Banque CCINP

Feuille de TD n˚6

MP Clemenceau 2020-21 Octobre 2020

Banque CCINP

Exercice 1 : 34 banque CCINP

SoitAune partie non vide d’un espace vectoriel norm´eE.

1) Rappeler la d´efinition d’un point adh´erent `aA, en termes de voisinages ou de boules.

2) D´emontrer que :x∈A¯⇐⇒ ∃(xn)_n∈N telle que,∀n∈N, xn∈Aet lim

n→+∞xn=x.

3) D´emontrer que si Aest un sous-espace vectoriel deE, alors ¯A est un sous-espace vectoriel deE.

4) D´emontrer que, siAest convexe alors ¯Aest convexe.

Exercice 2 : 35 banque CCINP

E etF d´esignent deux espaces vectoriels norm´es.

1) Soientf une application deE dansF etaun point deE.

On consid`ere les propositions suivantes : P1. f est continue ena.

P2. Pour toute suite (xn) d’´el´ements deE telle que lim

n→+∞xn=a, alors lim

n→+∞f(xn) =f(a).

Prouver que les propositions P1 et P2 sont ´equivalentes.

2) SoitAune partie dense d’un sous-espace vectoriel norm´eE, et soientf etg deux applications continues de E dansF,F d´esignant un espace vectoriel norm´e.

D´emontrer que si, pour toutx∈A,f(x) =g(x), alorsf =g.

Exercice 3 : 36 banque CCINP

SoientE, F deux espaces vectoriels norm´es sur le corpsR.

1) D´emontrer que sif est une application lin´eaire deEdansF, alors les propri´et´es suivantes sont deux `a deux

´equivalentes :

P1. f est continue surE.

P2. f est continue en 0E.

P3. ∃k >0 tel que∀x∈E,kf(x)k_F 6kkxk_E.

2) SoitE l’espace vectoriel des applications continues de [0,1] dansRmuni de la norme d´efinie par :kfk_∞= sup

x∈[0,1]

|f(x)|. On consid`ere l’applicationϕdeE dansRd´efinie par :ϕ(f) = Z 1

0

f(t)dt.

D´emontrer que ϕest lin´eaire et continue.

Exercice 4 : 37 banque CCINP

On noteE l’espace vectoriel des applications continues de [0,1] dansR. On pose,∀f ∈E,N_∞(f) = sup

x∈[0,1]

|f(x)|etN1(f) = Z 1

0

|f(x)|dx.

1) (a) D´emontrer queN∞ et N1sont deux normes surE.

(b) D´emontrer qu’il existek >0 tel que, pour toutf deE,N1(f)≤kN_∞(f).

(c) D´emontrer que tout ouvert pour la normeN1 est un ouvert pour la normeN_∞. 2) D´emontrer que les normesN1 etN_∞ ne sont pas ´equivalentes.

Exercice 5 : 38 banque CCINP

On noteR[X] l’espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients r´eels.

On pose :∀P ∈E, N₁(P) =

n

X

i=0

|ai|etN_∞(P) = max

0≤i≤n|ai|o`u P=

n

X

i=0

a_iXⁱ avecn>degP. 1) (a) D´emontrer queN_∞ est une norme surR[X].

Dans la suite de l’exercice, on admet queN₁est une norme sur R[X].

(b) D´emontrer que tout ouvert pour la normeN_∞ est un ouvert pour la normeN₁. (c) D´emontrer que les normesN1et N∞ ne sont pas ´equivalentes.

2) On noteRk[X] le sous-espace vectoriel de R[X] constitu´e par les polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `ak.

On noteN₁⁰ la restriction deN1`a Rk[X] etN<sub>∞</sub><sup>0</sup> la restriction deN∞ `aRk[X].

Les normesN₁⁰ etN_∞⁰ sont-elles ´equivalentes ? Exercice 6 : 40 banque CCINP

SoitAune alg`ebre de dimension finie admettantepour ´el´ement unit´e et munie d’une norme not´eek k.

On suppose que∀(u, v)∈A²,||u.v||6||u||.||v||.

1) Soituun ´el´ement de Atel quekuk<1.

(a) D´emontrer que la s´erieX

uⁿ est convergente.

(b) D´emontrer que (e−u) est inversible et que (e−u)⁻¹=

+∞

X

n=0

uⁿ.

2) D´emontrer que, pour toutudeA, la s´erieXuⁿ

n! converge.

Exercice 7 : 41 banque CCINP

Enoncer quatre th´´ eor`emes diff´erents ou m´ethodes permettant de prouver qu’une partie d’un espace vectoriel norm´e est ferm´ee et pour chacun d’eux, donner un exemple concret d’utilisation dansR².

Les th´eor`emes utilis´es pourront ˆetre ´enonc´es oralement `a travers les exemples choisis.

Remarques

1) On utilisera au moins une fois des suites.

