Correction
1. A l’aide de la calculatrice :
2. Représentation graphique :
3. La
suite n’est ni
croissante, ni
décroissante et semble converger vers 4.
4. a) La fonction f est dérivable sur ] 1 ; + ∞ [.
f ’ (x) = 2(x 1) 1(2x+3)
(x 1)2 = 2x 2 2x 3
(x 1)2 = 5
(x 1)2 < 0 donc f est décroissante sur ] 1 ; + ∞ [.
b) Pour x [2 ; 7 ], 2 x 7
f(2) f(x) f(7) car f est décroissante sur ] 1 ; + ∞ [ or f(2) = 7 et f(7) = 17
6 2,83 donc 2 f(x) 7 pour tout x [2 ; 7 ].
5.
• Initialisation :
u0 = 2 donc 2 u0 7 donc la relation est vraie au rang 0.
• Hérédité :
On suppose qu’il existe un rang p fixé tel que 2 up 7.
On veut montrer que 2 up+1 7.
D’après l’hypothèse de récurrence, 2 up 7 En utilisant la fonction de la question 4.b)
donc 2 f(up) 7 mais f(up) = up+1
donc 2 up+1 7 donc la relation est héréditaire.
• Conclusion :
La relation est vraie au rang 0 et héréditaire donc pour tout n N, on a 2 un 7.
