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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Doyen, J. (1970). Sur les systèmes de Steiner (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles. Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/214951/2/64ce30d2-81eb-4173-9e38-f4255642631f.txt
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■ ■■ ‘,1 iriuüi
^ ET bc hir6iüüL ’ .
UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES
Faculté des Sciences
3 SSS j ‘K
SUR LES SYSTÈMES DE STEINER
DEUXIÈME PARTIE
Thèse présentée en vue de l’obtention du grade de Docteur en Sciences mathématiques
(Grade légal)
Jean DOYEN
BIBLIOTHÈQUE DE MATHÉMATIQUES .... ET JE PHYSIQUE
ÜWÏI'ERSÏTE LIBRE VE BRUXELLES fÂCULTE VcS SCÎEWCES
ÈHP i'/9. /
Vaf. %
Süî? LES Si^STEMES 9E S TE'/ME R lVe,axi^wi.z pasttLz)
Tkè^ê. pftd&mtîz en vae de.
Z*obtention du. g^tade de Poct&iîÂ.
en Sciences Matk&m&tiqazé .
iGM.de lig&t) »
DEUXIEME PARTIE
101.“
CHAPITRE VIIO CONSTRUCTIONS UE S(2,<1b(i^) NON ISOMORPHES
7olc Introd^totion et historiqueo
7ololo Dana toua les problèmes combxrxatoiresp dès qu’on a établi
1‘exietence d.'^un "arrangement” satiafaieant à des conditions
donnéesÿ le problème a© pose de calculer le nombre de façons
différentes de réaliser cet arrangement,. En généralp dans
l’état actuel des connaissanceso ce second problème ne peut
être mené à bien que ai la solution du problème d'existence
était triviales sinon il devient très vite impraticableo
C’est malheureusement le cas pour les designs et la détermi»
nation du nombre d© sCtt^k^n ; X) deux à deux non isomorphes
présente d''énormes difficultésp si bien que pendant longtemps»
on a obtenu très peu de résultats dans cette voisc.
Mais depuis quelques années» ces recherches connaissent
i,in regain d’intérêt, en raison notamment de leurs applica
tions en statistique c Un passage d’xane lettre de Clatworthy,
qui s’occupe activement de cos questions» vaut la peine
d’être cité s ”«co At that time (l964), there was very little
publishing activity on the topic of isomorphiam The evidence
pointed out to the conclusion that a study of isomorphism
(or its opposite) was too mess,y and too difficvilt for mathe-
matioianso In the meantime I had become piqued by the
102
faj.lur©8 of publishere of research on BIB designs to infonn
their readers ata to whother their new conatractions wer© in
fact. different from the ones that wer© already knownr Alaop as
a B i.atiatician, I felt etrongly that when we recommond a BIB
design to a user we should et least hev© somo idoa sa to wether
choices are availabl© to us for a given sot of peramoters,^^”
J.>a douxièrao partie de notre travail est une contribution à
étude de ce problèmeo
7 12, Nous désignerons par N(t(,kjn ; X ) le nombre do t-designs
s(t_ki,n ;X ) deux à deux xion isomorphes et nous poserons
NCtck^n ; l) * KCtsk^n).,
Voici une liste des principaux renaeignemonts qu"on possède
actuellement sur la fonction NCtjk^n ;
X
) (nous avons exclu lecas où t * 2p k » 3 et
X
» It, qui sera examiné plus on détail®dans le chapitre suivant) s
a) y Barrau £22^ a prouvé ©n 1908 que
N(5,4f,8) « 1
et N(354plO) N(4,5,11) * N(5„6A2) « 1
Ce résultat oet généralement attribué è Witt [[523^ qui l a
démontré indépendamment on 1938^ en même temps que lee égalités
suivantes : n(3:,5j17) « 1
et n(3..6,22) ^ «(4,7,23) « N(5.,8,24) » 1
103c“
systèmes de Steiner associés aux 5 groupes de Mathieu a été
donnée récemment par Lüneburg [l87] .
Lüneburg a aussi montré q.ue N(3,49 32) ^2 et Rokowska
[[24ÎI a affirmé (sans démonstration) que isi,3»4g22) ^2, Signa
lons enfin une conjecture de Baye et de Week » selon laquelle
N(394»14) 2c
b) t « 2 „
X>1,
Les égalités et inégalités suivantes ontété établies par Husain ^1^3^ en 1945 (voir aussi B^zrau ^6^ 9
104.
par Bhat et Shrikhande f]4Xj en 1969 :
N(2,8,16 ; 7) ^ 51 N(2,11^23 ; 5) ^ 8 n(2,15,31 I 1) '^22 n(2,31.63 ; 15) ^ 20 par Bhat Î4C^ en 1969 : N(2„5.10 î 4) ^ 6 N(2,6,12 ; 5) ^ 31 N(2s9,19 Î 4) ^ 4 N(2,10,20 ; 9) 14 N(2,19^39 î 9) 16
enfin par Clatworthy (oommtmlcation pereonnelle) on 1969 :
N(2,4,13 ; 2) ^ 17
N(2,llp23 ; 5) ^ 7
c) t g 2 P
X
«s lo De nombreux travaux ont été consacrés aux2 2
systèmes s(2pk»k ) et 8(2, k + 1, k + k + l)f c^est-à-dire
aux plans affins et projectifs finies pour lesquels on a
N(2, k, k^) ^ N(2p k + Ip k^+ k + l)
Mac Innés []l89]| a montré en 1907 que
U(2p2p4) = N(2p3f7) » 1 N(2,3,9) = N(2p4pl3) = 1
N(2p4o16) » H(2p5„2l) == 1
10^ “
On a aussi (Bose et Nair ^55^ a Hall [l29] o Pickert ^226^ )
N(2,7,49) = N(2,8,57) « 1
et (Halla Swift et Walker £l4l3 )
N(2a8a64) =» N(2,9a75) == 1
Les égalités et inégalités mentionnées jusqu'*à présent sont
relatives à. des voleurs particulières des paramètres tsk^n^X »
En faite les seuls résultats généraux dont on dispose sont les
suivants ;
1) N(2e q» q^) > N(2e q + le q + l) ^ 2
pour tout q«p ;^9eOùp est \m nombre premier ©t (X 2 c
Pour certaines valeurs de q^ cette borne inférieure peut encore
être améliorée ; ainsi n(251O091) ^4 (pour plus d© détails»
voir Hall [l35^ et Dembowski ^99^ ) o
2) N(2, 2^» 2^(2^ ^ ^ - l)) ^ 2 pour r =* 4 et pour tout
r ^ 6 (Croudarai ^125^ o 1967 ) «
3) Si q^7 est vin© puissance de nombre premier et si
q=3 (mod 4)» n(2» (q+l)/2 , q+1 ; (q»l)/2 ) ^2
(Bose f50] 8 1947)e
4) q étant \me puissance de nombre premier,,
N(2j q+1 P (q^^^-l)/(q-“l) ) ^2 pour tout r;^3„
De plus» q étant fixé, K(2» q-i-1 » (q^^^"l)/(q=l) ) tend vers
106.”
5) q. éteint xme puissanc® de nombre premiers W(2s q^)^2
pour q^4 et r^4s ainsi que pour q^7 et r^3. De pluso
q‘^4 étant fixé? N(2s q. q^) tond vers 1“infini avec r (Shat
[39] s 1969).
7olo3o Dans le présent chapitref nous nous proposons de compléter
et d“sunéliorer ce dernier résultat : en utilisant des techniques
tout à fait différentes de colles de Bhat (qui nécessitent au
moins 4 points sur chaque droite)5 nous allons établir deux
théorèmes ;
Théorème A. Si p est im nombre premier impair
N(2„ p, p"") 3
pour tout r;^3o De plue5 p étant fixé» K(2, pp p^) est une
fonction convexe de r (noue entendons par là que
N(2, p,
» N(2,
p,
^ N(2,
p, p-"^^) - N(2, p, p"")
pour tout r^l) ; cette fonction est croissante et tend vers
l'infini avec r. .
La démonstration du théorème A est basée sur une construction
nouvelle de systèmes transversaux (au sens de Hanani)^
Théorème Bo Si q 9 est une puissance de nombre premier
*vocD<.'^25 N(2i, q, q^) > q^ ^ pour tout
Nous montrerons aussi que N(2o 4^ 4"^ ) ^ 2. Cea résultats «
Théorème. c3_ étaj-it i.îne puissance d O nom b r e p rem i e i'
w(2, q, q"";
pour q,>>? et De pluo.., q ^3 étant f.ixé,. N*’2, Z q
tond VQxs 1. ''Infini avec x-■,
1 ■■ Svst.re.KjgygyGftnj.x
7.-2 ,1.0 Soient E. (a - 1,. , m) m snsenîbj.ee non vides d'i.3'ioxn.!-a
deux à deux don't les élémanta aont .uppelés pointe > et T un.
ensoinble de parties de E - E„ U K,., y » o îi E satiefaisan i; aux
J. 2 m
conditionf3 eui^smteo
(i) tout é.lémfmt de T a un Gt un ^3eul point corninuxi avec
ohacun dos E.
