a pour but d'étudier le groupe G des endomorphismes orthogonaux de déterminant +1 d'un espace euclidien E de dimension 4 sur le corps R. Cette étude repose sur les propriétés des quarts de tours.

Énoncé

Ce problème

a pour but d'étudier le groupe G des endomorphismes orthogonaux de déterminant +1 d'un espace euclidien E de dimension 4 sur le corps R. Cette étude repose sur les propriétés des quarts de tours.

Les notations suivantes sont utilisées tout au long du problème. L'application identique de E est notée id et la matrice unité d'ordre 4 est notée I . Le produit scalaire de deux vecteurs x et y est notée x · y . L'ensemble des vecteurs normés est noté U . L'ensemble des bases orthonormées de E est noté B .

Vous pouvez vous dispenser de toute explication ou démonstration au sujet des assertions suivantes.

Un sous-espace vectoriel E

de E est dit invariant par l'endomorphisme orthogonal g si g(E

) = E

. Cette égalité est équivalente à l'inclusion g(E

) ⊂ E

car g est bijectif.

Si g laisse E

invariant il laisse aussi invariant son orthogonal E

et le déterminant de g est le produit des déterminants des restrictions à E

et à E

.

Étant données deux bases orthonormées, il existe un unique endomorphisme orthogonal qui transforme la première en la seconde.

Partie A. Les quarts de tour

Un endomorphisme orthogonal q est appelé quart de tour si q

= −id . On note Q l'ensemble des quarts de tour de E .

1. Démontrer qu'un quart de tour transforme tout vecteur x de E en un vecteur ortho- gonal à x .

2. Dans tout le problème, M désigne la matrice









0 −1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 −1

0 0 1 0









3. a. Soit q un endomorphisme de E dont la matrice dans une base orthonormée est égale à M . Démontrer que q est un quart de tour.

b. Si q est un quart de tour, on note B(q) l'ensemble des bases orthonormées de E dans lesquelles la matrice de q est M . Démontrer que pour tout u ∈ U , il existe b

, b

, b

tels que (u, b

, b

, b

) ∈ B(q) .

1d'après M1 CCP 1996

4. Soit q dans Q et u dans U . On note P le plan engendré par u et q(u) ; il est clair que (u, q(u)) est une base orthonormée de P .

a. Démontrer que le plan P est invariant par q . Quelle est la nature géométrique de la restriction de q à P ?

b. Si v est un vecteur normé dans P , il existe un nombre réel θ tel que v = cos θ u + sin θ q(u)

Quelles sont les matrices de passage de la base (u, q(u)) à la base (v, q(v)) et réciproquement ?

5. Soit q dans Q et α dans R : on pose

f = cos α id + sin α q

a. Démontrer que f est un endomorphisme orthogonal.

b. Démontrer que tout vecteur normé u est contenu dans un plan P invariant par f . Quelle est la nature géométrique de la restrictions de f à P ?

c. quel est le déterminant de f ?

Partie B. Orientations et commutations

Le fait que les endomorphismes orthogonaux aient un déterminant égal à 1 ou -1 permet de décomposer B en une réunion disjointe de deux sous-ensembles B

et B

de la manière suivante.

On choisit arbitrairement (e

, e

, e

, e

) dans B et on dénit B

comme l'ensemble des bases (g(e

), g(e

), g(e

), g(e

)) où g est un élément quelconque de G .

Le choix de la base (e

, e

, e

, e

) peut être compris comme celui d'une orientation de E comme cela se fait habituellement avec des espaces de dimension inférieure ou égale à 3.

L'objectif de cette partie est de démontrer les deux théorèmes suivants

Premier théorème L'ensemble B(q) déni en A.2.b est tout entier contenu dans B

ou dans B

.

On notera Q

l'ensemble des quarts de tour q tels que B(q) ⊂ B

et Q

l'ensemble des quarts de tour q tels que B(q) ⊂ B

.

Second théorème Tout élément p de Q

commute avec tout élément q de Q

(c'est à dire p◦q = q◦ p ) mais deux éléments du même sous-ensemble Q

ou Q

ne commutent pas sauf s'ils sont égaux ou opposés.

