TS : TD sur les suites (2)
I Exercice de type bac
Soitf la fonction définie surR∗par :f(x)=1 2 µ
x+2 x
¶ . 1. Dresser le tableau de variation def.
2. On considère la suite (un) définie par :
u0=3
2
un+1=f(un) . (a) Calculeru1etu2(donner les résultats sous forme de
fractions irréductibles, puis sous forme décimales ar- rondies à 10−2près).
(b) Démontrer, par récurrence, que pour toutn∈N, on a :p
2Éun+1ÉunÉ3 2.
(c) Démontrer que, pour tout n ∈ N : un+1−p 2 É 1
2
³ un−p
2´ .
(d) En déduire, par récurrence, que pour tout entiern∈ N, 0<un−p
2<
µ1 2
¶n³ u0−p
2´ . (e) En déduire la limite de la suite (un).
II Polynésie juin 2014
On considère la suite (un) définie par
u0=0 et, pour tout entier natureln,un+1=un+2n+2.
1. Calculeru1etu2.
2. On considère les deux algorithmes suivants : Algorithme 1
Variables : nest un entier naturel uest un réel Entrée : Saisir la valeur den Traitement : uprend la valeur 0 Pouriallant de 1 àn uprend la valeuru+2i+2
Fin Pour
Sortie : Afficheru
Algorithme 2
Variables : nest un entier naturel uest un réel Entrée : Saisir la valeur den Traitement : uprend la valeur 0
Pouriallant de 0 àn−1 : uprend la valeuru+2i+2
Fin Pour
Sortie : Afficheru
De ces deux algorithmes, lequel permet d’afficher en sortie la valeur deun, la valeur de l’entier naturelnétant entrée par l’utilisateur ?
3. À l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous oùn figure en abscisse etun en or- donnée.
n 0 1 2 3 4 5 6 7
un 0 2 6 12 20 30 42 56
n 8 9 10 11 12
un 72 90 110 132 156
0 20 40 60 80 100 120 140
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
+ + + + + + + + + +
+ +
+
(a) Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de va- riation de la suite (un) ?
Démontrer cette conjecture.
(b) La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réelsa,betctels que, pour tout entier natureln, un=an2+bn+c.
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs dea,betcà l’aide des informations fournies.
4. On définit, pour tout entier natureln, la suite (vn) par : vn=un+1−un.
(a) Exprimervnen fonction de l’entier natureln. Quelle est la nature de la suite (vn)?
(b) On définit, pour tout entier natureln,
Sn=
n
X
k=0
vk=v0+v1+ · · · +vn.
Démontrer que, pour tout entier natureln, Sn=(n+1)(n+2).
(c) Démontrer que, pour tout entier natureln, Sn=un+1−u0,
puis exprimerunen fonction den.