X
(ii) toute paire de pointa de E n■ appai'teaant pas a<i inume
E. eot contenue dans un e-t: un seul éJ.émsnt de T .■ X
Reprenant 1®. déflnxtjon donnée en i960 par Hanani |39l •
nou.3 dirons q-ue T apt un gyntèmo transversal (ou im Tr-.s.v;atèmo
do E„ P E^ ,, .0 c „ E et nous la xxotarons 'i\E, ■. E„ . , o o E )
12 in 1 2 ' m
Poux' que T ox:iato., il faut évideruuent aue tous iarx S, aient- i
le m&mo cardinalo oe que nous supposerons doi'-éno.vnnt ^ Si les
E^ 6on> de cardinal fini tf le système transversal ‘.C contient
2 «="•
exactement. f él,ét2;oïit6 at es J' noté ï | ta, t J p'ar Kanuni
Tout système tx'anavsrsal 'r''(E„‘j E i ,, p . E') où SCf E.
J. 2 ' m X "■ X
(l If, O .1 rn,) et T' S T . est appelé un soua-- syntèae de î.
Nous allone cone.idérei' d''abox'd im cas part Seul rver de
syotèmo t.ranBvarsal que noua utillgérons don»j le prochain
108.-o2o2o Tout eyotèrae transversal ^2*’ ^5^
tri cover do iS^j s (Port ot Hedlund |j).2oj ) ; de to3.e
systèmes avaient déjà été étudiés on 1895 par Moore ^^9TJ o
Un OOU3 "-tricover de T est évidemment xin sous ^système d© T»
Soit U un groupe additif (abélien ou non) ayant le môme
cardlneû. que B_ , s E et désignons par X_e X„?X_ des
bijeotiona appliquant respectivement E^, 5 E^ ©ur Go II est
facile de vérifier que l^encerablo T de toutes les parties de E
de la forme ^ o^ ,, où les O. sont dos éléments do B.
X X
tels que
^1^®1^ ®
est un tricover do E^3' 3
E, O Bous dirons que T est \in
G-triepyer do E^, r E^, relatif à X23 ■.
Théorème le Soit ^2'’ ^3^ ^ G'-tricover de E^. E^ 5 E^ f
relatif à X, r X„, X, . Si T^'(E’ B', E ’ ) , où
E-(i rr 1.293)5 est un sous-trioovor de T. alors X^(B^), X^Cb^),
X sont des classes latérales do sous-grovipes de G.
Démonstration» Il résulte immédiatement de© hypothèsao que
les parties A. »
X
.(E?) (i 3 l.,2,3) du groupe G jouissentXXX
d© la propriété suivant© ; si on «e donne deuxe éléments
g^gAi 5 avec i^ O9 il existe \m (avec ifj)
tel que la somm© des éléments g. 9 g.,- g pris dans l'ordre
X ^ il
d'indices croissants est nulleNous allons montrer que A^ est
une classa latérale (la démonstration est analogue pour A^
103
Considérons un élément g £ * Il oet évident que les parties
A” A, + (-g)> A' * g + 5 A* = A_ de G- jouissent de la
même propriété que A^- Ag f A^ o Remarquons que 0€A^r Soient
Xsjr deux éléments de A^ (distincts ou non)» Prenons vin élément
*2 ^ ^2 soit a^ 1 ^ élément de A^ tel que O + a^ + « 0,,
Il existe alors successivement un 6 A^ tel que x 0,
un bg6 A^ tel que y + b^ + b^ ■= 0 et ixa a tel que
a -!• bg + a^ « 0» Les deux premières égalités donnent x * b^+ a^
et les doux dernières a « bg « - a^ ->■ b^ + y, d‘où
a « - X + y» Comme s€A^» il s’ensuit que A£ est un sous-groupe
de G J donc que A^ s» + g est une classe latérale d’un
soua-groupe de G»
Une démonstratxon de ce théorème dans le cas particulier où
les sont de cardinal fini t.» où G est la groupe cyclique
additif des entiers modulo t et où les E? sont de cardinal 2
X
avait déjà été donnée en 1893 par Moore [l93o PP-- 277-278^ :
elle était difficilement généralisable et la nôtre en est tout
à fait différente»
Corollaire 1» Si les sont de cardinal fini t et ai
T , E^) ©et Tan soua-tricover du G-tricovar
le cardinal t' des B] est un diviseur de t» i
7..2c3" Nous allcns décrire à présent une construction (qui ne semble
pas connue) d‘un système transversal T(E_ , E_ , » » » j, E ) dans
12 m
où t est premier avec chacun des entiers positifs inférieurs
à ffio d' où ii découle que t est impair et que t m 1 ou t>mo
Soit
G-
un groupe gbélien additif d’ordre t. Désignons par X(i !s l,.ooi,m) une bijsction appliquant sur Gj et considérons
1‘ensemble T de toutes les parties de E = B. U . . <■ U B de
12 m r y la forme ®2 ® ° ° ° ^ ®i^ ^i m -- 2 égeJ-ités
X,(oJ
0 (ô — 35'’<’®S®}( [^xj représente 1© plus grand entier contenu dans x)» Pour
démontrer que T est vai système tronsversal de B, c E_ ^ , B „
12' m
il suffit clairement de vérifier que; sous les hypothèses
énoncées plus hautp le système
Xi + Xg + x^ = 0 x„ -f X, « 0 2 4 ^*1 ='2 = 0 Xj + = O 5*1 + *2 * *7 = 0 3x- Xg + Xq » 0 9 * •
Tm « iT
/ , •km-’l
„
t‘^~J*l *
*2 ♦
°
cto, X ê G admet m ^de m 2 équations à m inconnues x^a Xg a
un© et une seule solution dès qu’’on fixe les valeurs de deux
Côtto vérification est aisée ; en effet, si les valeurs de
deux des inconn^ies Bout fixôOB, la résolution d© ce système pexit
ee ramener à la résolution d“un systèmo de m “ 2 équations à
m -- 2 inconnues,, chacune des équations de ce nouveau système
étant du type n.x. » g.. , où g., est un élément de G et n. un
X X X
entier positif tel que n.^2 ra-1 )/^l < Par hypothèse, n. est
donc premier avec 1®ordre d© G et la mu3,tiplication par n. est X
tin© permutation des éléments d© G ; on en déduit que chacune de
ces m ” 2 équations a xm© ©t un© seule solutiono
Nous dirons qxia 1© système transversal T construit de cette
mamiôre est un G-^systèm© transversal do g O O O »> E
m relatif
à X-,? ^2^ ° m
Théorème 2 o Si T(B.^ , , o o ^, B^) est un G-systèm© transversal
\
relatif à A, » fl O O 0 O et si G_ est un sox’.e-'groupe de G„
m 1
1© système transversal T contient un sous-systèmo T'’(B£,
E') . où E‘ * X“^(G ).
lü 3. J»
La dômonatration n© présente aucun© difficulté..
Théorème 3o Si T(E., « B , »<>., B ) est un G-aystèmo transversal
X ^ 3 X.
relatif ù ^, ‘l'i» ^ o p ^ o,
m ©t ei T contient un sous-systèmo
T*(Bj, .,o
groupe do G»
B')» X T (B_0 est une classe latérale d‘'un sous=
m 11
Déaonat rat ion c Pour tout élément X". (ô = Ijoocst”) d© T, posons
X ' = X” • O U Leneembl© dos X- G-sj’-atèm©
transversal T (B_ . E_ ) relatif à X_ ,
X, , X _
15,2.“
contient un Goue-eystème T‘(E£, , E,^). T est 1 ’ ensemble de
toutes les parties de ^ ^5 ®2 ' ®3 ^ ’’
où les Gont doe éléments de E^ (i *; lj2i.3) tels que
0
T est donc i,in G-tricover de E ^ E ^ E „ relatif à
X
, .X ^
,X „
„-L »< i 12 5
et T" est un sous-tricovor de T j, ce qui permet de conclure
grâce au théorème 1 du § 7e2„2<,
7 "3 c Etude de .W(2,
Lemme lo Soient 3 un système de 3teinar s(2 j k^, n) avec k>2^
et V ^ 3 vm sou»-système (vide ou non) d ^ ordre v de S Si
n - V est divisible pax’ un entier d avec l<d<n - v, il existe
un© partition de S V en d aous-ensembles X
'1-' "2^ "d do même cardinal, h, telle qu'auci-m des soue-enaembles V(J X
i (i =r l-ooojd) do S ne soit xm sous*système de S„
Démonetration. Soit 4 O,P uns partition do S - V
en d soue^^ezisembles d© mémo cardinal hi Comme l<d<n - Vj
on on déduit que h « (n -> v)/d>l et par conséquent chacun
des (i = l*,cc.jd) contient au moins deux points que noue
désignex-'ons par y^ et y S
Pour simplifier le langage, noua dirons qu'un sous--ensemble
Y de 3 •” V est acceptable ex VU Y n“est paa un soua eystème
de 3,. Plaçons=-nous dans 1« cas où certains do® Y^ ns sont pas
ces sous“0nBembles non acceptables sont les avec 8 ^ (a) Si B>Xÿ posons *1 ' < \ )u { y^] ^2 - -{>'2] >'^{^5] 2"«> c O e » Yj ^S-x ’ ' ’^Î-JL " ^ y [^s] Xg= ( Yg .^yj] )u[y^] ^S+1
Lob forment une partition d© S - Vc Do plusp pour tout
Ô ^ 1» 5 X. est acoeptablec En effets puisque Y n‘est pas
0 J
acceptables VU Y. eet im sous-système de S et la droite passant
0
par y. 9 yl est contenue toute entière dans V(JY. ; cette
3 Yî 0
droite a au moins un troisième point y" car on a supposé k>2e
On en déduit que VyX. n'est pas un sous^système de S car la 3
droit© passant par 3.©s pointe y'p y'I de VyX. passe par 3,e
3 3 3
point y. ^ V y X O
Tous loa X^ (i = l»oo.Tfd) sont donc acceptables c
(b) Si ^ s« 1, eou3. Y^ n'eot pas acceptable Comme d>*lp
Y^ -fypi )u\yi\ Y« -- (
©G't accoptabXe ^ L'^un au moins dee deux Bov.a^enaemblea
Bn effet, dans 3.e ces contraires V U Y^ et VyY” Bei'aient deux
souE-Byotèmss ordre -v + h de S et leur intersection sez'ait.
