TS : TD n

TS : TD n

1 sur le théorème des valeurs intermédiaires et la dérivation

I

1. Démontrer que l’équation cos(4x+2)−8x= −1 admet une solution unique dansR.

2. Donner un encadrement de cette solution à 10⁻²près à l’aide de la calculatrice.

II

La fonctionf :x7−→x|x|est-elle dérivable en 0 ?

III

Calculer l’expression de dérivées des fonctions suivantes, en précisant l’ensemble de dérivabilité :

f1(x)= ¡

5x³−4¢2

f₂(x)= p

4x²+4x+1 f₃(x)= ¡

5x³−3x+2¢6

f₄(x)= µ 1

x+6

¶3

f₅(x)= 2 sin(−3x+2)−4 x f₆(x)= (3x+5)p

x

IV

Soitf la fonction n définie parf(x)=sin(x).

1. Calculerf^′(x), f^′′(x), f⁽³⁾(x), f⁽⁴⁾(x).

2. Que constate-t-on ?

3. En déduire l’expression de f⁽ⁿ⁾(x) selon les va- leurs denpourn∈N.

V

Sur l’écran d’une calculatrice, les courbes repré- sentatives des fonctions f etg définies surRpar :

f(x)=p

x²−x+1 etg(x)= −1

4x²+x+1 4 semblent tangentes au point A(1 ; 1).

1 2

−1

−2

−3

0

−1

−2

−3 1

C_f 2

C_g

Qu’en est-il exactement ?