A 540 Antoine Verroken
1. - n pair 3^n = [3^(n/2 - 2)]^2 + [2*3^(n/2 - 2)]^2 * 20 - n impair 3^n = [3^(n/2 - 5/2)]^2 + [3^(n/2 - 7/2)]^2 * 18
2. 2^n = 7*(2*p+1)^2 + (2*q+1)^2 (1)
2^(n-2) - 2 = 7*( p² + p ) + q² + q (2)
X = p² + p - Y = - ( q² + q )
2^(n-2) - 2 = 7*X - ( -Y) (3)
solution de (3) X = 2^(n-2) - 2 + m
-Y = [2^(n-2) - 2]*6 + 7*m m arbitraire (4)
(3)(4) p² + p - 2^(n-2) + 2 - m = 0
p = [ -1 + sqrt(1 + 4*(2^(n-2)-2) + 4*m)]/2 (5)
1 + 4*(2^(n-2)-2) + 4*m = C (carré) (5')
-(q² + q) - [2^(n-2)-2]*6 - 7*m = 0
q = [ -1 + sqrt(1 - 24*(2^(n-2)-2) - 28*m)]/2 (6)
1 - 24*(2^(n-2)-2) - 28*m = C' (6')
déterminer m par un exemple (méthode de Legendre):
n = 10 (5') 1 +1016 + 4*m = t² (7)
(6') 1 - 6096 - 28*m = v² (8)
(7) m = ( t² - 1017 ) / 4 = (t² + 3 ) / 4 - 255 m nombre entier --> t² = 9 m = 12/4 - 255 = -252
(8) m = - ( v² + 6095 ) / 28 = - ( v² + 19 ) / 28 - 217 m = - ( 31² + 19 ) / 28 - 217 = -252
(5)(7) p = ( - 1 + 3 ) / 2 = 1 (6)(8) q = ( - 1 + 31 ) / 2 = 15
(1) 2^10 = 7*3² + 31²
puisqu'on est à même de déterminer p et q de (1) , 2^n peut être réprésenté sous la forme 2^n = 7*a² + b² avec a et b entiers impairs.