un eous-Bystèrao d"ordre v 4- h 1 1 (puisque v^O et la'^2) ,
d'où la contradiction en vertu du théorème 4 du § l<,5-2 =
Si est accoptab?te f posons
‘ - {^xV
X. yc 2 '2 X, Y_ 3 5 d dSi Y" est acceptables posons
V — V*» 2 ^2
K, -ï.
d d
Les souB”OnGQmbleB (i = lj^>,ojd) ainsi construits forment
une partition do S ~ V et chacun d^eux est acceptable (la
démonstration est analogue à celle faite ©n (a))^
Lecuixe 2Soient S. j S^, 00: 3 S des systèmes de Steiner
JL» ^
S(2y p.j P ) de mémo ordre p où p est uii nombre promier impair*
Qt r un entier >, 2 „ Si les ensemblss S- » S,. S sont
-2- P
O O O
1 ensemble S = S U S U «««U S un système d© Stoiner
1 c- P
/ \
Sv2j p, P ,) dont 3 J S_ , O ü c 3 S sont les seuls oous'-système s
J. ci P
d“ordre ,
Déraonstratioru Soit G le groupe cyclique suiditif d'^ox^dro et
soient , G^ ? » .■> e ^ G les classes latérales do son sous--gi'oiipe
G^ d “ indice p ;>
En vertu dxi lemme 1 ci-dooeu.s (appliqué au cas où it *= P 5
n P J V ïï 0 et d * p)„ il existe uno partition de en p
y
aous^eneembies X j X_ » ^ „ o X d© même cax’dinal ji" toile
1 2 p
qu'aucun de® X_. (i ^ l9»,^oJp) ne soit un eoxis-syetème de S
1
DésignoniB per X une bijection de sur G» la bi.jection
X ^ étant choisie de tell© façon que X^(x^) w G^ pour tout
X'
i « Ijovv-ap^ Puisque et que p est preiaiex- àvoc chacun
des entiers positifa inférieure à p, il ©xieto un G-système
S
P relatif à
X
t
2.c X ,■
Ptransvereal T(j 3 .»
(cfu § 7.2.3)^
Nous disposons ainai de tous les éléments permettant de
construire un système de Steiner satisfaisant aux conditions
de 1^énoncé : les droites de ce système sont
(a) 3.es droit©® de S,, S-r. occ; S
12 p
(b) les élément® du système transvereal T.
Il est clair que l^enaemblo S - S_ U So W ' ' - U S 3 mxuxi de
12 p
cetto famille de soxis-ensombloa^ est un système de Steinor
x**vIL
s(2y p. P ) dont S_3 S„3 0003 S sont des sous-systèmes
12 p
3^
116.-”
I' Supposons qu© S contienne un soua-aystème S'’ d'ordre p p
distinct de S^, c > j et posons Sï S f| (i'slp . ^p)
P
on voit facilement que 3^! est xm sous-(système do 3. d'ordre pr-1
et que 1^ensemble doe droites de S' non contenues dans \m des 3'
i ost un sous-systèm© T' (S‘p S' , r o „ S‘) du G~syotème tranoversal T,
X. <. p
Dès lors_ en vertu du théorème 3 du §7o2c3,
X
est unoclasse 3*atér«ü.e d'un aous-groupe do G d'ordre p , d"où on
déduit que 3' ooincid© avec un des aous^-ensemblea X„ , X, 3 , X
J- 1 ■ 2 p
de S O On arrive ainsi è une contradiction car aucvm des X
i i
n'est un sous-ayatèmo de S^o
T*
Les eeula eous-syatèmee d'ordre p du système de Steiner 3
ainsi construit eont donc S. p 3* v »„^ p S
-12 p
Théorème 1 » Pour tout nombre premier impair pj
N(2o p. P^) > 3
Démonetrationc l) Soit S"^ l'espace affin à 3 dimeneionc sur le
champ P î j'^oot un syatème de Steiner S(2, p.- p"^)^
2) Conaidérons p exeraplairea S., 0 S_ . ^,o; S d'xm système
12 p
p
do Steiner 3(2;,. p„ p") (comme p est première on est assuré
d® l'existence d un tel système)., at suppoaons les ensembiet
S B S„ F <. -.05 3 dis,-joints doux à- doux. En vertu du ismrae 2
12 p
ci-dessus... on peut conati-uire sur l'ensemble 3 = ^2**^
JJ 3 un Ei'-Btème d© Steiner 3^^ d'ordre ,, dont S , 3 ^
j? X 2 s
aont le® seuls sous-aystèmea d'ordre p
111
Il est clair que S*^at 3'^ sont non iGomorphes, car le nombre
2
de souQ-eystôme» d-ordre p contenus dans 3^ oat supérieur à p»
2
3) Soient G- le groupe cyclique additif d “ ordre p î G, ; G-„,
O oc, G les classes latérales de son eous-groupe G d-indice p.
P J».
et 3^ , c c c 1' s les systèmes d® Steiner déci'its en 2 ) .
P
Poirr toiit i « X 5 os Po désignons par D. un© droit© de S
1 X
©t par
X
. un© bijcction de 3. sur G telle queX
.(D.) « G <X X X X 1
Puisque p ^ 3 ©t que p est premier avec chacun des entior®
positifs inférieurs è, p, il existe un G=-systèm® tranevorsal
T(S J. S 5 coo, s ) relatif à
X , \ y
o o , X1 *2 p 12 p
Soit 3**^1© système de Stainor S(2; p. p^) construit sur
l'^'onsemblo S s S^U 3^ U .. ü S en prenant comme droite®
P
(a) le© droites d© 3^, 3^ÿ U 5 t. O O 0 S
P
(b) 1®8 é3.ém©nts du aystème transversal ï
S_ O S_g c-O5 S sont évidemment deo sous-systèmea d*^ ordre
12 p
de „ En vertu du théorème 2 du § 7o2.3, I contient rm
eous-systèms T® (D , B , c », , D ) ©t D = D. U B,, U . c « U D est
12 p 12 p
un EOUB-=8ystème d" ordre p d© 3^’ ^ , différent de S,. S„ ,, oo. c S o
-L ' 2 " p
S”^"9 contenant au moine p + 1 sous-syatèmee d-ordre p ^ n^ect
pas isomorphe à S■k'k
autre part 9 parmi I00 p -f p droitoe do 3^, il y en a au
plus p qui sont image© par la bijection -1 d"un® des p classes
latérs,los de G^ dans G„ Soit B'^ un© droite d© 3^ telle qu®
du § ?o2o35 est le seul aous-système d ‘ ordre de contenant la droite D “ ., S n'est donc pas iaotnorph© à
puisque toute droite de S"^ est cont©m^® dans p 4- 1 soua<=
2
systèîae® d ■' ordre p o
Théorème 2 c Pour tout nombre premier impair p et pour tout
entier 2 ,
N(2,p,p^'^^) > N(2,p,p'^) [n(2,p,p^) h- l].. Jn(2 , p, t P - l]
IP ^
Démonstrationo Soient S. a 3^. 3 00.5 S o S% ^ o o p 3 de©
1 ^ J) IL ^
systèmes d® Steiner S(2, pj p^)s isomorphes ou non, mais de
2T
meme ordre p avec r''^2n Bn vertu du leœme 2 ci-dessus c on peut
conetr\.\ire un systèmo de Steiner S d^ordre prtl ne contenant que
p Bous-systèmos d'ordre p ieoiaorphos rospoctivemont à S^* o » o r+1
O ü . S ©t un systèm© de Steiner S' d'ordr© p ne contenant P
qu© p sous-systèmes d'ordre p isomorphes respeotivement à. S,
Sp 5 O t> O p <
'1^ ^2- oc,. sp,
1’
sur s ^ xl n'existe aucun© bijection tp de ^S.