2) On pourra utiliser au plus une fois le passage au compl´ementaire

3) Ne pas utiliser le fait queR²et l’ensemble vide sont des parties ouvertes et ferm´ees.

Exercice 8 : 44 banque CCINP

SoitE un espace vectoriel norm´e. SoientAetB deux parties non vides deE.

1) (a) Rappeler la caract´erisation de l’adh´erence d’un ensemble `a l’aide des suites.

(b) Montrer que A⊂B=⇒A⊂B.

2) Montrer queA∪B=A∪B

Remarque: Une r´eponse sans utiliser les suites est aussi accept´ee.

3) (a) Montrer queA∩B ⊂A∩B.

(b) Montrer `a l’aide d’un exemple que l’autre inclusion n’est pas forc´ement v´erifi´ee (on pourra prendre E=R).

Exercice 9 : 45 banque CCINP

Les questions 1. et 2. sont ind´ependantes.

SoitE un espace vectoriel norm´e. SoitAune partie non vide deE.

On noteAl’adh´erence deA.

1) (a) Donner la caract´erisation s´equentielle deA.

(b) Prouver que, siA est convexe, alorsAest convexe.

2) SoitEun espace vectoriel norm´e. SoitAune partie non vide de E.

On pose∀x∈E, dA(x) = inf

a∈Akx−ak.

(a) Soitx∈E. Prouver quedA(x) = 0⇒x∈A.

(b) On suppose queAest ferm´ee et que,∀(x, y)∈E²,∀t∈[0,1],dA(tx+ (1−t)y)6tdA(x) + (1−t)dA(y).

Prouver queAest convexe.

1 Exercices

Exercice 10 :Soit (E,k k) un espace vectoriel norm´e. Montrer :

a) ∀(x, y, z, t)∈E⁴,kx−yk+kz−tk+kx−zk+ky−tk>kx−tk+ky−zk

b) ∀(x, y, z)∈E³, (x+y+z= 0)⇒ kx−yk+ky−zk+kz−xk> ³2(kxk+kyk+kzk).

Exercice 11 :SoitE=C¹([0,1],IR), on pose :

N(f) =

f²(0) + Z 1

0

(f⁰(t))²dt ¹2

Montrer queN est une norme surE et que∀f ∈E, kfk_∞≤√ 2N(f) Sont elles ´equivalentes ?

Exercice 12 : Sur E = IR [X], on d´efinit, pour P =

n

X

k=0

a_kX^k, N₁(P) = sup

0≤k≤n

(|ak|), N₂(P) =

n

X

k=0

|ak| et N3(P) = sup

t∈[0,1]

(|P(t)|).

1. D´emontrer queN₁, N₂et N₃sont des normes surE.

2. Comparer ces 3 normes.

Exercice 13 :Normes de polynˆomes

Soita∈IR. On pose pour P∈IR[X] : Na(P) =|P(a)|+ Z 1

t=0

|P⁰(t)|dt. Montrer que : 1) Na est une norme.

2) N0et N1 sont ´equivalentes.

3) Sia, b∈[0,1], alorsNa etNb sont ´equivalentes.

4) SoitPn= (X/2)ⁿ. D´eterminer pour quelles normesNa la suite (Pn) est convergente et quelle est sa limite.

5) Si 0≤a < betb >1 alors aucune des normesN_a,N_b n’est plus fine que l’autre.

Exercice 14 :Eest l’ensemble des fonctions f de classeC²sur [0,1] telles quef(0) =f⁰(0) = 0. Pourf ∈E, on pose :

N_∞(f) = sup

x∈[0,1]

|f(x)|, N(f) = sup

x∈[0,1]

|f(x) +f⁰⁰(x)|, N1(f) = sup

x∈[0,1]

|f⁰⁰(x)|+ sup

x∈[0,1]

|f(x)|.

1) Montrer queN_∞, N et N₁sont des normes surE.

2) Montrer queN_∞n’est ´equivalente ni `a N1ni `aN.

3) Montrer queN et N1 sont ´equivalentes (introduire l’´equation diff´erentielley⁰⁰+y=g).

Exercice 15 :SoitE unKespace vectoriel norm´eetF un sous espace vectoriel deE.

1) Montrer que, si

◦

F 6=∅, alorsF =E.

2) Montrer queF est un sous espace vectoriel deE.

En d´eduire qu’un hyperplan deE est soit ferm´e, soit dense.

Exercice 16 :SoitA une partie d’un espace vectoriel norm´eE.

Montrer que :

Aouvert⇔A∩F r(A) =∅ ; Aferm´e ⇔F r(A)⊂A

Exercice 17 :On poseE=C([0,1],IR) et on le munit de la normeN_∞. SoitF ={f ∈E/f(0) =f(1)}.

D´eterminer l’adh´erence et l’int´erieur deF.

