() () () LIMITES DE SUITES TYPE BAC

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LIMITES DE SUITES TYPE BAC

I. Antilles Guyane. Juin 2018.

Le directeur d’une réserve marine a recensé 3000 cétacés dans cette réserve au 1 ^er juin 2019. Il est inquiet car il sait que le classement de la zone en «réserve marine» ne sera pas reconduit si le nombre de cétacés de cette réserve devient inférieur à 2 000.

Une étude lui permet d’élaborer un modèle selon lequel, chaque année :

• entre le 1 ^er juin et le 31 octobre, 80 cétacés arrivent dans la réserve marine;

• entre le 1 ^er novembre et le 31 mai, la réserve subit une baisse de 5 % de son effectif par rapport à celui du 31 octobre qui précède.

On modélise l’évolution du nombre de cétacés par une suite ( ) ^{u n} . Selon ce modèle, pour tout entier naturel n, u n désigne le nombre de cétacés au 1 ^er juin de l’année 2017 n. On a donc u 0 3000.

1. Justifier que u 1 2926.

2. Justifier que, pour tout entier naturel n, u n 1 0,95u n 76.

3. À l’aide d’un tableur, on a calculé les 8 premiers termes de la suite ( ) ^{u n} . Le directeur a configuré le format des cellules pour que ne soient affichés que des nombres arrondis à l’unité.

A B C D E F G H I

1 n 0 1 2 3 4 5 6 7

2 u n 3000 2926 2856 2789 2725 2665 2608 2553

Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C2 afin d’obtenir, par recopie vers la droite, les termes de la suite (u n )?

4.

a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u n 1520.

b. Démontrer que la suite (u _n ) est décroissante.

5. On désigne par (v n ) la suite définie par, pour tout entier naturel n, v n u n 1520.

a. Démontrer que la suite ( ) ^{v n} est une suite géométrique de raison 0,95 dont on précisera le premier terme.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n 1480 0,95 ⁿ 1520.

c. Déterminer la limite de la suite ( u n ).

6. Recopier et compléter l’algorithme suivant pour déterminer l’année à partir de laquelle le nombre de cétacés présents dans la réserve marine sera inférieur à 2000.

n ← 0 u ← 3000 Tant que ...

n ←..

u ←...

Fin de Tant que

7. La réserve marine fermera-t-elle un jour ? Si oui, déterminer l’année de la fermeture.

II. D après bac.

Soit u la suite définie par u ₀ 2 et, pour tout entier naturel n, u _n+1 2 u _n +2n ²−n. On considère également la suite v définie pour tout n de par v _n u _n +2n ²+3n+5.

1. Voici ci-contre une feuille de tableur.

Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites u et v ? 2. Déterminer, en justifiant, une expression de v n et de u n

en fonction de n uniquement.

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III. Nouvelle Calédonie Novembre 2017.

Soit (u n ) la suite définie par u 0 3 , u 1 6 et, pour tout entier naturel n : u n 2

5 4 u n 1

1 4 u n . Le but de cet exercice est d’étudier la limite éventuelle de la suite (u n ).

Partie A :

On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite (u _n ) à l’aide d’un tableur.

On a reproduit ci-contre une partie d’une feuille de calcul, où figurent les valeurs de u 0 et de u 1 .

1. Donner une formule qui, saisie dans la cellule B4, puis recopiée vers le bas, permet d’obtenir des valeurs de la suite (u n ) dans la colonne B.

2. Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à 10 ³ près de u _n pour n allant de 2 à 5.

3. Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de la suite (u n ) ? Partie B : Étude de la suite

On considère les suites (v _n ) et (w _n ) définies pour tout entier naturel n par : v _n u _{n 1} 1

4 u _n et w _n u _n 7 1.

a. Démontrer que (v _n ) est une suite constante.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n 1

1 4 u n

21 4 .

c. En utilisant le résultat de la question 1. b., montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n u n 1 15.

2.

a. Démontrer que (w _n ) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n 7

 

  1 4

n 1

. c. Calculer la limite de la suite (u _n ).