^3^5 S^ J O tailô pour tout i Ij,.., cppv les systèmes
S. ©t ^ (s.) soient isomorphes^ il est clair que S et 3' sont
non isomorphes O Par conséquente, si r ^ 2 N(,2j p^ p ) eat au
moins égal ax’. nombre d© combinaisons avec répétitions do
N(2, Pj p^) objets pris p à ps autrement dit
N(2, p,
N (2 s, ps p^) + p
(l)
L espaoe affin à. r + 1 dimenaions «ur le champ est un
ByB'i’ème de Steiner* S(2. p, non ioomonphe aux systèmes
construit» ci-dessus; puisqu il contient plu® de p eous-eystènies
d ^ordre p o d■où
N(2, p, >
N(2f, Pj p^) -f p ■■ 1
(2
pour tout r ^ 2 ..
RemarqueComme N(2j pc l) ?* W(2i, pj. p) « 1, 1" inégalité (l)
est en fait vz-aie pour tout r'^tO maiot, étant donné qu^on n®
connaît pas de plan affin non az‘g\iéeion d’ordre premier p.; nous
ignorons si 1 inégalité (2) est encore -Txaie pour r * 1.
Théorème A Si p est un norabr® premier impair j,
N(2;, p, p" ) ^ 5 p^'^
pour tout r;^3 > D® plue^ p étant fixée N(2„ pj, p^) est une
fonction convexe de r ; cette fonction est croissante et tend
vers l’infini avec r»
La démonstration ne présente aucune difficulté ; elle résulte
dos théorèmes 1 et 2 ci-dessus o
7 ■ 4 - Etude de N(2 , n^^) avec 041^2 »
OC
Théorème Bc Si q « p 9 est une puissance de nombre premier
avec 0C^2(, K{2j q„ q ) ^ ^ pour tout J" 3
>-Démonetrationo Noue appellerons plan d’un système do Stoiner
/ r \ 2
S(2, qj q ; tout soua-système d'ordre q do S.
120.-q = 9 ot0<^2c 3 eot un système de Steiner s(2s qa q^) dont
r-2
tous les plans sont des plans affine arguésionoo Posons q =* h
ot désignons par V_ 5 V„, . , o,, V, h plans do 3 disjoint© deux
1 <£ n
à douxc
Kous all-ons construire sur l’onsemblo S h systèmes de Stoinar
S, 5 S_c 0005 3, de paremètres (2s q, q^) : les droite© du
12 n
système (l^i^h) seront
(a) les droites d© 3 non contenues dans un des plans V^o 3
.,003
(b) les droites dos piano ' “ " ’ ^ (dans le cas
où i < h )
(o) les droites d^'on quelconque plan affin non arguésien
construit sur chac^m des ensembles V_ s V.
1 3.
Nous dirons que doux droites do 3^ sont uatrallèles si ce sont
des droites de S et si elles sont parallèles dans S. Par tout
point de 3^ extérieur à une droite (a) passe une ot une seule
paral3.èl« à cott© dx'oite ; il n‘on eot pas de meme pour \me
droite (b).
Il eot clarr que 3^ contient au moins i plans non az'guéeiensp
en 1 ‘ occurrence „ V^t « •> •> r j nous allons montrer qu * il
n’en contient pas d**autres. Soit W le sous-oystème de 3^ engen
dré par un triangle ^2" ^3^ contenu dans xm de® plans
er
un doa cdtés du triangle, par exemple ^^*2
xmo droit® (c)., Soit «lor® x^ un point de la droite
tinct de x^ et x^ Le triangle
80» cdtéo sont dos droites (a) 0, Il suffit donc de se restreindre
eot
dis-«ngendro W et tous
axi
# %
2 cae ; aucun cüté du triangle n^'eat un® droite (cjr Si deux
de® oütés «ont do» droite® (b), le triangle est contenu dans un
des plans ^x-i-X" ” ^ plan argué®ien<,
Sx deux dos côté® sont des droites (a), par exempla ^2.^2
x^x„ „ toute parallèle â.
2 5
néceseairemant le côté «*st: xino droite (a) ou une
droite (b)) et oet donc contenue entièrement dame W„ 31 W est
2
un plan., o •'es t-è.~dir© ai W coïncide avec 1 enaemblo des q points
de S situé» sur les q parallè3.e© à x x.^ o^ appuyant sur x x ^
tout® droxte do passant par doux points de W est \mo droit®
de 3 En effet si W contenait deux pointe x-y joints dans S par
une droxte d ©t dan® S. par une droite d d d' serait une
X *
droite (c) , les points x ©t y seraient dans un plan (l4$t ^i)
do S et on aurait WAV d". D"autre pa.rt„ comme x et y sont
X t
situé» sur deux parallèles à s’appuyant ®ur x^x^ et que ces
5 droites sont des droite® (a), on a WAV^ .-♦< d une contradic-'
1"
tion Nous avons ainsi établi que si W oet ixn plan, toutes ee®
droites sont dos droite® de S g d’où il résulte que W est argué-'
x^x^ menée par \na point de ^2^ coupe
P*r conoéquenii,, contient exactement i plans non arguéeions
et le© syetèiaos de Steinor So S^;, i,- » ^eont deiix è. doux
non isomorphes !i ce qui permet do conclure..
Le théorème suivant complète le résultat do Bhat (cf“o 7vlo3)
Théorèroo.. N(2^ 4. 4^) ^2.
Démonatration. Soit S l'espace affin à 3 dimensiono sur le champ -J
U 3 est \xn système de Steinor S(2p A» 4' ) dans lequel tout
triangle engendro un plan (c^oet^à-diro im sous-système d"ordre
2
4 ) c Soient enfin V uja plan do S et 0^ une permutation des points
de V qui n'est pas un automorphisme de Va
Noua allons construire sur l'ensemble S un système de Stoiner
5
S^ de paramètres (2.. 4î> 4 ) non isomorphe à Sa Les droites do S'
seront
(a) les droites de S non contenues dans V
(b) les images par la permutation 0(, des droites de S
contenues dons V »
Etant donné le choix de 0( il existe deux point© x,y?2.V
jointe dans S par une droite d et dans S‘ par une droite d^ d>,
Désignons par W le sous’système engendré par 1© trian.gle ^y,
où Z est un point extérieur à Va W contient les parallèles d^,
d^ à la droits d menée® par les pointe x^i x^ d® la droite xz
distincts do x et a. Tou.tes iea droites de S’ s'appuyant sur
On on déduit que tou® lea pointe du plan, engandré dans 1“ espace
affin S pem le trxansle|x- y? sont des pointe de W ot
|w|^l6 ; mais comme W contient ausai la droit© d •' qui ri'’eet
dans
CO
plan^jw|>l6
etil
exiete donc dans un trianglen’engendre pas un sous-système d’ordre 3.6»
Il on résulte qu© S at S’ sont non isomorphes »
pas
CHAPITRE VIII.CONSTRUCTIONS DE S(2535n) NON ISOMORPHES.
8.1. Incroduction et historique
8.1.1. Dans ce chapitres nous utiliserons les notation.*3 suivantes s N(n) s ncjitbre de S(n) deux â deux non isoïTet'phes.
N^(n) s nombre de S(n) deux à deux non isomorphes contenant au moins un sous-système d^ordre v.
m'2
N" <n) 5 nombre de S(n) deux à deux non isomorphes n’ayant pas d-autre automorphisme que l’identité.,
Ny(n) * nombre de S(nî deux â deux non isomorphes, i^’ayant pas d'autre automorphisme que l'identité contenant au moins un sous-système d’oï'dre v.
Ainsij on a N^<n)sN^(n)sN<nî pour tout n» N^(n)"N(n) pour tout n > 1 et Ng(n) a N<n) pour tout n > 3.
De mêmes N^(n) * NJ^(n) = N^(n) pour tout n^ N^Cnî » N^(n) pour tout n > 1 et N g<n) s N (nî pour tout n > 3,
D'une manière générales on a N(n) >N^(n: ^NJCn)
N(n) > N®(n) > N^(n) pour tout n.
8.1.2. Dans son mémoire fondamental de 1853(cf.§1.3)î Steiner
125.-Ce problème est encore loin d^être résolu.
Il est évident que N(0) » N(l) « N(3) s i et on
remarqua très vite que N(7) s N(9) * I5 si bien qu'il est difficile d*en attribuer la démon s
tt'a t
ion à l'un ou l'autre auteur. Netto l'établit de manière rigoureuse dans lapremière édition (1901) de {^2123 .