Les deux théorèmes seront démontrés simultanément.

1. Soient q ∈ Q et u ∈ U , soient (b

, b

, b

, b

) et (c

, c

, c

, c

) deux éléments de B(q) tels que b

= c

= u . Démontrer qu'ils sont tous les deux dans B+ ou dans B

.

Ceci justie la dénition d'une application S de Q × U dans −1, +1 qui à (q, u) associe +1 ou −1 selon que les éléments (b

, b

, b

, b

) de B(q) tels que b

= u sont tous dans B

ou tous dans B

.

S(q, u) est appelé le signe de q en u . On démontrera en B.7. que ce signe est en fait indépendant de u .

2. On va établir quelques propriétés de l'application S dénie au dessus.

a. Soient u et v deux vecteurs normés orthogonaux. Démontrer l'existence de quarts de tour q et q

tels que

q(u) = v et S(q, u) = 1 q

(u) = v et S(q

, u) = −1

b. Il est évident que −q est un quart de tour chaque fois que q en est un. Comparer S(q, u) et S(−q, u) .

c. Soit toujours (q, u) dans Q × U et v un vecteur normé dans le plan engendré par u et q(u) . Comparer S(q, u) et S(q, v) .

3. Dans les questions B.3. B.4. B.5, on considère deux quarts de tour p et q . On suppose connu S(p, u) et S(q, u) pour un certain u ∈ U et l'on cherche à savoir si p et q commutent.

Ici dans B.3, on traite le cas où p(u) = q(u)

a. Démontrer que ceci implique p = q si S(p, u) = S(q, u) .

b. Si au contraire S(p, u) = −S(q, u) , démontrer que E est somme directe ortho- gonale de deux plans P et P

invariants par p et q , tels que p(x) = q(x) pour tout x dans P et p(x) = −q(x) pour tout x dans P

. Les endomorphismes p et q commutent-t-ils ?

4. Soient encore p et q dans Q et u dans U . On suppose ici que p(u) = −q(u) . Énoncer des résultats analogues à ceux de B.3. (On pourra utiliser B.2.b)

5. Soient encore p et q dans Q et u dans U . On suppose la famille (u, p(u), q(u)) libre (hypothèse contraire à celle de B.3 et B4).

a. Démontrer qu'il existe (b

, b

, b

, b

) dans B(p) et (c

, c

, c

, c

) dans B(q) tels que b

= c

= u et b

= c

. Démontrer l'existence d'un réel α tel que sin α 6= 0 et que

c

= cos α b

+ sin α b

c

= ±(− sin α b

+ cos α b

)

Préciser le signe ± dans l'égalité précédente selon que S(p, u) et S(q, u) sont égaux ou opposés.

b. Comparer p(q(u)) et q(p(u)) lorsque S(p, u) = S(q, u) .

c. Lorsque S(p, u) = −S(q, u) , démontrer l'existence de vecteurs normés v tels que p(v) = q(v) . On pourra chercher un tel vecteur parmi ceux de la forme cos θ b

+ sin θ b

. Les endomorphismes p et q commutent-t-ils ?

6. Soient p et q deux quarts de tour qui ne commutent pas et u dans U . Comparer S(p, u) et S(q, u) .

7. La démonstration des théorèmes annoncés s'achève avec la démonstration du fait que S(q, u) ne dépend pas de u .

Pourquoi peut-on se limiter au cas où la famille (u, v, q(u)) est libre ? Dans ce cas, construire un quart de tour p tel que

S(q, u) = S(p, u) = S(p, v)

et utiliser B.6 pour comparer S(q, u) et S(q, v) .

Partie C. Les sous-groupes F

et F

On note F

(resp F

) l'ensemble des endomorphismes f de E qui peuvent s'écrire sous la forme

cos α‘, id + sin α q

où α est un nombre réel et q un élément de Q

(resp Q

). Le fait que F

et F

sont des parties de G a été démontré en A.4.

1. Démontrer que tout élément de F

commute avec tout élément de F

.

