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Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:

El Bahir, L. (1999). Contribution à l'identification et à la commande prédictive des systèmes continus modélisés par des développements en série de fonctions (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences appliquées, Bruxelles.

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D 0592e

LES Faculté des Sciences appliquées

Service d’Automatique et d’Analyse des Systèmes

Contribution à l’identification et à la commande prédictive des systèmes

continus modélisés par des développements en série

de fonctions

Thèse présentée en vue de l’obtention du grade de Docteur en Sciences Appliquées

Lhoussain El Bahir

Promoteur : Pr. R. Hanus

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UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Faculté des Sciences appliquées

Service d’Âutomatique et d’Ânalyse des Systèmes

Contribution à l’identification et à la commande prédictive des systèmes

continus modélisés par des développements en série

de fonctions

Thèse présentée en vue de l’obtention du grade de Docteur en Sciences Appliquées

Lhoussain El Bahir

Promoteur : Pr. R. Hanus

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Je ttoudycuA ù>ut d’o6<y>fd eadi/yi/me^ ma ^a^aüûide aa dhfoJiAeim dia/^mt(ynd dSmiiA, dlicectear da Jkmfice d‘Sdu/omaljae et d’Sénady/ie deA dyAtèmeA, damH/?^ acce/Uè d’èù^ le /vmmoteuA<^ de meA ùtavauæ de t/vèAe et d’oMX/y^ miA à ma dîAdtoAÎüo^ touA Ùa

moyeAU de i<m A&mièce ^voui<^ /eA '^éa/îAer- doAiA /eA meideoAfeA coAtdltùmA.

Je Aiem&ycie éyademeAvt ù^èA OMAtememt /e dhfojAAeuA^ ^(i<de/

ddmtaeAit/loa)^ aeA JactueuAeA dtAcuôAÎcmA, AeA jTfécteaæ canAei/A et encoarayemeAttA et ia 'yJaeuAi^ ActeAitiJ<yie.

Je Atou/dieAtaô JxA ncm ^duA l'oAnôtamce JxAmlta/e ti^èA ayyéadle et tyèA cÂadeuAteiiAe <yze Jai véca aa Aeàn, da deAmèce d’SéutoATvatiyae et ds^na/yAe deA .^AtèmeA ti>at cua /cmy de ceA onAiéeA. J tieAiA à /’accoAÔm à ')feAtteA(cieA<- tyèA cÂadeareoAeAAveAtt ÙHiA éeA 'meAnleyeA da AeA<AMce et ^diA JaAticu/cè^teAiveAît dtadoAim Séndyée ÇlelAaye.

J 'odyeAAe éyadeATveAtt toute ^na 'yecoAtnatAAamce à /a JmdattoAt Çtavtd & sdôce Itun ^uureAi aoav ùoutôeAt JnancieA<^ <yd Art a deAmÙA de jAta/iAeAt- ce troAMud.

diAAo/eAneAit, Je rtouddteAfoi JamaÎA /e âout^eA^ moAial et matéAÔed de ma Jemide /e /oAiy de touteA meA étudeA.

(5)

Table des matières

Chapitre 1: Introduction

1.1 Modélisation... 1

1.2 Commande... 5

1.3 Organisation du texte... 7

Chapitre 2: Identification des systèmes continus 2.1 Introduction... 8

2.2 Approches indirectes... ^ 11

2.2.1 Modèles non paramétriques...-... 11

2.2.2 Modèles échantillonnés... 14

2.3 Approches directes... 14

2.3.1 Méthode des fonctions orthogonales...16

2.3.1.1 Fonctions orthogonales...-...18

2.3.1.2 Matrice opérationnelle d’intégration des différentes fonctions orthogonales... 20

2.3.1.3 Matrice opérationnelle de différentiation des différentes fonctions orthogonales... -...31

2.3.1.4 Identification des paramètres des équations différentielles linéaires par les fonctions orthogonales... ... 22

2.3.2 Méthode de l’intégration numérique... 25

2.3.2.1 Rappel de certaines méthodes d’approximation numérique d’une intégrale... 26

2.3.2.2 Modèle en représentation en variable d’état...28

2.3.2.3 Modèle en équation différentielle... ... . 28

2.3.3 Méthode des fonctions impulsionnelles de Poisson... 30

2.3.4 Modèles en opérateur ô... 31

2.3.5 Développement en série de fonctions complexes... 32

2.4 Moindres carrés et variables instrumentales... 32

2.5 Systèmes non linéaires... -... 38

2.6 Conclusion... ...-...39

Chapitre 3: Commande prédictive continue 3.1 Introduction... -...-... 40

3.2 L’émule... 41

(6)