Zulauf [330J5 un élève de Netto, avait prouvé en 1897 que N(13) > 2. Deux ans plus tard. De Pasquale [lOO^publie la première démontration de l'égalité N(13) * 2. En fait, ce résultat doit être attribué à Brunei [64] , quoique scn article n'ait paru qu'en 1901 : le manuscrit,daté de 1895, a été dé couvert après sa mort par son biographe DuhamCcf.[lOsJ ,p.25). Brunei et De Pasquale, ainsi que Barrau£20] en 1908, se basaient sur les tables de Kantor[l633 donnant toutes les configurations
(3,3)^0 isomorphes(un S(13) dont on enlève 3 points alignés et toutes les droites passant par ces 3 points devient une
configuration de ce type). Une démonstration à caractère intrinsèque a été donnée en 1913 par Cole [82^ . On trouve dans un travail récent de Henderson ([l5^ , pp.30-32) une preuve très simple du non isomorphisme des deux systèmes triples d'or*dre 13.
126.
4 systèmes de Kirkman K(2,3,15 ) (cf. 1.7). Sylvester ( (2823 , p.520) avait posé clairement en 1861 le problème de la détermination de tous les K(2,3,15) non isomorphes;"... It were much to be desired that some one would endeavour to collect and collate the varions solutions that hâve been given of the noted 15-school-girl problem, with a view to ascertaining V7hether they belong to the same or to distinct tjrpes of aggregation, " La première énumération exhaustive des systèmes de Kirkman d®ordre 15 a été faite en 1913 par Fitting {jlisj , puis reprise indépendamment en 1917 par Mulder
[2043 , en 1922 par Cole jjBS^ , enfin en 1963 paï’ Rosa £2423 ' Pour entreprendre avec succès la recherche de tous les systèmes triples d®ordre 15 , il fallait disposer d®une technique permettant d®établir facilement si deux systèmes donnés étaient isomorphes ou non. De telles méthodes de
comparaison furent décrites pour la première fois en 1912 par White £3123 puis en 1913 par Cummings£92] (cf .4.8). Jusque lâ, le seul critère utilisé pour différencier deux systèmes triples était le non isomorphisme de leurs groupes d®automorphismes, mais Cummings£913 découvrit en 1913 deux S(15) non isomorphes ayant le même groupe d®automorphismes. Quoiqu'on n'ait jamais pu démontrer que les méthodes de White et Cummings permettent de différencier les systèmes triples de tous ordres(cf. Swift
127.-En 1913 J, grâce à sa méthode de comparaisors, Cummings [923 porta â 24 le nombre de S(15) connus puis^ en 1914, White
( [314] pp.l3 et ISj^SlsJpp. 5-25) rechercha tous les S<Î5) ayant au moins ün automorphisme distinct de l'identité et en trouva 44 non isomorphes, parmi lesquels tous ceux déjà
construits par Cummings.Enfin, en 1916, Cole[^843 , un spécialiste des problèmes d'énumérâtion(cf. ses travaux sur les groupes
finis), obtint tous les S(15) non isomorphes(leur nombre est 80) et calcula, avec l'aide de White et Cummings, le groupe des automorphismes de chacun d'eux. Ce travail [[sisQ, qui ne fut publié qu'en 1919, n'eut pas la diffusion qu’il méritait . Ainsi Witt, dans son célèbre article [32sJ de 1938, ne mentionne pas la valeur de N(15), De même , Fisher [lisj qui entreprit en 1940 la recherche de tous les S(15) non isomorphes, n’en avait pas connaissance ; il ne trouva d'ailleurs que 79 S(15), oubliant le système qui se trouve en dernière position dans la table de Cole( [Sîs] , p.80).
Plus près de nous, en 1955, Hall et Sv^ift [[l403 ont programmé SWAC à l'Université de Californie de Los Angeles en vue d'énumérer tous les S(15) non isomorphes et ont trouvé N(15) = 80, vérifiant ainsi l'exactitude du
128.
. Le nombre de systèmes triples non isomorphes d'ordre n pour n > 15 n'est pas connu. D'après Swift(communication person™ nelle) qui a tenté en vain de calculer N(19) avec un
computï*ir 9 le problème est au-dessus des capacités actuelles des machines, Swift estime que N(19) > 10®.
White [313] [314] a pu montrer en 1914s en se basant sur la connaissance des 2 S(13) et des 44 S(15) qu'il
venait de construirej que N(27) > 222.10® et N(31)> 37.10^^ (nous améliorerons ces limitations dans la suite de ce
chapitre).
Il faut signaler aussij entre 1917 et 1935^ les travaux de Bays ( [2S] à [33] ) sur le nombre C(n) de systèmes triples cycliques non isomorphes d'ordre n.Bays a déterminé tous les
S(n) cycliques non isomorphes pour 1 ^ < 33 ainsi que le groupe des automorphismes de chacun d'eux ; il a aussi pu calculer C(37) et 0(43)9 mais cette fois sans chercher le groupe des automorphismes de ces systèmes. Enfinj Belhôte [34]
[se]
9 un élève de Bays, a montré que 0(61) > 70220 et que 0(73) > 840236.129, n N(n) C(n) 1 1 1 3 1 1 7 1 1 9 1 0 13 2 1 15 80 2 19 4 21 7 25 12 27 > 222.10® 8 31 > 37.10^^ 80 33 84 37 820 39 43 9380
Il résulte des travaux de Bays f28j et Laaibossy {îTS^ que 5 si 6k4^i est un noaabre premiers
k—1
C(6k-J-î) >
Cette proposition peu connue de Baysg avec un théorème
plus ancien de Moore affirmant que
130.-sont restés longtemps les seuls résultats généraux dont on disposait sur la fonction N(n).
En 1895, Moore |]l97j avait conjecturé que N(n) croit très rapidement avec n. Cette conjecture, reprise par
Bays [27J en 1923 et par Witt ^23] en 1938, a été confirmée en 1960 par Valette []303]| dans sa thèse annexe de doctorat
(non publiée).
En 1966, Assmus et Mattson [sJ , exploitant une idée de Vacil^ev £302]] , ont prou^ré que N^(2^-l) tend vers 1 ^infini avec k.
Nous allons préciser et généraliser ce dernier résu^l tat en montrant que
a) Ny(2n-î-î) > N.y(n) pourtout n(d®où il découle que
N^<2 -1) est une fonction croissante de k). Ce résultat sera un simple corollaire d“un théorème beaucoup plus générai sur la croissance de la fonction N^(n).
b) N^Cn) tend vers 1^infini avec n et, plus précisément,
N.y(n) > pour tout n > 31.
c) (2^-1) tend vers 1®infini avec k et, plus préci sément ,
N*^(2^-l) > (2^”^) 5 pour tout k > 5.
Nous établirons aussi que
13i,“
8.2. Etude de la croissance de N(n) et N^(n)
Lemme . Si njn® sont deux entiers s l ou 3(mod 6)
avec n « ^ n®(n® > i et entier > 3)j il existe un système triple S d®ordre n contenant jU. sous-systèmes V^3...5V^
d®ordre n’ disjoints deux â deux et tels qu*aucune réunion de (/l-i)/2 d®entre eux ne soit un sous~système de S.
Démonstration. L’égalité n « ^ n® et les congruences sur n, n® impliquent que jJL est impair.
1er cas. /I s l ou 3 (mod 6), jUL ?î 7.
Soient S® un système triple d®ordre |vl ne contenant aucun sous-système d’ordre (jU.-l)/2(comme yU > 9j un tel système existe toujours en vertu des théorèmes 4.3.3 et 4.4.2) et S'* un système triple quelconque d’ordre n®.
Désignons par S le produit direct des systèmes S® et S” (of. 4.6.1.3) et par V^j...,V^ les sous-systèmes d’ordre n* de S dont la projection sur S’est réduite à un point. Les satisfont aux conditions de l’énoncé car si la
réunion de ( ^ -D/2 d’entre eux était un sous-système V de S la projection de 7 sur S* serait un sous-système d’ordre
( ^-D/2 de S® 5 d’où la contradiction. 2e cas. jX s j,
Soient S* un système triple d’ordre 7 et S” un système triple quelconque d’ordre n®. Désignons par S le produit
132.”
S” est réduite à un point. V a un point coramun avec chacun des V..
X
Construisons alors sur l’ensemble S un système triple S dont les droites sont
(a) les droites de S non contenues dans V
(b) les droites d’un système triple V d’ordre 7 construit sur 1’ensemble¥de telle façon que les
systèmes triples v'^et V soient disjoints(cf. 5.1.2).
Le système triple et ses sous-systèmes satis
font aux conditions de l’énoncé. En effet, si
sont trois quelconques des V^(i * l,...,?), contient toujours une droite d perçant chacun d’eux et une droite d* n’en perçant que deux(l’hypothèse n* > 1 est essentielle à cet endroit).
3e cas. fJi ^ B (mod 6).
Dans ce cas, on a n’ s 6k 3 sinon n serait s 5Cmod 6). Posons E^ a î* **^2k+lî ®
E3 s <^0,1,2^ •
Construisons alors sur l’ensemble E^ x E^ le système
triple S’ d’ordre 6k+3 obtenu en appliquant la méthode décrite
en 4.2,1, en prenant s ^ (i»09l92) et en faisant
en sorte que 90)9(a^,l),(a^ 92)| soit une verticale de S® pour toutoC« l,...* 2k+l.