2. Soient u et v dans U . Démontrer l'existence de f dans F

et de f

dans F

tels que f (u) = f

(u) = v (ceci a déjà été prouvé lorsque u et v sont orthogonaux).

3. Soit F une partie non vide de G et u un élément xé dans U .

On note C(F ) l'ensemble des éléments de G qui commutent avec ceux de F ; C(F ) s'appelle le commutant de F dans G .

On dit que F est transitif à partir de u lorsque, pour tout v ∈ U , il existe f ∈ F tel que f (u) = v .

a. Démontrer que C(F ) est un sous-groupe de G .

b. Démontrer que si F est transitif à partir de u , deux éléments f

et f

de C(F ) tels que f

(u) = f

(u) sont nécessairement égaux.

c. On suppose que F et F

sont sous-ensembles de G transitifs à partir de u et que

tout élément de F commute avec tout élément de F

. Montrer que C(F ) = F

et

C(F

) = C(F ) .

4. Démontrer que F

et F

sont des sous-groupes de G . Démontrer que pour tout u et v dans U , il existe un unique f dans F

et un unique f

dans F

tels que f (u) = f

(u) = v .

5. Soit F

◦ F

le sous ensemble de G formé par les produits (commutatifs) d'un élément de F

et d'un élément de F

.

On veut montrer que F

◦ F

= G .

a. Soit (b

, b

, b

, b

) ∈ B

et q et q

les quarts de tour qui ont pour matrice M dans les bases (b

, b

, b

, b

) et (b

, b

, b

, −b

) respectivement. On pose

g = (cos α id + sin α q) ◦ (cos α id − sin α q

)

Démontrer que E est somme directe orthogonale de deux plans invariants par g . Quelles sont les restrictions de g à ces deux plans ?

b. On suppose qu'un élément g de G laisse invariant un certain u ∈ U . Montrer que g laisse invariants tous les vecteurs d'un plan contenant u et que g ∈ F

◦ F

. c. Montrer que tout élément g de G est dans F

◦ F

. On pourra montrer qu'il

existe f ∈ F

tel que f ◦ g laisse invariant un vecteur normé u .

6. Soit g ∈ G et (ϕ, ψ) ∈ F

× F

tels que g = ϕ ◦ ψ .On veut trouver tous les couples (f, f

) ∈ F

× F

tels que g = f ◦ f

.

Il est clair que l'on obtient un tel couple en posant f = ϕ ◦ h et f

= h

◦ ψ avec h ∈ F

∩ F

.

a. Quels sont les éléments de cette intersection ?

b. Quels sont les couples (f, f

) ∈ F

× F

tels que g = f ◦ f

?

Corrigé

Corrigé de l'épreuve M1 CCP 1996

PARTIE A : Les quarts de tours

1. Un quart de tour q est orthogonal donc x · q(x) = q(x) · q ◦ q(x) = −q(x) · x ce qui montre que x et q(x) sont orthogonaux.

2. a. On vérie facilement sur la matrice les deux propriétés : q est orthogonal et q

= −Id .

b. Il s'agit de construire une base. Le vecteur u ∈ U est donné, on pose b

= u, b

= q(u)

Alors Vect(b

, b

) puis Vect(b

, b

)

sont stables par q . On choisit un b

unitaire quelconque dans Vect(b

, b

)

et on pose b

= q(b

) La famille (b

, b

, b

, b

) ainsi construite est une base orthogonale dans laquelle la matrice de q est M .

3. a. L'invariance globale de P = Vect(u, q(u)) est évidente. La matrice dans (u, q(u)) de la restriction de q à p est

0 −1

1 0

Cette restriction est donc une rotation d'angle

ou −

suivant l'orientation du plan. Si on décrète que (u, q(u)) est directe, l'angle est

.

b. Dans le plan P orienté en décrétant que (u, q(u)) est directe, le nombre θ est l'angle orienté entre u et v . On passe de (u, q(u) à (v, q(v)) par une rotation d'angle θ et de (v, q(v)) à (u, q(u) par une rotation d'angle −θ . Leurs matrices sont respectivement

cos θ − sin θ sin θ cos θ

,

cos θ sin θ

− sin θ cos θ

4. a. Vérions que f conserve le produit scalaire :

f (x) · f (y) = cos

α x · y + cos α sin α(x · q(y) + q(x) · y) + sin

α q(x) · q(y)

