Limites des suites (TS)

Limites des suites (TS) (1) Limites

(a) Voisinages Soit LIR

Pour  0 (avec  « petit »), on dit que l’intervalle ouvert



^{L;L}



est un voisinage de L car il contient tous les nombres proches de L à  près.

Sur ce schéma,x est proche de L mais pas y

Pour SIR (avec S « grand »), on dit que l’intervalle



^S;



est un voisinage de  car il contient tous les nombres proches de  (c'est-à-dire les nombres plus grands que le seuil S)

De même, les intervalles de la forme



^;S



sont appelés des voisinages de  (avec cette fois S « grand » en valeur absolue mais négatif)

Remarque x



S;



équivaut à xS



S



x ; équivaut à xS



 



 L L

x ; équivaut à xL 

En effet, la valeur absolue xL mesure l’écart entre x et L (b) Suites convergentes

Soient

 

un _nIN une suite de nombre réels et LIR L

u_n

n 



lim se dit « la limite de u_n vaut L lorsque n tend vers  » et signifie que :

Quel que soit l’intervalle



L;L



(avec  0) des nombres considérés comme proches de L, le voisinage



^{L;L}



contient tous les termes de la suite

 

un _nIN à partir d’un certain rang R.

Autrement dit : L u_n

n 



lim si, et seulement si, pour tout voisinage



L;L



(avec  0), il existe un rang R tel que pour tout entier naturel n , si nR alors u_n



L;L



Exemple :

2 , 1 0 2 , 0

lim  



 n

n

Remarque (hors programme)

Dans l’enseignement supérieur, on note aussi u L

n n (on lit « u_n tend vers L lorsque n tend vers  ») et

on écrit :        



   





 L R IN n IN n R u L

u _n

nn 0 telque ,

où  signifie « équivaut à » ou encore « si, et seulement si »

 signifie « implique » (autrement dit AB signifie « si A alors B »)

 signifie « pour tout » ou encore « quel que soit »

 signifie « il existe » Définition

On dit que la suite

 

un _nIN converge vers le nombre réel L (fini) lorsque u_n L

n 



lim . On dit alors que

 

un _nIN est une suite convergente.

Propriété

Si une suite est convergente, alors sa limite est unique.

Démonstration (facultative) : voir exercice 46 page 33 (c) Suites divergentes

Définition

On dit qu’une suite est divergente lorsqu’elle n’est pas convergente.

Il existe 2 types de suites divergentes : celles qui n’ont pas de limite et celles dont la limite est infinie.

Exemple important :

La suite définie pour tout entier naturel n, par wn 

 

1ⁿ vaut alternativement 1 (lorsque n est pair) ou 1 (lorsque n est impair). Cette suite n’a pas de limite.

On peut le justifier par un raisonnement par l’absurde en supposant qu’il existe un nombre réel L tel que L

w_n

n 



lim .

Ce nombre L devrait alors être à la fois proche de 1 et de 1(pour n’importe quelle précision), ce qui est absurde. Un tel nombre L n’existe donc pas, ce qui prouve bien que la suite

 

wn _nIN n’a pas de limite.

Définition

Soit

 

un _nIN une suite de nombre réels.



 

 n

nlim u signifie que pour tout voisinage (avec SIR, S « grand »), il existe un rang R tel que pour tout entier naturel n , si nR alors u_n 



S;



Exemple :



 



lim n2 n

Exercice de compréhension :

Adapter la définition précédente pour écrire la définition de 



 n

nlim u

(2) Calculs de limites (a) Limites usuelles

k désigne un entier naturel fixé et q une constante réelle fixée

Formule de la suite ^k

n n

u 

u_n n1

 u_n  n u_n q _{un q}ⁿ

Limite  0  q 0 si 1q1



 si q1 pas de limite si q1 Démonstration :

Colonnes 1 à 3 : voir l’activité d’introduction aux limites de suites

Colonne 4 : c’est évident ! Si pour tout entier naturel n, u_n q alors u_n est toujours proche de q La colonne 5 sera justifiée dans le paragraphe (4) Suites géométriques

(b) Opérations sur les limites

Les règles de calcul présentées dans les tableaux ci-dessous ne s’appliquent pas si au moins une des 2 suites n’admet pas de limite.