133.-triple S” d®or»dre 3^ obtenu en appliquant la méthode décrite en 4.3.19 en prenant « E2 ^ (is09Îs,2)
et en faisant en sorte que jO),(b^ jDjCb^ s2)J soit une verticale de S" pour tout /5 « 1,... ^ JA , On sait (théorème 4.3.3) que S” est un plan non dégénéré.
Nous allons construire à présent un système triple d^ordre jXn^ sur l’ensemble SsE^xEgxEg. Les droites de S seront
(a) tous les sous-ensembles
*0)9(3^ gb^ s,b^ 92)]
de S.
(b) tous les sous-ensembles
de S5OÙ -^(b^ jDjCb^, ,i) j<b^{jji+l) I est une droite de S"(i+1 étant calculé modulo 3).
(c) tous les sous-ensembles
,b^ ,i),(a^, jb^ ,i)j(a^j,,b^
de S9 où 9!) jCa^, 9!) ,(a^„,i + 1)| est une droite de S’Citî étant calculé modulo 3).
(d) tous les sous-ensembles
où {(Sp^ 9i)»(a^,,i’)5(a^9i")^ est une droite de S* et où ^(b^ ji) j(b^, gi® ) ,(b^„ 9i”)| est une droite de S'*Ci9i“3i” n’étant pas nécessairement distincts deux à deux).
134.”
Etant donné un point (a^ ji) de S, sa projection sur S" sera évidemment le point (b^ si).
Soient alors les jJi sous-systèmes d^ordre n’
de S dont la projection sur s"est une verticale de S".
Il est clair que satisfont aux conditions de
1®énoncé car si la réunion de (^”î)/2 d®entre eux était un sous-système V de S, la projection de V sur S” serait
un sous-système d®ordre 3(. jX -l>/2 de S”, d®où la contradiction puisque S** est un plan non dégénéré.
Théorème 1.
N^(n) < N^(2n4-6k+l)
pour tout n "S 1 ou 3(mod 6) > n > 6k 1; N (n) < N (2n+6k+3)
V — V
pour tout n s 3 (mod 6), n > 6k ❖ 3.
Démonstration. Comme N(l) » N(3) s N(7) * N(9) = 1 et que tous les sous-systèmes d®un système triple d*ordre < 9 sont triviaux, les deux inégalités ci-dessus sont vraies pour tout n < 9.
Nous supposerons donc dès â présent que n > 13. Soient un système triple quelconque d*ordre n et
S2 un système triple d®ordre n*=6k-t-l ou
6k-»-3 dont les seuls sous-systèmes sont les sous-systèmes triviaux(envertU des théorèmes 4.3.3 et 4,4.2, un tel Sg existe pour toute valeur de n ® ).
135.~
Ao n’’ ne divise pas n.
Il en résulte que n® 1 et n®?? 3, c ^est-â-dire que n® > 7.
Soient S*^ un système triple cyclique d®ordre n<on est assuré de 1*existence d®un tel système puisque n > 13) et
un automorphisme de formé d®un seul cycle d®ordre n« En vertu du B) de la démonstration du théorème 3.2ç il existe dans une fandlle de droitesj dites exceptionnelles telles que par tout point de passent (n*-l)/2 de ces
droites et que 1®image par OC de toute droite exceptionnel le soit encore une droite exceptionnelle.
Soit enfin une bijection de S*^ sur S^.
Les ensembles et $2 étant supposés disjoints deux à deuxs construisons sur l'ensemble SsS^US'^USg un système triple d'ordre 2n+n®en appliquant la construction décrite en 3.2.
est un sous-système d'ordre n de S ; nous allons démontrer que c'est le seul.
136.
1) V r> " &
On a alors V s
(v
H S^) U (V A avec V H S®^ &„ Coiame n > n® 5 toutes les droites de S'^ ne sont pas excep tionnelles et S*^ n'est pas un sous-système de S ; il enrésulte que VA ^ .
Si V contient un point x £ le point <p (x) n'est pas dans V sinon la droite passant par x et (x) serait une droite de V et le point p^ de S2 serait dans Vj ce qui est impossible.
On en déduit queCV H S^) A ‘f (V A S'^) = g) et (V A S^) ü (V n S'^) ^ S^.
Soit X un point de VH Toutes les droites exception nelles passant par x sont contenues dans VA S*^. En effetjdans le cas contraires W = S*^-(Vn S’^) contiendrait un point
x' joint à X par une droite exceptionnelle etj comme^fCW) s VA S^s la droite passant par x et (x*) serait toute entière dans V, d'où la contradiction puisque le troisième point de cette droite est dans 82*
D'autre parts toute droite de S joignant x ù un point
137.-jv n s^j = |v A S»jj - n*
Comme jvn S^j ^
|vn
S’^j=jvj
= n, il vientI
V nj
= (n-n')/2et j V 0 I = (n-!-n’)/2 .
Soient x et y deux points de S*^. Nous dirons que y est accessible de x s'il existe une suite finie de points
de X s x^,...,Xj^ = y telle que la droite soit
exceptionnelle pour tout i = j la relation
d’accessibilité est une relation d’équivalence. Nous appel lerons composante de S’^ toute classe d'équivalence de cette relation. Les composantes de S'., sont disjointes deux à
deux et contiennent le même nombre t de points car la permutation o< de S'^ conserve les droites exceptionnelles et engendre un groupe transitif sur les points de S'^. Il est dLair que t > n '.
138,
Il en résulte que n* divise n, ce qui contredit 1'hypothèse.
2) V n S2 = (1 < i < n*)
Toute droite de S passant par p^ et un point de V fi a son troisième point dans VA S'^ et inversements d’où
|v 0 sJ - I V n S’J = (n-l)/2.
Soient x un point quelconque de VA S’^ et ^Pj'5 avec X.£ V A , la droite passant par p. et x. Le
X «b X
troisième point de toute droite de S joignant x à un point de VAS, distinct de x. ne peut pas être dans S«(puisque le seul point commun à V et à S2 est p^) ni dans V A S^Cqui est un sous-système de S) : il doit donc appartenir à
VA Comme
jvA
S^j =|v
A S'^jjOn en déduit que le troisième point de toute droite de S joignant x à unpoint de V n S’, est toujours dans V A et par conséquent,
Â
quel que soit x € V A S’^, tous les points de S’^ joints â X par une droite exceptionnelle sont extérieurs à VA
c’est-à~dire(puisque n’ > 1) OiJ > n-1, ce qui est impos sible car
js’j “(Vn ^ ^ < n-î (puisqu'on a
supposé n ^13).
3) V a Sj ={Ph»Pi»Pj? » 3 points Pj^sPi>Pj étant alignés dans •
Toute droite de S passant par
Pj^ et
par un point deV n a son troisième point dans VH S’^ et inversement, d'
|vn S^l = jvn S'^j
=(n-3)/2 .V f\ étant un sous-système non vide de S^, il faut que (n-3)/2 "S 1 ou 3(mod 6), ce qui entraîne n s 6k’•^3 avec k’ impair, et donc n > 21 puisqu’on avait supposé n >13.
Soient x un point quelconque de V f\ S’^ et les
pointa de percée des droites pj^x^p^x dans V n . Le troisième point de toute droite de S joignant x à un point
de
V n
distinct de ne peut être dans S2(puisquesystème de S) ; il doit donc appartenir à V (\ S’^. Conane
I
V nI
s|v
n S’^l , on en déduit qu’une et une seule des (n’“î)/2 droites exceptionnelles passant par x est con tenue dans VA S ’ ^.V n Sj = {
,p.( ) ni danssous140.
-Désignons par CO ’ le nombre de points de S’^~(V n S\) situés sur les droites exceptionnelles issues des points de V A S’^. On a W’ > ^ =(n»-3) - - 1) c'est-à-dire (a)' > (n-3) . —~ (n-3) ** * - -1 — O n ^ puisque n' 7, Dès lors , si n > 21, on a js-, -(vn S'^)j = 2.J1 < |(n-3) d'où la contradiction.
Si n s 21, on a n' ^ 9(puisque n' ^ 7 ne peut pas diviser n) et
>“|* <21 - 3) > (21 t 3)/2 d’où la contradiction.
4) vn Sg = S2
Toute droite de S passant par p^ g $2 et par un point x de VA S'^ a son troisième point (Ç (x) dans V A et
inversement, d'où
I V A I = IV n S»^ I = (n-n')/2
Quel que soit le point € Sg et le point x g VH le troisième point de la droite p^x est dans VA
et par conséquent ^ € V f\ S'^. On en déduit que toutes les droites exceptionnelles passant par un point de VA S\ sont contenues dans V A Dès lors, en raisonnant comme en A.l , on montre que n’ divise n» ce qui contredit l’hypo« thèse.