3.3 Commande prédictive continue...42

3.3.1 Prédicteur de sortie... 43

3.3.2 Estimation des dérivées de la grandeur de sortie...43

3.3.2.1 Représentation en variables d’état... ...43

3.3.2.2 Fonction de transfert... ... 45

3.3.3 Le minimum de variance généralisée (MVG)... 46

3.3.4 Commande prédictive continue généralisée (CPCG)... 47

3.3.4.1 Loi de réglage... 47

3.3.4.2 Effet des paramètres de réglage Ti, T2, Ny, Nu et p... ... 49

3.3.4.3 Stabilité de la boucle fermée... 50

3.4 Conclusion... 53

Chapitre 4: Modélisation des systèmes continus par des développements en série de fonctions 4.1 Introduction... 55

4.2 Développement en série de fonctions de Laguerre... 57

4.2.1 Fonctions de Laguerre... 57

4.2.2 Calcul de X optimal... 58

4.3 Modèles de Poisson-Laguerre... 61

4.3.1 Fonctions impulsionnelles de Poisson... 61

4.3.2 Série de Poisson-Laguerre... ... 61

4.3.3 Représentation en variables d’état... 62

4.3.4 Estimation des paramètres...64

4.3.5 Estimation itérative de X... 66

4.3.6 Gouvernabilité et observabilité... 68

4.3.6.1 Système à une grandeur d’entrée et une grandeur de sortie... 69

4.3.6.2 Systèmes à plusieurs grandeurs d’entrée et plusieurs grandeurs de sortie... 70

4.4 Modèles de Kautz... - 75

4.5 Modèles E-Kautz... 75

4.5.1 F onctions E - Kautz... 7 5 4.5.2 Représentation en variables d’état...78

4.5.2.1 Modèle E-Kautz... 78

4.5.2.2 Modèle de Kautz... 79

4.5.3 Échantillonnage par un bloqueur d’ordre zéro... 81

(7)

Chapitre 5: Commande prédictive continue basée sur les modèles de Poisson-Laguerre pour les systèmes à une

grandeur d’entrée et une grandeur de sortie

5.1 Introduction... 84

5.2 Prédicteur du signal de sortie... 85

5.3 Loi de réglage... 86

5.4 Analyse et commentaires... 87

5.4.1 Effet intégrateur... -... 87

5.4.2 Interprétation physique des fonctions {ki(T)}... 88

5.4.3 Pôles et zéros de la boucle fermée quand T->0 et T^+»... 88

5.4.4 Signal de référence variable...90

5.4.5 Effet et choix des paramètres N„ et T... 90

5.4.5.1 Effet et choix de T... -... 90

5.4.5.2 Effet et choix de Nu...- 91

5.4.6 Stabilité de la boucle fermée... ... 91

5.4.7 Signal de commande à l’instant initial... ... 92

5.4.8 Réglage adaptatif... 93

5.4.9 Équivalence avec d’autres structures de réglage... ... . 93

5.4.9.1 Équivalence avec une rétroaction d’état... ... 93

5.4.9.2 Équivalence avec la structure IMG... 94

5.4.9.3 Équivalence avec un PI pour n = 1 et Nu = 1... 95

5.5 Non linéarité de la commande... 95

5.5.1 Saturation...- 96

5.5.1.1 Système d’anti-emballement... 96

5.5.1.2 Cas particulier : Nu = 1... -... 97

5.5.2 Zone morte...98

5.5.3 Hytérésis... 99

5.6 Exemples de simulation... 99

5.7 Réglage des systèmes faiblement amortis... 107

Chapitre 6: Commande prédictive continue basée sur les modèles de Poisson-Laguerre pour les systèmes à plusieurs grandeurs d’entrée et plusieurs grandeurs de sortie 6.1 Introduction... 111

6.2 Prédicteur des grandeurs de sortie... 111

6.4 Exemples de simulation... 120

(8)

Chapitre 7: Commande prédictive continue généralisée, basée sur les modèles de Poisson-Laguerre

7.1 Introduction... 126

7.3 Commentaires... 129

7.4 Autre manière de concevoir u(t)... 133

7.5 Exemple... 134

Chapitre 8 : Conclusions générales 136

Annexes

Annexe 1 :

Al.l Démonstration du théorème 4.1... Al.2 Al.2 Démonstration du lemme 4.6... ... Al.3 Al.3 Démonstration du théorème 4.2... Al.4 Al.4 Démonstration du lemme 4.7... Al.6 Al.5 Démonstration du lemme 4.8... ... Al.6 Al.6 Démonstration du lemme 4.9... Al.6 Annexe 2 :

A2.1 Détails du calcul du prédicteur du signal de sortie... A2.2 A2.2 Application de la méthode de réglage du chapitre 5 à un problème

