D1943 – La symphonie de Ludwig (2ème mouvement)
Problème proposé par Dominique Roux
Soient un triangle ABC et un cercle Γ de centre Ω distinct du cercle circonscrit à ABC. On trace les polaires de chaque sommet A, B et C par rapport au cercle Γ, qui coupent
respectivement (BC), (CA) et (AB) en U, V et W.
Q₁ Démontrer que les points U, V et W sont alignés.
Q₂ Dans le cas où le cercle Γ est le cercle circonscrit au triangle ABC, démontrer que les trois perpendiculaires en Ω à ΩA, ΩB et ΩC coupent respectivement (BC), (CA) et (AB) en trois points alignés et qu’il en est de même avec les médiatrices de ΩA,ΩB et ΩC ainsi qu’avec les tangentes en A,B et C au cercle Γ.
Solution analytique par Patrick Gordon Q₁ Cas des polaires
L'énoncé suggère le recours au théorème de Menelaüs. Aussi chercherons-nous à exprimer les rapports (algébriques) UB / UC, VC / VA et WA/WB.
Prenons Γ comme cercle unité et notons (a, a') les coordonnée de A, etc.
La polaire de A a pour équation : 1) ax + a'y = 1
Écrivons que U est sur BC au moyen de ses coordonnées barycentriques, soit vectoriellement :
2) ΩU = u ΩB + v ΩC (avec u + v = 1).
On notera que (algébriquement) : UB / UC = – v/u.
Déclinant (2) en x et y et reportant dans (1), il vient : a (ub + vc) + a' (ub' + vc') = 1
Soit, en regroupant les termes en u et v : u (ab + a'b') + v (ac + a'c') = 1
Comme par ailleurs u + v = 1, on peut calculer u et v en résolvant le système linéaire ainsi formé.
On trouve :
u/v = – (ac + a'c' – 1) / (ab + a'b' – 1)
Le rapport UB / UC = – v/u vaut donc :
UB / UC = (ab + a'b' – 1) / (ac + a'c' – 1).
Les rapports VC / VA et WA/WB s'en déduisent par permutation circulaire : VC / VA = (bc + b'c' – 1) / (ba + b'a' – 1)
WA / WB = (ca + c'a' – 1) / (cb + c'b' – 1).
Le produit de ces trois rapports algébriques est égal à 1, ce qui établit bien, par le théorème de Menelaüs, que U, V et W sont alignés.
Q₂ (1) Cas des perpendiculaires en Ω à ΩA, ΩB et ΩC La perpendiculaire en Ω à ΩA a pour équation :
3) ax + a'y = 0
Notons toujours U, V, W les nouveaux points d'intersection. Écrivons là encore que U est sur BC au moyen de ses coordonnées barycentriques. Il vient :
a (ub + vc) + a' (ub' + vc') = 0 Soit, en regroupant les termes en u et v :
u (ab + a'b') + v (ac + a'c') = 0
Comme par ailleurs u + v = 1, on peut calculer u et v en résolvant le système linéaire ainsi formé.
On trouve là encore :
UB / UC = (ab + a'b') / (ac + a'c').
Les rapports VC / VA et WA/WB s'en déduisent par permutation circulaire et le produit de ces trois rapports algébriques est égal à 1, ce qui établit bien, par le théorème de Menelaüs, que U, V et W sont alignés.
Nota : ce résultat est vrai même si le cercle Γ n'est pas le cercle circonscrit au triangle ABC Q₂ (2) Cas des médiatrices de ΩA, ΩB et ΩC
La médiatrice de ΩA a pour équation : 4) ax + a'y = (a² + a'²) / 2.
Écrivons que le nouveau U est sur cette médiatrice : u (ab + a'b') + v (ac + a'c') = (a² + a'²) / 2.
Comme par ailleurs u + v = 1, on peut calculer u et v en résolvant le système linéaire ainsi formé.
On trouve, en se rappelant que UB / UC = – v /u :
UB / UC = [2ab + 2a'b' – (a² + a'²)] / [2ac + 2a'c' – (a² + a'²)].
Les rapports VC / VA et WA/WB s'en déduisent par permutation circulaire : VC / VA = [2bc + 2b'c' – (b² + b'²)] / [2ba + 2b'a' – (b² + b'²)]
WA / WB = [2ca + 2c'a' – (c² + c'²)] / [2cb + 2c'b'– (c² + c'²)].
Le produit de ces trois rapports est égal à 1 quand (a² + a'²) = (b² + b'²) = (c² + c'²) c’est-à-dire quand Γ est le cercle circonscrit à ABC.
Q₂ (3) Cas des tangentes en A, B et C au cercle circonscrit au triangle ABC
C'est un cas particulier de Q₁. En effet, ces tangentes sont les polaires de A, B et C par rapport au cercle circonscrit.
