TS : TD suites n
o2
I Vrai ou Faux ?
1. (un) est une suite strictement positive, convergente de li- miteℓ. Alorsℓ=0.
2. Si pour toutn>1,−1−1
n ÉvnÉ1+1
n, alors la suite (vn) converge.
3. Si (un) n’est pas minorée, alors elle est majorée.
4. Si (un) prend un nombre fini de valeurs, alors elle est convergente.
5. Si (un) est strictement positive et strictement croissante, alors lim
n→+∞
un= +∞.
II Antilles-Guyane septembre 2010
On considère la suite de nombres réels (un) définie surNpar :
u0= −1,u1=1
2et, pour tout entier natureln,un+2=un+1−1 4un. 1. Calculeru2et en déduire que la suite (un) n’est ni arithmé-
tique ni géométrique.
2. On définit la suite (vn) en posant, pour tout entier naturel n:
vn=un+1−1 2
un. (a) Calculerv0.
(b) Exprimervn+1en fonction devn.
(c) En déduire que la suite (vn) est géométrique de rai- son1
2.
(d) Exprimervnen fonction den.
3. On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n:
wn= un vn. (a) Calculerw0.
(b) En utilisant l’égalitéun+1=vn+1
2un, exprimerwn+1 en fonction deunet devn.
(c) En déduire que pour toutndeN,wn+1=wn+2.
(d) Exprimerwnen fonction den. 4. Montrer que pour tout entier natureln
un=2n−1 2n . 5. Pour tout entier natureln, on pose :
Sn=
k=nX
k=0
uk=u0+u1+ · · · +un.
Démontrer par récurrence que pour toutndeN: Sn=2−2n+3
2n .
TS : TD suites n
o2
I Vrai ou Faux ?
1. (un) est une suite strictement positive, convergente de li- miteℓ. Alorsℓ=0.
2. Si pour toutn>1,−1−1
n ÉvnÉ1+1
n, alors la suite (vn) converge.
3. Si (un) n’est pas minorée, alors elle est majorée.
4. Si (un) prend un nombre fini de valeurs, alors elle est convergente.
5. Si (un) est strictement positive et strictement croissante, alors lim
n→+∞
un= +∞.
II Antilles-Guyane septembre 2010
On considère la suite de nombres réels (un) définie surNpar :
u0= −1,u1=1
2et, pour tout entier natureln,un+2=un+1−1 4un. 1. Calculeru2et en déduire que la suite (un) n’est ni arithmé-
tique ni géométrique.
2. On définit la suite (vn) en posant, pour tout entier naturel n:
vn=un+1−1 2un. (a) Calculerv0.
(b) Exprimervn+1en fonction devn.
(c) En déduire que la suite (vn) est géométrique de rai- son1
2.
(d) Exprimervnen fonction den.
3. On définit la suite (wn) en posant, pour tout entier naturel n:
wn= un vn. (a) Calculerw0.
(b) En utilisant l’égalitéun+1=vn+1 2
un, exprimerwn+1 en fonction deunet devn.
(c) En déduire que pour toutndeN,wn+1=wn+2.
(d) Exprimerwnen fonction den. 4. Montrer que pour tout entier natureln
un=2n−1 2n . 5. Pour tout entier natureln, on pose :
Sn=
k=nX
k=0
uk=u0+u1+ · · · +un.
Démontrer par récurrence que pour toutndeN: Sn=2−2n+3
2n .