B. n’ divise n
Posons n = n’, d’où on déduit que jX est impair et que jX > 3(puisque n > n’). Rappelons aussi qu’on suppose toujours n > 13.
Désignons alors par S’^ et respectivement un système triple d’ordre n et une bijection de S'^ sur satisfaisant aux conditions suivantes :
1®) si n' - Kauquel cas /Jl = n > 13) ^S’^ ne contient aucun sous-système d’ordre (n-l)/2(un plan non dégénéré d’or dre n répond à cette exigence) et Cp est quelconque. 2°) si n’> 1 et si pL - 3, S’^ contient 3 sous-systèmes
V^sV2sVg d'ordre n’ disjoints deux à deuxCle produit d5.rect d’îm système triple quelconque d’ordre n’ par un S(3) est ijn système de ce type) et (p est choisi de
telle façon que pour tout i = 1,2,3, 4^ soit
pas un sous-système de S^Cun tel choix est toujours
142
ou Vg seront dites exceptionnelles.
3°) si n’> 1 et si ^ > 3, S*^ est un système triple
d’ordre n contenant jU sous-systèmes d’ordre
n’ disjoints deux à deux tels qu'aucune réunion de < JJ- -D/2 d'entre eux ne soit un sous-système de S'^ (l'existence d'un tel système est assurée par le
lemme précédent) et (p est quelconque. Les droites
de S'^ contenues dans un V^( i = ij...,^ ) seront dites exceptionnellles.
On notera que, si S'^ contient des droites exceptionnelles, il en passe (n'-l)/2 par chaque point.
Les ensembles et S2 étant supposés disjoints deux
à deux, construisons sur l'ensemble S = u S'., ^2 ^ système triple d'ordre 2n 4- n’ dont les droites sont
(a) toutes les droites de (b) toutes les droites de Sj
(c) toutes les droites exceptionnelles de S'^
(d) tous les sous-ensembles -^Xjy, ^ T (y^ »
^^(x),y,z| de S, où ^x,y,z| est une droite non excep tionnelle de S\.
«%•
143.-On vérifie aisément que S, muni de cette famille de sous-ensembles, est un système triple d’ordre 2n+n’.
est un sous-système d'ordre n de S ; nous allons démontrer que c’est le seul.
Soit V un sous-système d'ordre n de S, distinct de S^. Grâce au choix de Sj, V (\ S2 est un sous-système trivial de S2.
Dès lors, 4 cas sont possibles : 1) V n S2 = S
En raisonnant exactement comme en A.1, on montre que toute droite exceptionnelle passant par un point de V n S’^ est contenue dans VA S’^, que W = S'^-(VA jouit de la même propriété et que
I W I = j V A Sj j s(n-n' )/2 = n’( jUL -D/2
Considérons alors deux points distincts x,y de W et désignons par z le troisième point de la droite d de S joignant ces deux points. SizgVnS’^,d est une droite exceptionnelle, ce qui est impossible puisque toute droite exceptionnelle passant par z est contenue dans VH S’,. Si
A
z €. S’^), |x, 'f* (y), ip”^(z)| est une droite de Sj ce qui est impossible puisque x «ê V, ^(y) € V, ^ “(z) Q V et V est un sous-système. Par conséquent z £ W ou z £ ^ (W)
du système triple S’^. Il en résulte que W était un sous-système d*’ordi*e -D/2 du système triple S\ et Que W contenait toute droite exceptionnelle de s“.
JL passant par un de ses points.
Si n’ s Kd’où JL4. s n) , W était un sous-système d’ordre <n-l)/2 du système triple S'^ d’ordre n >13, ce qui est impossible grâce au choix de S’^.
Si n’ 1 et jU. = 3, W coïncide avec un des sous-systèmes
Vj » ^2 = V n Sj est un sous-système de
S^, ce qui est impossible grâce au choix de la bijection'f. Si n’ > 1 et ^ > 3, W est la réunion de ( jLA. -D/2
des sous-systèmes de S’^, ce qui est impossible
grâce au choix de S’^.
2) V n Sj - {p^*^ (1 ^ i < n').
En raisonnant comme en A.2, on montre que
IV n s^l = |v n s’^l s<n-i)/
2
.
et que le troisième point z de la droite de S passant par deux points distincts quelconques x,y de V H S’^ est toujours dans V A S^.
Si n’ s 1, on a p^ = p^ et (V 0 S’^) = V H . Cn en déduit que ^ "^(z) e V n S’^, que ^x,y,lf”^ (z)j
145.
Si n* > 1, tout le raisonnement fait en A.2 reste valableCcar on peut diviser par n’-î > 0 dans les
inégalités finales) et on aboutit donc à une contradiction,
3) V fi Sg a {Ph*Pi»Pi] ’ ® points Pj^sP^ïPj étant alignés dans Sg. Il est clair que n’ 3.
En raisonnant comme en A.3, on montre que
|v n S^l
=IvnS’^l
= (n-3)/2 et que n > 21.Si n’ = 3j on a /A s n/3 > 7, {Ph»Pi»Pj| “ {Pl»P2®P3| et Pj £ V. Il en résulte que (V H S‘j)=:V f\ puis
(en raisonnant comme en A.3 et en B,2) que V O S'^ était un sous-système d'ordre (n-3)/2 de S’^, contenant (n-3)/6 *
( jX -D/2 droites exceptionnelles, ce qui est impossible grâce au choix de S'^.
Si n’ 7, tout le raisonnement fait en A. 3 reste valable et on aboutit à une contradiction, sauf si n* = 7 et n = 21.
Sin* “ 7 etn = 21, S\ contient 3 sous-systèmes a.
^1*^2®^3 ^ disjoints deux à deux. Posons
= Sg, Eg = et E3 = ^'ll ” ^
et que par tout point de VA S'^ passe une et une seule droite
Î4ô.
-Posons E'^ = , E*2 = <V O S»^) H V^,
E’g S (V n Sj) n On voit facilement que le
G-tricover (EjjEgjEg) contient un sous-tricover»
T’(E*jaE’2»E’2). Dès lors, en vertu du corollaire 1 du § 7,2.2 , 3 doit diviser 7, d^où la contradiction,
4) V A Sg = Sg
On peut supposer n’ 7, les cas où V A Sg * Sg avec n* *? 1 et n' ® 3 ayant été traités respectivement en B.2 et en B.3,
En raisonnant coiame en A, 4, on montre que 'fCVnS*^) » VA Sjs que V A contient toute droite exceptionnelle de S’^ passant par un de ses points et que VA S*^ était un sous-système d’ordre n’( -D/2 du système triple
1*
Si jJi s 3, VA S’^ coïncide avec un des sous-systèmes V^^, VgjVg de S’^ et (p (V O S'^) - V (\ est un sous-système de ce qui est impossible grâce au choix de Ÿ »
Si jU. > 3, V A est la réunion deC jUL -D/2 des sous-systèmes V^s,..,V^ de S’^, ce qui est impossible grâce au choix de S’^.
147,-(resp. 21^) comme seul sous-système d’ordre n.
Il est clair que si S^(resp. ^contient un sous- système d'ordre v, alors S(rer»p“^) contient aussi un sous-système d’ordre v et que, si et ^ ^ sont non
isomorphes, S et ZI sont aussi non isomorphes(car un isomor phisme
de
S surZI
appliquerait nécessairement surZI
^ et induirait un isomorphisme de surZI
^ ). Les inégalités4<« A annoncées en résultent immédiatement.
Théorème 2.
N^(6k+1) ^ Ny(6k+l-î-2n) pour tout n s 1 ou 3(mod 6) , n > 6ktl ;
N^<6k+3) < N^(6k+3<-2n) pour tout n = 3(mod 6), n > 6k+3.
Démons tration.
Posons n' s 6k 1 ou 6k+3. Comme N(l) = N(3) - N(7) s N(9)*l et que tous les sous-systèmes d'un système triple d'ordre 9 sont triviaux, les deux inégalités ci-dessus sont vraies
pour tout n' 9.
Nous supposerons donc dès à présent que n’ 13(d'où ^ puisque n > n') .
Soient un plan non dégénéré d'ordre n et * ° *^n'^
148.-formé d’un seul cycle d’ordre n. En vertu du B) de la démonstration du théorème 3.2, il existe dans S’^ une famille de droites, dites exceptionnelles, telles que par tout point de passent(n’- l)/2 de ces droites et que l’image par C< de toute droite exceptionnelle soit encore une droite exceptionnelle. Soit enfin ^ une bijection de S ’ ^ s ur .
Les ensembles S^,S’^ et $2 étant supposés disjoints deux à deux, construisons sur l'ensemble S = U S’^ u Sg un système triple d'ordre 2nrn' en appliquant la construction décrite en 3.2.
Notre démonstration comporte deux parties (A et B):
est un sous-système d'ordre n de S j nous allons montrer que c'est le seul. Soit V un sous-système d’ordre n de S, distinct de S^. Comme est un plan non dégénéré et que V est distinct de S^, on a j V n j = 0,1 ou 3.