= x · y

car x · q(y) = q(x) · q

(y) = −q(x) · y et q(x) · q(y) = x · y

b. Notons P le plan engendré par u et q(u) . Il contient u , il est invariant par q donc aussi par f . Comme par dénition

Mat

(u,q(u))

f =

cos α − sin α sin α cos α

la restriction de f à P est une rotation. Son angle est α lorsque l'on a décidé que (u, q(u)) est directe.

c. Comme f est orthogonale, P

est aussi stable par f . La restriction de f à P

est encore une rotation. Dans une base orthogonale dont les deux premiers vecteurs forment une base de P et les deux suivants une base de P

, la matrice de f est diagonale par blocs. Son déterminant est le produit des déterminants des matrices 2,2 de la diagonale. Chacun de ces petits déterminants vaut 1. Le déterminant de f est donc 1.

PARTIE B : Orientations et commutations

1. Ici u est donné dans U , les bases (b

, b

, b

, b

) et (c

, c

, c

, c

) vérient b

= c

= u, b

= c

= q(u)

b

∈ Vect(b

, b

)

et b

= q(b

) c

∈ Vect(c

, c

)

et c

= q(c

) L'important est

c

∈ Vect(c

, c

)

= Vect(c

, c

)

Ceci entraîne l'existence d'un θ tel que

c

= cos θ b

+ sin θ b

Alors

q(c

) = c

= cos θ b

+ sin θ q(b

) = cos θ b

− sin θ b

On en déduit que la matrice de passage de (b

, b

, b

, b

) vers (c

, c

, c

, c

) est









1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ









Le déterminant de cette matrice de passage est +1 , les deux bases ont la même orien- tation.

2. a. À partir de deux vecteurs u , v normés et orthogonaux, on peut former deux bases orthonormées (u, v, w, s) et (u, v, w, −s) . L'une est directe, l'autre est indirecte (savoir laquelle est sans importance). On supposera par exemple (u, v, w, s) directe et (u, v, w, −s) indirecte. On dénit q et q

par

q(u) = v, q(v) = −u, q(w) = s, q(s) = −w q

(u) = v, q

(v) = −u, q

(w) = −s, q

(−s) = −w

ce qui assure que les matrices de q dans (u, v, w, s) et de q

dans (u, v, w, −s) sont

toutes les deux 







1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 −1

0 0 1 0









Ainsi S(q, u) = +1 , q ∈ Q

et S(q

, u) = −1 , q

∈ Q

.

b. Soit (b

, b

, b

, b

) ∈ B(q) . La matrice de −q dans (b

, −b

, b

, −b

) est M . Les bases (b

, b

, b

, b

) et (b

, −b

, b

, −b

) ont la même orientation. On en déduit S(q, u) = S(−q, u) .

c. Soit v ∈ Vect(u, q(u)) et w ∈ Vect(u, q(u))

. Il existe θ tel que v = cos θ u + sin θ q(u) donc q(v) = − sin θ u + cos θ q(u) . De plus

w ∈ Vect(v, q(v))

= Vect(u, q(u))

Ainsi, (u, q(u), w, q(w)) et (v, q(v), w, q(w)) sont deux bases dans B(q) . La matrice de passage de la première vers la seconde est









cos θ − sin θ 0 0 sin θ cos θ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1









son déterminant est 1, les deux bases ont la même orientation : S(q, u) = S(q, v)

3. a. Ici, p et q sont deux quarts de tour tels que p(u) = q(u) et que S(p, u) = S(q, u) , on veut montrer que p = q .

