qn
< 1 qnqn+1
(noter que xn > an), puis que lim
n→+∞
pn
qn = x. En particulier, retrouver le r´esultat de 2◦.
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