Un « ? » indique une forme indéterminée, c’est à dire une expression dont la limite peut être n’importe quoi (voire ne pas exister) ; pour lever cette indétermination il suffit souvent de transformer l’écriture de

l’expression.

Lorsqu’on écrit , cela signifie que l’expression tend vers +∞ si elle est positive, vers -∞ si elle est négative mais l’expression n’a pas de limite si son signe ne devient pas constant à partir d’un certain rang ; il suffit donc d’étudier le signe de l’expression dans chaque cas pour déterminer la limite exacte éventuelle.

L et λ désignent deux nombres réels non nuls

0 _λ +∞ -∞ 0 _λ +∞ -∞

0 0 λ +∞ -∞ 0 0 λ +∞ -∞

L L λ + L +∞ -∞ L - L λ - L +∞ -∞

+∞ +∞ +∞ +∞ ? +∞ -∞ -∞ ? -∞

-∞ -∞ -∞ ? -∞ -∞ +∞ +∞ +∞ ?

0 _λ +∞ -∞ 0 _λ +∞ -∞

0 0 0 ? ? 0 ?

λ L

+∞ ? +∞ -∞ +∞ 0 0 ? ?

-∞ ? -∞ +∞ -∞ 0 0 ? ?

limite de v_n

L limite

de v_n L 0 λ x L

limite de u_n x v_n

limite de u_n

limite de u_n - v_n

limite de u_n v_n limite de

u_n + v_n

limite de u_n

limite de v_n

limite de u_n

limite de v_n

limite de u_n

0







 















 





Ces nombreuses règles, conformes à l’intuition, sont admises, mais elles pourraient être démontrées sans difficulté majeure à partir de la définition des limites.

(c) Exemples de formes indéterminées

Les notations utilisées ici pour désigner les formes indéterminées ne correspondent pas à des opérations clairement définies (puisque le résultat peut être n’importe quoi ou ne pas exister), elles ne peuvent donc en aucun cas apparaître dans un calcul.

Forme indéterminée version «



 »

Forme indéterminée version « 0 »

Forme indéterminée version «

0 0 »

Forme simplifiée permettant de conclure

Limite en 

3

4 n n

3

4 1 nn

n n 4 1 1

3

2

4 n

0

3

4 5

n n

3

5 1

4n n

5 3

4 1 1

n

n 4n² 

3

4 3

n n

3

3 1

4n n

3 3

4 1 1

n

n 4 4

 

3

1 3

n

nn



 

3

3 1

n n

 n



 

3 3

1 1

n n

 n

 

^1n Pas de limite

Remarque : On constate que la règle de simplification des fractions permet souvent de lever les indéterminations qui se présentent sous forme de quotient ou de produit

(d) Méthode de la mise en facteur du terme dominant

Exemple 1 :

La recherche de lim 2n⁴ 9n³

n 



 conduit à étudier une forme indéterminée du type «  » pour laquelle on ne sait pas conclure directement.

Dans ce type de situation, il est souvent judicieux de « factoriser le terme dominant », c’est à dire de mettre en facteur le terme qui paraît plus « grand » (dans cet exemple il s’agit du terme de plus haut degré).

Il ne s’agit pas d’une « factorisation » au sens habituel, puisque contrairement aux factorisations

« traditionnelles » cela conduit (volontairement) à l’apparition de fractions.

Pour tout entier naturel non nul n on a : 



 

 







 



 





 n n

n n n

n

n 9

9 2 2 9

2 ₄ ⁴

3 4

3 4

(La restriction n0 n’est pas gênante puisqu’on s’intéresse aux valeurs de n proches de )

Comme 





lim n4

n et 9 2 0 2

2

lim    



 n

n ,

par produit on obtient 



 

 





 



 n n n n

n n

2 9 lim

9 2

lim ^{4 3 4}

Exemple 2 :

La recherche de ₂

3 4

1 9 lim 2

n n

n n

n  





 nous confronte successivement à plusieurs formes indéterminées du type

«  » (au numérateur et au dénominateur) puis du type «



 » globalement.

