Comportement asymptotique d’une structure mince

Mini-projet d’analyse num´ erique du cours MAP 431

Comportement asymptotique d’une structure mince

Contact : jalalzai@cmap.polytechnique.fr

Soitε >0, on consid`ere une structure occupant dans sa configuration de r´ef´erence l’ouvert deR² defini par Ω_ε :=]0,1[×]0, ε[. On suppose que ce mat´eriau est soumis

`

a une force volumique fε ∈ L²(Ωε;R²), qu’il est encastr´e sur les bords verticaux Σε:={0,1}×]0, ε[ et qu’il est libre sur le reste de la fronti`ere ∂Ωε\Σε.

Σε Ωε Σε

?fε

-

1

6

? ε

On note vε : Ωε → R² le champ des d´eplacements qui v´erifie `a l’´equilibre le syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles suivant:











−∆v_ε=f_ε dans Ω_ε, v_ε= 0 sur Σ_ε,

∂vε

∂x₂ = 0 sur ∂Ω_ε\Σ_ε.

(1)

Question 1. Ecrire la formulation variationnelle du syst`eme (1) et en d´eduire l’existence d’une unique solution v_ε ∈ V_ε := {ϕ ∈ H¹(Ω_ε;R²) : ϕ = 0 sur Σ_ε}.

En quel sens avez-vous r´esolu le syst`eme (1)?

Question 2. Montrer que v_ε est l’unique minimiseur surV_ε de l’´energie Fε(ϕ) := 1

2 Z

Ωε

|∇ϕ|²dx− Z

Ωε

fε·ϕ dx.

Question 3. Ecrire sous FreeFem++ un script permettant de r´esoudre le probl`eme (1) par la m´ethode des ´el´ements finis P₁. Pour ce faire on prendra la force f_ε = (−1,0)et ε= 1/10.

1

Question 4. Tracer le maillage ainsi que le champ de vecteur u. On rappelle que la configuration d´eform´ee est donn´ee par l’ensemble des points x+vε(x) lorsquexvarie dansΩ_ε. Repr´esenter graphiquement le maillage dans la configuration d´eform´ee.

Question 5. Calculer la valeur minimale de l’´energie, c’est-`a-dire F_ε(v_ε), pour ε= 1/10, 1/100et 1/1000.

Comme le param`etreεest tr`es petit (par rapport `a 1), il est naturel de substituer le mod`ele bi-dimensionnel pr´ec´edent par un mod`ele uni-dimensionnel en faisant une analyse asymptotique lorsque le param`etre ε tend vers z´ero. La premi`ere diffi- cult´e r´eside dans le fait que le domaine d´epend du param`etre. Pour rem´edier `a ce probl`eme, nous allons reformuler le probl`eme pr´ec´edent en un probl`eme ´equivalent mais qui sera d´efini sur un domaine fixe.

Posons Ω := Ω₁ =]0,1[×]0,1[ et Σ = Σ₁ ={0,1}×]0,1[. Pour tout (x₁, x₂) ∈Ω, d´efinissons

uε(x1, x2) :=vε(x1, εx2).

Question 6. En supposant quefε(x1, x2) =f(x1, x2/ε), montrer queuεest l’unique minimiseur de

E_ε(ϕ) := 1 2

Z

Ω

|∂₁ϕ|²+ |∂₂ϕ|² ε²

dx−

Z

Ω

f ·ϕ dx

sur V :=V₁={ϕ∈H¹(Ω;R²) :ϕ= 0 sur Σ}.

Question 7. Montrer qu’il existe une sous suite not´ee (u_ε⁰)_ε⁰ et une fonction u ∈ H₀¹(]0,1[;R²) (ind´ependante de x₂) telles que u_ε⁰ * u faiblement dans H¹(Ω;R²).

En d´eduire que u est l’unique minimiseur de l’´energie E(ϕ) := 1

2 Z 1

0

|ϕ⁰|²dx₁− Z 1

0

f ·ϕ dx₁

sur H₀¹(]0,1[;R²), o`u f(x1) := R1

0 f(x1, x2)dx2, et que u est l’unique solution du syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles suivant:

−u⁰⁰=f dans ]0,1[,

u(0) =u(1) = 0. (2)

Question 8. Montrer que toute la suite uε→u fortement dans H¹(Ω;R²) et qu’il y a convergence de la valeur minimale: Eε(uε)→E(u).

Question 9. D´eterminer la solution exacte du syst`eme (2)lorsquef =f = (−1,0).

Question 10. En prenant la mˆeme force qu’`a la question 3, ecrire `a l’aide deScilab un sch´ema aux diff´erences finies qui r´esoud num´eriquement le syst`eme (2).

Question 11. Repr´esenter graphiquement la configuration d´eform´ee ainsi que la solution exacte.

Question 12. Calculer la valeur minimale de E, c’est-`a-dire E(u). Cette valeur est-elle coh´erente avec les r´esultats obtenus aux questions 5 et 8?

2