Soit v unitaire dans Vect(u, p(u))

= Vect(u, q(u))

. Alors (u, p(u), v, p(v)) ∈

B(p) et (u, p(u), v, q(v)) ∈ B(q) . Le dernier vecteur p(v) ou q(v) est orthogonal

aux trois premiers donc p(v) et q(v) sont colinéaires. Comme ils sont unitaires, ils sont égaux ou opposés. De plus, les bases (u, p(u), v, p(v)) et (u, p(u), v, q(v)) ont la même orientation car S(p, u) = S(q, u) donc p(v) = q(v) . Les endomorphismes p et q ont la même matrice M dans la même base (u, p(u), v, p(v)) , ils sont donc égaux.

b. Lorsque S(p, u) = −S(q, u) , en reprenant les notations et le raisonnement du a. ;, il vient p(v) = −q(v) . Il est alors clair que P = Vect(u, p(u)) et P

= Vect(u, p(u))

= Vect(v, p(v)) conviennent. En décomposant dans P ⊕ P

, on montre facilement que p et q commutent.

4. Ici, p(u) = −q(u) , posons q

= −q , c'est un quart de tour et p(u) = q

(u) ce qui permet de se ramener à la question précédente en utilisant 2.b.

si S(p, u) = S(q, u) = S(q

, u) alors p = q

= −q

si S(p, u) = −S(q, u) = −S(q

, u) , p commute avec q

= −q donc aussi avec q . 5. a. Ici, p et q sont des quarts de tours et (u, p(u), q(u)) est libre

. Considérons un

vecteur unitaire v ∈ Vect(u, p(u), q(v))

(il en existe exactement deux). Alors v ∈ Vect(u, p(u))

et v ∈ Vect(u, q(u))

donc (u, p(u), v, p(v)) et (u, q(u), v, q(v)) sont dans B(p) et dans B(q) respectivement.

Par conséquent, (b

, b

, b

, b

) = (u, p(u), v, p(v)) et (c

, c

, c

, c

) = (u, q(u), v, q(v)) répondent à la question. De plus, comme

c

= q(u) ∈ Vect(u, v)

= Vect(b

, b

)

= Vect(b

, b

) il existe α tel que c

= cos α b

+ sin α b

.

De même, c

= q(v) est orthogonal à c

= b

et à c

= b

donc c

∈ Vect(b

, b

) . Dans ce plan, c

est orthogonal à c

et unitaire, il est donc de la forme

ε(− sin α b

+ cos α b

) avec ε ∈ {−1, +1} .

La matrice de passage de (b

, b

, b

, b

) vers (c

, c

, c

, c

) est









1 0 0 0

0 cos α 0 −ε sin α

0 0 1 0

0 sin α 0 cos α









son déterminant est ε donc

2Attention à ne pas confondre analyse et synthèse. Dans cet interminable problème, je pense que le correcteur sera reconnaissant envers le candidat qui ne rédige que la synthèse.

ε = 1 si S(p, u) = S(q, u) ε = −1 si S(p, u) = −S(q, u)

b. Ici on suppose S(p, u) = S(q, u) . En conservant les notations de la question pré- cédente on a

c

= b

cos α + b

sin α c

= −b

sin α + b

cos α

b

= c

cos α − c

sin α b

= c

sin α + c

cos α

alors (rappelons que b

= c

etb

= c

)

p(q(u)) = p(q(c

)) = p(c

) = p(b

) cos α + p(b

) sin α

= −b

cos α − b

sin α q(p(u)) = q(b

) = q(c

) cos α + q(c

) sin α = −b

cos α + b

sin α

Ici sin α 6= 0 sinon c

= p(u) = ±b

= ±q(u) en contradiction avec (u, p(u), q(u)) libre, donc p(q(u)) 6= q(p(u)) .

Lorsque (u, p(u), q(u)) libre et S(p, u) = S(q, u) , p et q ne commutent pas.

c. Ici on suppose S(p, u) = −S(q, u) . Ecrivons les relations de 5.a. puis inversons les pour exprimer b

et b

. On obtient

b

= cos α c

+ sin α c

b

= sin α c

− cos α b

Considérons un vecteur v de la forme

v = cos θ b

+ sin θ b

= cos θ c

+ sin θ c

alors

p(v) = cos θ b

+ sin θ b

q(v) = cos θ c

+ sin θ c

= (cos θ cos α + sin θ sin α)b

+ (cos θ sin α − sin θ cos α)b

= cos(α − θ) b

+ sin(α − θ) b

) b

Si on choisit θ =

alors α − θ = θ =

donc p(v) = q(v) . Ceci démontre l'existence d'un vecteur v tel que p(v) = q(v) lorsque S(p, u) = −S(q, u) .