On lève souvent toutes ces indéterminations en factorisant à la fois le terme dominant du numérateur et celui du dénominateur.

Pour tout entier naturel non nul n on a :

1 1 1

2 9 1 1

1 2 9

1 1 2 9 1

9 2

2 2

2 2

4

2 2 2

4 3 4

2 3 4













 



  



 

 







 



  





 



 



 





n n n n n

n n n n

n n n n

n n n

n n

n n

Comme 





lim n2

n et 2

1 0 0

0 2 1 1

1 2 9 lim

2



 



 











n n

n

n ,

par produit on obtient 









 











 1 1 1

2 9 1 lim

9 lim 2

2 2 2

3 4

n n n n n

n n n

n n

(3) Limites et ordre

(a) Limites et comparaisons

Théorème de comparaison (des limites infinies)

Soient

 

un _nIN et

 

vn _nIN deux suites de nombre réels telles que : pour tout entier naturel n à partir d’un certain rang, u_n v_n

[1] Si 



 n

nlim u , alors 



 n

nlim v

[2] Si 



 n

nlim v , alors 



 n

nlim u

Démonstration (R.O.C. possible mais improbable)

[1] Soient

 

un _nIN et

 

vn _nIN deux suites et R₁ un rang tel que pour tout nR₁ on a u_n v_n Soit



S;



un voisinage de 



 

 n

nlim u donc d’après la définition, il existe un rang R₂ à partir duquel u_n est proche de , autrement dit tel que pour tout nR₂ on a u_n



S;



On pose Rmax



R₁,R₂



(le plus grand des deux rangs).

Pour n R, on a à la fois n R₁ et nR₂ donc on a à la fois u_n v_n et u_n



S;



On en déduit alors que S u_n v_n ce qui prouve que v_n 



S;



Ainsi pour n’importe quel intervalle



S;



constitué des nombres considérés comme proches de , on a réussi à déterminer un rang R à partir duquel v_n est toujours proche de , ce qui prouve que 



 n

nlim v [2] Exercice facultatif en s’inspirant du cas [1] (voir aussi l’exercice 69 page 35)

Théorème des gendarmes

Soient

 

gn _nIN ,

 

Gn _nIN et

 

dn _nIN deux suites de nombre réels Soit pIR

Si * pour tout entier naturel n à partir d’un certain rang g_n d_n G_n

A partir du moment où ils l’ont attrapé, les gendarmes g_n et G_n encadrent toujours le détenu d_n

* g_n p

n 



lim et G_n p

n 



lim

Les gendarmes g_n et G_n se rendent à la prison p Alors la suite

 

d_{n nIN} converge et d_n p

n 



lim

Le détenu est conduit à la prison

Démonstration : exercice facultatif en s’inspirant de la démonstration du théorème de comparaison Illustration :

Théorème conservation de l’ordre large par passage à la limite Si

 

u_{n nIN} et

 

vn _nIN sont deux suites convergentes et telles que pour tout entier naturel n à partir d’un certain rang, u_n v_n

Alors _n

n n

n u v







  lim

lim Remarque :

Il n’y a pas de conservation de l’ordre strict comme le prouve le contre exemple suivant : On pose pour tout entier naturel n0, u_n 0 et

v_n n1

 .

Pour tout n0 on a u_n v_n mais on ne peut pas en déduire que _n

n n

n u v







  lim

lim puisque lim  lim 0







 n

n n

n u v

Démonstration : (R.O.C. possible mais improbable)

Soient

 

un _nIN et

 

vn _nIN deux suites convergentes telles que pour tout entier naturel nR₁ on a u_n v_n. On pose u_n L

n 



lim et 



 n

nlim v

On raisonne par l’absurde en supposant que L On pose

2

  L^

. Il s’agit bien d’un nombre réel strictement positif puisque L

L u_n

n 



lim donc il existe un rang R₂ tel que pour tout nR₂ on a u_n



L;L



c'est-à-dire

2 2



    

  L

L L u

L _n ou encore

2 3 2



   

 L

L u

n et en particulier L u_n 2





 

 n

nlim v donc il existe un rang R₃ tel que pour tout nR₃ on a vn^



^{;}



c'est-à-dire

2 2

 

     L^ L v

n ou encore

2 2

3   

 L

L v

n et en particulier

2



 L v_n On pose Rmax



R1;R2;R3



Pour n R, on a à la fois n R₁, nR₂ et nR₃ donc on a d’une part u_n v_n et d’autre part _n L u_n

v    2

 ce qui est contradictoire.