1
) jv n s^l =
0
.
Dans ce cas, V s (VnSj) u (Vfi
Comme n'< n, on aVvi Sj et VA & .
S'J nfest pas un sous-système de S sinon toutes les droites de S'J seraient exceptionnelles et on aurait n' s n, contrai rement à l'hypothèse. V est donc distinct de S'^, d'où
149.-Soient alors un point de V n Sg et x un point de V n Le troisième point de la droite p^x est dans Vn 5 d*où la contradiction.
A
2) jvn s.,] = 1 ou 3 et VA S, s 0.
Dans ce cas, V = (V A S^)
U
(VA S‘^) etj
S’^^-CV n S'.,) | sI
V nj
. Soit X un point de S'^-(V A S’^). Le troisième point de la droite joignant x à un point quelconque de V A ne peut être ni dans (puisque est un sous-système de S) ni dans S„( puisque V A ni dans V A S®.(nuiaaue V£. ^ J. - *
est un sous-système de S) : par consêauent^ il est dans “ (V A S*j) et on en déduit que
j s% -(V n s‘j)| >
1 j V n s^l
d'où la contradiction.
3) j V A
j
s1
ou 3 et V A ^ 0 .Soit p^ un point de V A Sg• Toute droite joignant p^ à un point de VA S'^ perce V A S^ et inversement. On en déduit que
jvn s'jI =lï0Sj|< 3.
Soit X un point de VA S'^^. Toute droite joignant x à un point de V A S2 perce VA S^. On en déduit que
150,»
Comme V = CV n S^) ü (VA S'2^) U (V A S2), il en
résulte que n = ^ contradiction.
. Soient et ^^2 systèmes triples d**ordre n' ^ 13s
S et XI les systèmes triples d'ordre 2n -î- n' construits coiame au début de cette démonstration à partir respectivement
de SjjS’^gSg et j S’^ jXZg.
Si Sg et XZg sont non isomorphes„ S et
isomorphes. En effet, supposons qu’il existe un isomorphisme (J“ de S surXH. Comme est le seul sous-système d’ordre n de S et de XZ, <T" (S^) “ et CT applique donc toute droite de S sans point cossaun avec S^(c’est-à-dire une droite de $2 ou une droite exceptionnelle de S'^) sur ^!!ne droite de
XI.
sans point coîiimun avec (c’est-à-dire une droite deX-j ou une droite exceptionnelle de S’^).«1.
S.^(da même que
XI
25
n’ayant aucun point sur une droite exceptionnelle de S'^, il en résulte quecr (Sg) - XI2 ou . <T- (Sg) S S’.,
Dans le preaîier cas,G~ induit un isomorphisme de S, sur
XI
2 s ce qui est impossible par hypothèse.Dans le second cas, G“ (Sg) est nécessairement ’une compo sant© de S’^Cef. Â.l dans la démonstration du théorème
précédent) puisque le nombre de droites passant par un point dans $2 est égal au nombre de droites exceptionnelles passant
3.51.-par un point de S’^. D'autre 3.51.-parts 0“”^( ^2^ aussi
une composéonte de Toutes les composantes de S'^ étant isomorphes (puisque l'automorphisme 0< de S'.^
respecte les droites exceptionnelles et engendre un groupe transitif sur les points de S'^), on en déduit que Sg est isomorphe à » d'où la contradiction.
Il est clair que si S2(resp. IZ.2) contient un sous-système
d'ordre Vÿ alors SCresp.i-.) contient aussi un sous-système d'ordre v.
Les inégalités annoncées en résultent immédiatement. Théorème 3.
N^(n) ^ N^C3n) pour tout n.
Ce théorème, que nous établirons en 8.4.3(corollaire 3) complète les théorèmes 1 et 2 en étendant le domaine de validité des inégalités démontrées au cas où n = n'. Corollaire 1. Si n h Kmod 6), alors
(a) N^(n) ^ î'l^(2n i-n') pour tout n' = Kmod 6) tel que n' < n.
(b) ^ N^(n+2n') pour tout n'~ 1 ou 3(mod S) tel que
n' ^ n. Si n = 3(mod 6), alors
(c) N^(n) ^ Ny(2n+n') pour tout n’ s 1 ou 3(mod 6) tel que n' ^ n.
(d) N (n) < N (n-»'2n') pour tout n' s 3(mod 6) tel que
V V
15 2 O ••
En particulier, N^(n) < N^(2n-t'l) pour tout n, ce qui précise le résultat de Assmus et Mattson
(cf. 1’introduction).
Corollaire 2. Si n =5 Kmod 6) et n ^ 7, alors
N(n) < N(2ntn’) pour tout n’ S 1 (mod 6) tel que n' ^ n N(n) < N(n-i-2n') pour tout n' = 1 ou 3(mod 6) tel que
n’ n
Si n ~ 3(mod 6) et n S, alors
N(n) < N(2ntn*) pour tout n' S 1 ou 3Çmod 6) tel que n ’ é n
N(n) < N(n+2n’) pour tout n' S 3(aiod 6) tel que n’ n
Démonstration♦ Si n ^ 7, tous les systèmes triples cons truits dans les démonstrations des théorèmes 1,2 et 3 contiennent un sous-système non trivial. Par conséquent, tout plan non dégénéré de même ordre n’est isomorphe à aucun de ces systèmesCles théorèmes 4.3.3 et 4,4.2 assu rent l’existence d’un tel plan non dégénéré).
Corollaire 3. N(n) tend vers l’infini avec n.
Démonstration. En vertu du corollaire 2, on a, pour tout n ^ 7 ,
et
Il suffit alors de remarquer, comme dans la démonstration du théorème 4.5, que pour tout entier n* s 1 ou 3(mod 6) avec n 15, il existe un entier n s 1 ou 3(mod 6) avec n ^ 7 tel que soit égal à 2n+l ou è 2n-3-7.
Corollaire 4. Pour tout entier n 9 et tout entier V ^ 4n+3s(n et V s 1 ou 3<mod 6)), on a
N^(n) ^ )
et N(n) < N ( V ) Démonstration♦
Si n = 3(mod 6), l'inégalité(c) du corollaire 1 montre que
pour tout S 1 ou 3(mod 6) tel que 2ntl ^ n^ 3n. En
appliquant alors à chacune de ces valeurs de les inégalité (a) et (c), on voit que
N^(n) ^ N^Cnj)
pour tout s 1 ou 3(mod 6) tel que 4nt3 ^ ng < 9n. Si n = Kmod 6), l'inégalité (a) montre que
N^(n) ^ N^(n^)
pour tout 53 3(mod 6) tel que 2n^’•l ^ 3n. En appliquant alors à chacune de ces valeurs de n., l'inégalitéCe), on
voit que
154.
-Dans les deux cas, pour tout entier V H 1 ou 3(i5iod 6) avec V> SnCd’où V 9n+4) j il existe un entier
V ’ S 1 ou 3(mod 6) tel que V soit égal à 2 V' + 1 ou à 2 V't7, On a
2(4nt3>t7 9n-5-4 (puisque n ^ 9) et par conséquent V' > 4n-î-3. Dès lors, comme
> N^( 'P')* on achève facilement la démonstration en raisonnant par induction.
Si V s 0, on peut travailler avec des inégalités strictes en vertu du corollaire 2 et tout le raisonnement fait ci-dessus reste valable.
Corollaire 5. Pour tout n ^ 63, on a N(n)>80
et N^(n) ^ 23 .
La démonRtrc^iaî découle izamédiatement du corollaire précé dent et du fait que N(î5) = 80 et Ny(15) s 23.
La dernière inégalité améliore le de Hoorc si
gnalé dans l’introduction.
Les divers résultats contenus dans ce paragraphe nous incitent à formuler la
155
8.3 Variations sur un thème de Assmus et Mattson.
8.3.1. Grâce à une modifications indiquée par Vacil'ev [S02”f j de la construction de Kirkman permettant de passer d'un S(n) à un S(2n+l)s Assmus et Mattson £8]| ont pu établir que N^(2'^ *>1) tend vers l'infini avec k, résultat que nous avons précisé en montrant que N^<2 -î) < N^(2 "■“!),
Nous nous proposons dans ce paragraphe d'étudier de façon plus approfondie les liens entre N„(n) et N (2ntl),
V V
’ *5^ Je
Nous démontrerons que Ny(2 -i) tend vers l'infini avec k, ce qui améliore le résultat de Assmus et Mattson, et nous donnerons une borne inférieure de N^(2^-l).
8.3.2. Soient V et W deux systèmes triples de même ordre
n 1 construits sur deux ensembles disjoints, p un objet n'appartenant ni à V ni à W et ^ une bijection de W sur V.
Dans tout ce paragraphe, nous désignerons par
S(V,W,p,^ ) le système triple d'ordre 2n4-l construit sur l'ensemble V u W U et dont les droites sont
(a) les droites de V
(b) les sous-ensembles (p,x 'P(x)} de S, où x € W. (c) las sous-ensembles {x,y, (s)} , <y),