IV. D après Nouvelle Calédonie Février 2018.

Pour chacune des affirmations proposées, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE et justifier cette réponse.

1. Soit la suite (u _n ) définie pour tout entier naturel n par u 0 14 et u n 1 2u n 5.

Soit la suite (t _n ) définie pour tout entier naturel n par t _n u _n 5.

Affirmation A : Pour tout entier naturel n, u n

9 2 n² 9

2 n 14 Affirmation B : La suite (t n ) est une suite géométrique.

Affirmation C : Pour tout entier naturel n, u n 9 2 ⁿ 5.

2. Soit une suite (v n ).

Affirmation D : Si, pour tout entier naturel n supérieur à 1, 1 1

n v n 1 1

n alors la suite (v _n ) converge.

3. Affirmation E : Pour tout entier naturel n non nul, (8 1 3) (8 2 3) ... (8 n 3) n(4 n 7).

4. Soit (w _n ) une suite convergente.

Affirmation F : Si, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite (w _n ) sont strictement positifs, alors la limite de la suite (w n ) est aussi strictement positive.

A B

1 n u n

2 0 3

3 1 6

4 2

5 3

6 4

7 5

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V. Pondichéry. Avril 2017.

On considère deux suites ( ) ^{u n et} ( ) ^{v n :}

• la suite ( ) ^{u n} définie par u 0 =1 et pour tout entier naturel n : u n+1 2u n −n 3 ;

• la suite ( ) ^{v n} définie, pour tout entier naturel n, par v n 2 ⁿ . Partie A : Conjectures

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l’aide d’un tableur. Une copie d’écran est donnée ci-contre.

1. Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ?

2. Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants :

Conjecturer les limites des suites ( ) ^u n et

 

  u n

v _n . Partie B : Étude de la suite ( ) ^{u n}

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a u _n 3 2 ⁿ n−2.

2. Déterminer la limite de la suite ( ) ^{u n .}

3. A l’aide de la calculatrice, déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million.

Partie C : Étude de la suite

 

  u _n v n

1. En calculant u _n+1 v n+1

u _n v n

, montrer que la suite

 

  u _n v n

est décroissante à partir du rang 3.

2. On admet que, pour tout entier naturel n 4, on a 0 n 2 ⁿ

1

n . Dét erminer l a limit e de la suit e

 

  u n

v n

.

VI. ( ) ^{u n} est la suite définie sur par u 0 2 et, pour tout n de , u n 1 u n 6n 2.

A l aide d un logiciel, on a obtenu le tableau de valeurs et la

représentation graphique ci-contre sur laquelle on a ajouté la courbe d une fonction.

Déterminer l expression de ( ) ^{u n en}

fonction de n (Faire une conjecture puis la prouver).

A B C

1 rang n terme u _n terme v _n

2 0 1 1

3 1 5 2

13 11 6 153 2 048

14 12 12 298 4 096

15 13 24 587 8 192

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VII. Métropole juin 2013

Soit la suite numérique ( ) ^{u n} définie sur par u 0 = 2 et pour tout n de , u n 1

2 3 u n

1 3 n 1.

1.

a. Calculer u 1 ; u 2 et u 3 . Donner des valeurs approchées à 10 ² près.

b. Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

2.

a. Démontrer que pour tout entier naturel n, u n n 3.

b. Démontrer que pour tout entier naturel n, u n 1 u n

1

3 ( ^{n 3 u n} )

c. En déduire une validation de la conjecture précédente.

3. On désigne par ( ) ^{v n} la suite définie sur par v n u n n.

a. Démontrer que la suite ( ) ^v n est une suite géométrique de raison 2 3 . b. En déduire que pour tout entier naturel n, on a : u n 2  

 

2 3

n

n . c. Déterminer la limite de la suite ( ) ^u n .

4. Pour tout entier naturel non nul n, on pose S n 

k 0 n

u k = u 0 u 1 ... u n et T n

S _n n² . a. Exprimer S _n en fonction de n.

b. Déterminer la limite de la suite ( ) ^{T n .}