Le résultat des questions B.3.a. et b. est que : si pour un certain vecteur v p(u) =

p(v) , alors p et q commutent toujours. On déduit de de B.5.c. que : si (u, p(u), q(u))

est libre et que S(p, u) = −S(q, u) alors p et q commutent

6. Résumons les résultats des questions précédentes B.3. ∃u tel que p(u) = q(u) ⇒ p et q commutent.

B.4. ∃u tel que p(u) = −q(u) ⇒ p et q commutent.

B.5. ∃u tel que (u, p(u), q(u)) libre ⇒

si S(u, p) = S(q, u) alors p et q ne commutent pas.

si S(u, p) = −S(q, u) alors p et q commutent.

Supposons que p et q ne commutent pas. Les questions B.3. et B.4. montrent que q(u) 6= p(u) et q(u) 6= −q(u) . A cause des propriétés du quart de tour, on doit alors avoir (u, p(u), q(u)) libre et B.5. entraîne S(p, u) = S(q, u) .

Conclusion Si p et q ne commutent pas, S(p, u) = S(q, u) ou S(p, u) = −S(q, u) entraine p et q commutent.

7. On veut montrer S(q, u) = S(q, v) . Lorsque v ∈ Vect(u, q(u)) on l'a déjà fait en B.2.c..

Supposons donc v 6∈ Vect(u, q(u)) c'est à dire (u, v, q(u)) libre.

Considérons un vecteur w orthogonal à v dans Vect(u, v) . On a alors Vect(u, v) = Vect(v, w) . Complétons (v, w) en une base orthonormée (v, w, s, t) de même orientation qu'une base de B(q, u) . C'est possible en remplaçant au besoin le dernier vecteur par son opposé.

Dénissons un quart de tour en posant

p(v) = w, p(w) = −v, p(s) = t, p(t) = −s

de sorte que (v, w, s, t) ∈ B(p) . Par construction de la base, S(p, v) = S(q, u) . Comme u ∈ Vect(u, p(w)), S(p, u) = S(p, v) . On a donc bien fabriqué un quart de tour p tel que S(q, u) = S(p, u) = S(p, v) .

Achevons de montrer que S(q, u) = S(q, v) . Comme S(q, u) = S(p, v) , trois cas sont possibles :

p(u) = q(u), p(u) = −q(u), (u, p(u), q(u))libre

Les deux premiers cas conduisent à p = ±q alors S(q, u) = S(p, u) donc S(q, u) = S(q, v) Dans le troisième cas, d'après B.5., p et q ne commutent pas. Alors, d'après B.6., pour n'importe quel vecteur de U (en particulier v ) : S(q, v) = S(p, v) . On en déduit S(q, u) = S(q, v) ce qui démontre le premier théorème.

Démontrons le deuxième théorème en notant S(p, u) = S(p, v) = S(p) .

Soit p ∈ Q

et q ∈ Q

alors S(p, u) = −S(q, u) et B.3.+B.5.c. entraînent que p et q commutent.

Soit p et q distincts dans Q

ou Q

c'est à dire S(p) 6= S(q) . Il existe un u unitaire tel que p(u) 6= q(u) . D'après B.4., p = −q si p(u) = −q(u) . Sinon (p(u), q(u)) est libre et p(q(u)) 6= q(p(u)) c'est à dire que p et q ne commutent pas.