Exercice 18 : Donner un exemple de partie A de IR tel que les sept ensembles suivant soient deux `a deux distincts :

A, A, A,˚ ˚A, A,˚ A,˚˚ ˚A

Exercice 19 :SoientE un espace vectoriel norm´e,Aune partie deE. Montrer que :A∪CEA=E.

Exercice 20 :SoitA∈Mp(IR). On suppose que la suite de matrices : A_n=I+A+A²+· · ·+Aⁿ converge vers une matriceB. Montrer queI−A est inversible, etB= (I−A)⁻¹.

Remarque : La r´eciproque est fausse, c’est `a dire que la suite (A_n) peut diverger mˆeme siI−Aest inversible.

Chercher un contre-exemple.

Exercice 21 :Addition de parties

Soient A, B deux parties non vides d’un evnE. On noteA+B={~a+~btq~a∈A, ~b∈B}. Montrer que : a) SiAouB est ouvert, alorsA+B est ouvert.

b) Si Aet B sont ferm´es, alorsA+B n’est pas n´ec´essairement ferm´e. (PrendreA={(x, y)∈IR² tqxy= 1}

etB={(x,0) tqx∈IR})

c) SiAet B sont compacts, alorsA+B est compact.

Exercice 22 :On munitMp(IR) d’une norme.

1) Montrer que si une matriceAdeMp(IR) est diagonalisable et que son spectre est dans ]−1,1[, alors la suite (Aⁿ)_n∈IN converge vers 0.

2) Montrer que le r´esultat reste vrai pour toute matrice trigonalisable dont le spectre est dans ]−1,1[.

Exercice 23 : Soient U et V deux ouverts disjoints d’un espace vectoriel norm´e. Montrer que

◦

U et

◦

V sont disjoints.

Donner un contrexemple lorsqueU etV ne sont pas ouverts.

Exercice 24 :On consid`ere une fonctionf d´efinie de IR dans IR continue, v´erifiant :

∀(x, y)∈IR² f

x+y 2

=1

2(f(x) +f(y)) 1) Montrer que l’ensembleD=n p

2ⁿ/ p∈Z, n∈INo

est dense dans IR.

2) Montrer que sif s’annule en 0 et en 1 alorsf = 0.

3) Montrer quef est une fonction affine.

Exercice 25 :SoitE =C⁰([0,1],IR) etF =C¹([0,1],IR). On d´efinitN1 etN2 les normes respectives surE etF par :

∀f ∈E N1(f) =kfk∞ , ∀f ∈F N2(f) =kfk∞+kf⁰k∞

On consid`ere l’applicationT deE dansF d´efinie par :

∀f ∈E , ∀x∈[0,1] T(f)(x) = Z x

0

f(t)dt Montrer queT est une application lin´eaire continue.

Exercice 26 :

SoitE= IR[X]. PourP ∈E, on pose :N1(P) = sup(|P(t)|tq 0≤t≤1),N2(P) = sup(|P(t)|tq 1≤t≤2) etϕ(P) =P(0).

1) V´erifier queN1 etN2 sont des normes.

2) Montrer queϕest continue pourN1.

3) Montrer queϕest discontinue pourN2. (Consid´ererPn(t) = (1−t/2)ⁿ) 4) N1et N2 sont-elles ´equivalentes ?

5) SoitO={P ∈E tqP(0)6= 0}. Montrer queO est ouvert pourN₁ mais pas pourN₂. Exercice 27 :

Soient Ket Ldeux compacts disjoints d’unK-espace vectoriel.

Montrer qued(K, L)>0.

Exercice 28 :F

Montrer que l’ensemble des polynˆomes r´eels de degr´enscind´es `a racines simples est une partie ouverte de Rn[X].

Exercice 29 :Th´eor`eme de Riesz

1) SoitF un sev de dimension finie et a∈E\F.

(a) Montrer qu’il existeb∈F tel queka−bk=d(a, F).

(b) En d´eduire qu’il existec∈E tel quekck= 1 =d(c, F).

2) Montrer que la boule unit´e deE n’est pas compacte.

Exercice 30 :Soient (E,k.k) un espace vectoriel norm´e,K un compact non vide deE etf :K→Ktelle que

∀(x, y)∈K², x6=y⇒ kf(x)−f(y)k<kx−yk a) Montrer qu’il existe un unique point fixecdef surK.

b) Soit (xn) telle quexn+1=f(xn) etx0∈K. Montrer que la suite (xn) converge versc.

Exercice 31 :Soit (E,k.k) un espace vectoriel norm´e. On consid`ereF une partie ferm´ee deE.

1) SoitKun compact de E.

Montrer queF+K={f+k /(f, k)∈F×K} est un ferm´e.

2) Donner un exemple de ferm´es de IR dont la somme n’est pas un ferm´e.

Exercice 32 :Montrer queOn(IR) est un compact de Mn(IR).