Espaces vectoriels norm´ es
Table des mati` eres
1 Normes 1
2 Normes ´equivalentes 1
3 Distance dans un e.v.n. 2
Les notions expos´ees ici vont servir : 1. pour l’´etude descourbes param´etr´ees;
2. pour l’´etude des fonctions de plusieurs variables.
1 Normes
D´efinition: unenorme sur unR-e.v.Eest une applicationN :E7→R+v´erifiant les trois propri´et´es suivantes : 1. N(λx) =|λ|N(x) quel que soitx∈E et λ∈R;
2. N(x+y)6N(x) +N(y) quels que soient les vecteursxet y; 3. siN(x) = 0, alors x=~0.
Remarque: N(~0) = 0 ; en effet,N(~0) =N(0·~0) = 0·N(~0) = 0.
D´efinition: unespace vectoriel norm´e(en abr´eg´e : un e.v.n.) est un R-e.v. muni d’une norme.
Exemple —soitEunR-e.v. de dimension finienetB= (ei)16i6nune base deE. Dd´efinissons trois normesN1, N2etN∞comme suit : pour tout vecteurxdeE, de composantes (xi)16i6ndans la baseB,N1(x) = X
16i6n
|xi|, N2(x) =
s X
16i6n
xi2etN∞(x) = max
16i6n|xi|. Notons queN2est la norme euclidienne associ´ee au produit scalaire Φ d´efini par Φ(x, y) = X
16i6n
xiyi.
Exemple —nous pouvons munirE=C¡
[0,1],R¢
de deux normes simples : N1(f) = Z 1
0
¯¯f(t)¯
¯dtetN∞(f) = sup
06t61
¯
¯f(t)¯
¯.N∞ est la norme de laconvergence uniforme.
2 Normes ´ equivalentes
D´efinition: deux normesN etN′ sur un mˆemeR-e.v.E sont´equivalentes s’il existe A >0 etB >0 tels que AN(x)6N′(x)6BN(x) quels que soient les vecteursxety.
Proposition: la relation ainsi d´efinie sur l’ensemble des normes d’un R-e.v. E est r´eflexive, sym´etrique et transitive.
Proposition: les normesN1,N2 etN∞ du premier exemple sont deux `a deux ´equivalentes.
Preuve: N1(x) 6nN∞(x) ; N∞(x) 6N2(x) ; N2(x) 6 N1(x) (comparer les carr´es). D’o`u le r´esultat par transitivit´e.
Th´eor`eme — sur unR-e.v. de dimension finie, toutes les normes sont ´equivalentes.
Nous admettrons ce r´esultat. Notons au passage qu’il est faux en dimension infinie ; un exemple est donn´e `a la fin de la section3.
3 Distance dans un e.v.n.
D´efinition: soit (E, N) unR-e.v. norm´e ; nous d´efinissons unedistance dsurEen posantd(x, y) =N(x−y).
Voici les propri´et´es ded:
1. sym´etrie : d(x, y) =d(y, x) ; 2. d(x, y) = 0 ssix=y;
3. in´egalit´e triangulaire : d(x, z)6d(x, y) +d(y, z).
Dans la suite,Eest un espace vectoriel norm´e, dont la norme est not´ee N, et la distance associ´eed.
D´efinition: soienta∈Eetr >0. Laboule ouvertede centreaet de rayonrest{x∈E|N(x−a)< r}; elle est not´eeB(a, r). Laboule ferm´ee de centreaet de rayonrest{x∈E|N(x−a)6r}; elle est not´eeB(a, r).
D´efinition: soit a∈E. Une partieV deE est un voisinage dea si elle contient une boule de centreaet de rayonr >0.
D´efinition: une partieU deE est unouvert si elle est voisinage de chacun de ses points.
D´efinition: une suite (xn)n∈N d’´el´ements deE converge versasi la suite de terme g´en´erald(xn, a) converge vers 0.
D´efinition: soit f une fonction d´efinie sur un voisinage de a. Nous dirons que f est continue en asi, pour toute suite (xn)n∈Nd’´el´ements deE qui converge versa, la suite de terme g´en´eral f(xn) converge versf(a).
Proposition: deux normes ´equivalentes sur unR-e.v.E d´efinissent la mˆeme topologie deE; en particulier, toute suite qui converge au sens de l’une, converge au sens de l’autre, et vers la mˆeme limite.
Remarque: comme il a ´et´e annonc´e plus haut, voici un exemple montrant que, dans un espace vectoriel norm´e de dimension infinie, deux normes ne sont pas n´ecessairement ´equivalentes. Munissons C¡
[0,1],R¢
des normes N1 etN∞. Notonsfn :t∈[0,1]7→tn. AlorsN1(fn) = 1/n, tandis queN∞(fn) = 1.
FIN
[EVN] Version du 7 mars 2009
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