PARTIE C : Les sous groupes F

et F

1. Evident d'après les théorèmes de la partie B.

2. Considérons une base orthonormée directe (u

, u

, u

, u

) avec u

= u et v ∈ Vect(u

, u

) . Il exsite un α tel que v = cos α u

+ sin α u

. Dénissons q ∈ Q

en posant

q(u

) = u

, q(u

) = −u

, q(u

) = u

, q(u

) = −u

La fonction f = cos α Id + sin α q ∈ F

convient. On fait de même avec la base orthonormée indirecte (u

, u

, −u

, u

) en dénissant q ∈ Q

et f

= cos α Id+sin α p ∈ F

3. a. On vérie que C(F) 6= car il contient Id et qu'il est stable par composition et inversion.

b. Soit f

et f

dans C(F ) tels que f

(u) = f

(u) . On suppose F transitif à partir de u et on veut montrer que f

= f

.

En eet, pour tout v unitaire, il existe f ∈ F tel que f (u) = v alors f

(v) = f

◦ f (u) = f ◦ f

(u) = f ◦ f

(u) = f

◦ f (u) = f

(v) par linéarité, on en déduit l'égalité pour tous les autres v .

c. On suppose que F et F

sont transitifs à partir de u et qu'ils commutent. Ceci entraine immédiatement F ⊂ C(F

) et F

⊂ C(F ) . Pourquoi C(F) est-il inclus dans F

?

Soit f

∈ C(F) , il existe f

∈ F

tel que f

(u) = f

(u) . Comme F

⊂ C(F) , f

et f

sont deux éléments de C(F ) égaux en u . D'après la question précédente, ils sont égaux partout d'où f

∈ F

4. D'après C.1., tout élément de F

commute avec tout élément de F

. D'après C.2., F

et F

sont transitifs. On en déduit alors d'après C.3.c. que F

= C(F

) et F

= C(F

) . Ces relations montrent que F

et F

sont des sous-groupes.

Pour u et v donnés dans U , on a déjà montré l'existence de f et f

tels que f (u) = f

(u) = v . L'unicité est une conséquence de C.3.b.

5. a. Comme Vect(b

, b

) et Vect(b

, b

) sont invariants par q et q

, ils le sont aussi par g . En faisant les calculs avec les matrices 2,2, on trouve que la restriction de g à Vect(b

, b

) est Id et que la restriction de g à Vect(b

, b

) orienté de manière à ce que (b

, b

) soit directe est la rotation d'angle 2α

b. Soit g ∈ G tel que g(u) = u , l'espace de dimension 3 orthogonal à u est alors

stable par g . La restriction à cet espace de g est orthogonale et de déterminant 1,

c'est donc une rotation. Elle admet un axe Vect(v) . Tous les vecteurs de Vect(u, v) sont alors invariants par g .

La question 5.a. montre qu'il est possible de d'écrire g sous la forme g = (cos α Id + sin α q) ◦ (cos α Id − sin α q

) ∈ F

◦ F

c. Soit g ∈ G et u ∈ U , comme F

est transitif, il existe f ∈ F

tel que f(g(u)) = u . D'après 5.b., il existe f

∈ F

et f

∈ F

tels que f ◦ g = f

◦ f

donc g = f

◦ f

◦ f

avec f

◦ f

∈ F

et f

∈ F

6. a. Supposons h = cos α Id + sin α q = cos β Id + sin β p avec q ∈ F

et p ∈ F

. Formons des équations vériées par h : sin α q = h − cos α Id donc

sin

α q

= − sin

α Id = h

− 2 cos α h + Id

donc h

− 2 cos α h + Id = o

. De même, h

− 2 cos β h + Id = o

. On en déduit cos α = cos β , sin α = ± sin β . Mais alors (sauf si sin α = sin β = 0 ) q = ±p ce qui est impossible pour p ∈ Q

et q ∈ Q

. La seule possibilité est donc sin α = sin β = 0 c'est à dire h = ±Id

b. Si g = f

∈F⁺

◦ f

∈F⁻

= ϕ

∈F⁺

◦ ψ

∈F⁻

, posons h = ϕ

◦ f . Il appartient à F

. Alors ϕ◦ h◦ f

= ϕ◦ ψ donc h◦ f

= ϕ◦ ψ , h = ψ◦f

∈ F

donc h ∈ F

∩F

= {±Id} . Finalement g se décompose seulement de deux manières

g = f ◦ f

= (−f ) ◦ (−f

)