L’hypothèse de départ L de ce raisonnement par l’absurde est donc fausse.

L’inégalité traduisant le contraire L est donc vraie, c'est-à-dire _n

n n

n u v







  lim

lim

Corollaires (propriétés se déduisant immédiatement du théorème précédent) [1] Si MIR et si

 

u_{n nIN} est une suite convergente et telle que

pour tout entier naturel n à partir d’un certain rang, u_n M

Alors u_n M

n 



lim

[2] Si mIR et

 

vn _nIN est une suite convergente et telle que pour tout entier naturel n à partir d’un certain rang, mv_n

Alors _n

n v

m lim

Démonstration : il suffit de prendre v_n M ou u_n m dans le théorème de conservation de l’ordre par passage à la limite.

(b) Limites, variations et bornes

Propriétés

[1] Si

 

un _nIN est une suite croissante et non majorée alors 



 n

nlim u

[2] Si

 

un _nIN est une suite décroissante et non minorée alors 



 n

nlim u Démonstration : (R.O.C. possible mais improbable)

Commençons par quelques remarques de logiques utiles pour ce type de raisonnements :

«

 

un _nIN est majorée par M » signifie que « pour tout nINon a u_n M »

«

 

un _nIN est majorée » signifie que « il existe MIR tel que pour tout nINon a u_n M » Pour les contraires on obtient

Le contraire de « u_n M » est « u_n M »

Le contraire de « pour/dans tous les cas la situation est vraie » est « il existe une exception pour laquelle la situation est fausse ».

Le contraire de « pour tout nINon a u_n M » est « il existe nIN tel que u_n M ».

Autrement dit , «

 

un _nIN n’est pas majorée par M » signifie que « il existe nIN tel que u_n M ».

Le contraire de « il existe un cas pour lequel une situation est vraie » est « pour/dans tous les cas la situation est fausse ».

Le contraire de « il existe MIR tel que

 

u_{n nIN} est majorée par M » est « pour tout MIR,

 

u_{n nIN} n’est pas majorée par M »

Le contraire de « il existe MIR tel que pour tout nINon a u_n M » est « pour tout MIR, il existe IN

n tel que u_n M »

Autrement dit, « la suite

 

un _nIN n’est pas majorée » signifie que « pour tout MIR, il existe nIN tel que M

u_n  »

Principe général

Pour écrire la négation (c'est-à-dire le contraire) d’une affirmation, les « pour tout » (ou « quel que soit », notés

) sont remplacés par des « il existe » (notés ) et les « il existe » sont remplacés par des « pour tout » (ou des

« quel que soit »)

[1] Soit

 

un _nIN est une suite croissante et non majorée.

Soit



^S;



un voisinage de 

Puisque la suite

 

u_{n nIN} n’est pas majorée, le nombre S n’est pas un majorant.

 

u_{n nIN} n’est pas majorée par S donc il existe un rang RIN tel que u_R S

Comme la suite

 

u_{n nIN} est croissante, pour tout nR on a u_n u_R, donc u_n u_R S et par conséquent







 S; u_n

Autrement dit, à partir du rang R, tous les termes de la suite

 

u_{n nIN} sont proches de  ce qui prouve bien

que 



 n

nlim u

[2] exercice facultatif en s’inspirant du cas [1]

Propriétés

[1] Si

 

un _nIN est une suite croissante et convergente vers LIR, alors la suite

 

un _nIN est majorée par L.

[2] Si

 

un _nIN est une suite décroissante et convergente vers LIR, alors la suite

 

un _nIN est minorée par L.

[3] Si

 

un _nIN est une suite convergente, alors la suite

 

un _nIN est bornée.

Remarque :

Une suite croissante est minorée par son premier terme et une suite décroissante est majorée par son premier terme.

Démonstration : (R.O.C. possible mais improbable)

[1] Soit

 

u_{n nIN} est une suite croissante telle que u_n L

n 



lim

On veut démontrer que

 

u_{n nIN} est majorée par L c'est-à-dire que pour tout nINon a u_n L

On raisonne par l’absurde en supposant au contraire que

 

un _nIN n’est pas majorée par L, autrement dit on suppose qu’il existe n₀IN tel que u_n L

0 .

Prenons

2

0 L

u_n 



 et considérons le voisinage



L;L



de nombres proches de L

Comme u_n L

n 



lim , il existe un rang R tel que pour tout nR on a u_n 



L;L



et en particulier

0 0 0 0

0

2 2

2 ⁿ

n n n

n

n u L u L u u u

L L

u  

 

 







  (car u_n L

0 )

En prenant N^max



R^;n0



¹ on a à la fois

n0

N u

u  (car NR) et

n0

N u

u  (car Nn₀ et la suite

 

u_{n nIN} est croissante). C’est absurde.

L’hypothèse de départ «

 

u_{n nIN} n’est pas majorée par L » est donc fausse, et l’affirmation contraire «

 

u_{n nIN} est majorée par L » est donc vraie.

[2] exercice facultatif en s’inspirant du cas [1]

Théorème de convergence des suites monotones bornées

[1] Si

 

un _nIN est une suite croissante et majorée par un nombre réel M alors la suite

 

un _nIN est convergente et M

u_n

n 



lim

[2] Si

 

un _nIN est une suite décroissante et minorée par un nombre réel m alors la suite

 

un _nIN est convergente

et u_n m

n 



lim

Ce théorème est admis car sa démonstration nécessite une définition plus précise des nombres réels.

Remarque :

Ce théorème ne donne pas la valeur de la limite. Une fois qu’on sait que cette limite existe, on peut la déterminer par une recherche de point fixe (étudiée dans un prochain chapitre)

(4) Suites géométriques

Inégalité de Bernoulli Soit a



0;



Pour tout nIN,



1a



ⁿ 1na Démonstration : (R.O.C. possible) Soit a



0;



fixé.

Nous allons démontrer cette inégalité en utilisant un raisonnement par récurrence (la partie du texte écrite en bleu ne fait pas partie du raisonnement, elle sert à l’expliquer)

Ce type de raisonnement peut s’utiliser uniquement pour démontrer une affirmation portant sur un nombre entier naturel (ici n). Il se déroule en 3 temps : initialisation, hérédité, conclusion.

Initialisation :

Il s’agit de démontrer que l’affirmation



1a



ⁿ 1na est vraie pour au moins une valeur de n, de préférence la plus petite valeur de n possible (ici c’est 0)

Pour n0, on a d’une part



1a

 

ⁿ  1a



⁰ 1 et d’autre part 1na10a1 donc on a bien



1^a



ⁿ 1^na Hérédité :

Il s’agit de démontrer que :

Si l’affirmation



1a



ⁿ 1na est vraie pour un certain entier n quelconque

alors l’affirmation est encore vraie pour l’entier suivant n+1, autrement dit



¹^a



^n1¹



ⁿ¹



^a. Pour cela :

On suppose que pour un certain entier n on a



1a



ⁿ 1na (c’est notre hypothèse de récurrence)

Cette hypothèse n’est pas farfelue puisque nous avons prouvé dans l’initialisation qu’il y a au moins un entier pour lequel c’est vrai.

On doit démontrer que



1a



^n11



n1



a

Lorsqu’on doit démontrer une inégalité, il est souvent efficace de prendre l’hypothèse de récurrence comme point de départ.

Pour l’entier n considéré, on a :



1^a



ⁿ 1^na

L’ordre est conservé en multipliant chaque membre de l’inégalité par le nombre positif



1a



, et on obtient :



1^a

 

ⁿ 1^a

 

 1^na

 

 1^a



En développant à droite cela donne :



1a



^n11naana²

Puis



¹^a



^n1¹



ⁿ¹



^a^na2 ¹



ⁿ¹



^a car na² 0 Et enfin



1a



^n11



n1



a

Conclusion :

L’affirmation



1a



ⁿ 1na est vraie lorsque n0 (d’après l’initialisation) et elle est héréditaire, donc d’après le principe de récurrence, l’affirmation



1a



ⁿ 1na est vraie pour tout entier naturel n.

En effet, l’affirmation



1a



ⁿ 1na est vraie pour n=0

Par hérédité, on en déduit que l’affirmation



1^a



ⁿ 1^na est vraie pour l’entier suivant donc pour n=1 Par hérédité, on en déduit que l’affirmation



1a



ⁿ 1na est vraie pour l’entier suivant donc pour n=2 Par hérédité, on en déduit que l’affirmation



1a



ⁿ 1na est vraie pour l’entier suivant donc pour n=3 Par hérédité, on en déduit que l’affirmation



1a



ⁿ 1na est vraie pour l’entier suivant donc pour n=4 Par hérédité, on en déduit que l’affirmation



1a



ⁿ 1na est vraie pour l’entier suivant donc pour n=5 Et ainsi de suite …

Ce qu’on appelle le principe de récurrence affirme qu’on peut poursuivre indéfiniment l’énumération de tous les entiers naturels et dire que notre affirmation est vraie pour chacun d’entre eux, autrement dit l’affirmation est vraie pour tous les entier naturels.

Pour que le raisonnement soit clair et convaincant, il est important de rédiger soigneusement ce qui est écrit en rouge car cela permet de distinguer l’hypothèse de récurrence et la conclusion finale. Sans cela le

raisonnement ressemblerait à « Je suppose que l’affirmation est vraie, donc j’en déduis que l’affirmation est vraie » ce qui n’est pas très convaincant …

Corollaire : limites des suites géométriques Soit qIR la raison d’une suite géométrique.

[1] Si q1 alors 



 n nlim q

[2] Si 1q1 alors lim 0



 n

n q

Remarques :

Si q1, la suite géométrique

 

n IN

qn _ est constante égale à 1.

Si q1, la suite géométrique

 

n IN

qn _ n’a pas de limite.

Démonstration : (R.O.C. possible) [1] Soit q1.

En posant aq1, on a a0 et q1a.

D’après l’inégalité de Bernoulli, pour tout nIN on a : ^qn 



1^a



ⁿ 1^na Comme a0, par produit puis somme on a  



 na

nlim1

D’après le théorème de comparaison des limites, on en déduit que 



 n nlim q [2] Soit qIR tel que 1q1

On raisonne par disjonction de cas.

1^er cas : si 0q1 On pose

p q1

 . L’ordre est conservé en divisant chaque membre des inégalités 0q1 par le nombre strictement positif q, ce qui donne

q q q q

1

0   , c'est-à-dire 01 p. D’après la propriété [1], on obtient 



 n nlim p Or q 1p

 donc pour tout nIN on a _{n n}

n n n

p p

q 1p 1 1



 



 



 et par quotient on en déduit 1 0

lim

lim  







 n n

n

n q p

2^ème cas : si q0

La suite géométrique

 

n IN

qn _ est constante égale à 0 donc elle converge vers 0.

3^ème cas : 1q0

On pose r q q et on a donc qr.

L’ordre est inversé en multipliant par 1 chaque membre des inégalités 1q0 et on obtient

 

¹  ⁰

 q , c'est-à-dire 1r0 D’après le 1^er cas, lim 0



 n

n r .

Or pour tout nIN qⁿ 

   

r ⁿ  1ⁿrⁿ

Remarque : On ne peut pas utiliser la règle du produit pour conclure car

 

1ⁿ n’a pas de limite.

 

¹ⁿ vaut alternativement 1 (lorsque n est pair) ou 1 (lorsque n est impair) Par conséquent, pour tout nIN on a 1

 

1ⁿ 1

L’ordre est conservé en multipliant chaque membre par le nombre positif rⁿ et on obtient

 

^{n n n}

n r r

r    

 1 , c'est-à-dire rⁿ qⁿ rⁿ De plus, lim  0



 n

n r et lim 0



 n

n r , donc, d’après le théorème des gendarmes, lim 0



 n

n q