“Benchmark”... A2.3 A2.2.1 Présentation du problème... A2.3 A2.2.2 Identification du système... A2.5 A2.2.2.1 Pôle dominant (-X)... A2.6 A2.2.2.2 Modèle de Poisson-Laguerre du niveau 1... A2.7 A2.2.3 Commande prédictive continue... A2.7 A2.2.3.1 Algorithme non adaptatif... A2.7 A2.2.3.2 Algorithme adaptatif... A2.9 A2.2.4 Conclusion... A2.11 Annexe 3 :

A3.1 Détails de la minimisation de la fonction de coût de la commande prédictive continue généralisée...A32 A3.2 Considérations liminaires pour le calcul anal5dique des

matrices P, Q et R... A3.2 A3.3 Calcul de P...A3.4 A3.4 Calcul de Q... A3.4 A3.5 Calcul de R... ... A3.5

Bibliographie

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Chapitre 1; Introduction

Chapitre 1

Introduction

1.1 Modélisation

Depuis son existence, l’homme a toujours fait usage de modèles, d’une manière implicite, dans toutes ses actions de la vie quotidienne. Ceci est lié à la nature même de son être. Les limitations de ses capacités physiques et intellectuelles devant la complexité de son entourage, d’une part, et son désir instinctif de survivre et de comprendre et dominer celui-ci d’autre part, font de l’approximation des réalités, par des modèles intuitifs ou mentaux, un moyen naturel et nécessaire pour réaliser ses objectifs. Avec un nombre croissant d’expériences et d’apprentissages, ces modèles sont améliorés mais sans jamais être parfaits.

D’une manière générale, tout modèle est lié à un système d’une part et à une expérience d’autre part. Dans notre contexte, le système peut être presque toute chose, allant d’un seul atome à l’univers tout entier, ou plus formellement tout objet "

ou collection d’objets dont nous voulons étudier certaines propriétés. L’expérience permet de collecter un certain nombre d’informations ou de données sur le comportement du système en question. Sur la base de ces données un modèle de ces propriétés est alors élaboré dans le but de pouvoir expliquer certains phénomènes, de commander certaines parties ou la totalité du système ou de prévoir l’arrivée d'événements.

Pratiquement tous les domaines de l’ingénieur font usage de modèles pour résoudre divers problèmes pratiques. Nous pouvons distinguer différentes catégories de modèles [1]:

• Modèle intuitif.

Un exemple de modèle intuitif est l’ensemble des idées que peut se faire un homme primitif, par exemple, sur le comportement des différentes espèces de ses proies et des prédateurs mortels.

• Modèle mathématique

Nous pouvons distinguer deux types de modèles mathématiques; modèle théorique et modèle expérimental.

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Chapitre l; Introduction

- Modèle théorique

Il est basé sur les lois physiques qui régissent le comportement du système en question, non sur les mesures prises sur le système. Ce que l’on appelle aussi modélisation par "boîte transparente". Chaque paramètre de ce modèle a une signification physique.

Exemple

un objet de masse M en mouvement, avec une vitesse v(t), sous l’effet d’une force f(t) peut être modélisé par l’équation f(t) = Mv(t) = Mÿ(t), où y(t) représente le déplacement.

- Modèle expérimental

Il est construit entièrement à partir des mesures prises sur le système et la relation entre les différentes variables est décrite par des équations mathématiques algébriques et/ou différentielles. Ce que l’on appelle aussi modélisation par " boîte noire".

Exemple

un mélangeur de deux liquides schématisé par la figure 1.1. Le réservoir R est rempli d’un liquide contenant un produit de concentration C. Un autre liquide contenant le même produit avec une concentration différente Ce est versé dans R avec un débit Q.

Un exemple de modèle mathématique expérimental pouvant décrire la variation de la concentration C(t) à l’intérieur de R est donné par l’équation différentielle C(t) = aC(t) + bCg, où a et b sont les paramètres à déterminer en se basant sur les mesures de C(t) et celles de Ce(t).

La modélisation par une "boite noire" ou, plus concrètement, la théorie de la modélisation mathématique de la dynamique des systèmes en utüisant les mesures des grandeurs d’entrée et des grandeurs de sortie est désignée par "Identification des systèmes". Cette discipline est devenue une branche scientifique proprement dite.

Dans les disciplines de l’ingénieur, la modélisation d’un système se fait principalement par l’établissement d’un modèle théorique ou expérimental ou le mélange des deux "boîte grise". Ce mélange consiste à intégrer dans le modèle théorique certaines connaissances physiques du système. Dans le cadre de ce travail, nous nous sommes intéressés à ce genre de modèles. Et plus précisément à ceux qui font usage d’une connaissance approximative des constantes de temps dominantes et des fréquences de résonance du système à modéliser.

Dans le cas des modèles mathématiques théoriques il est souvent difficile de mettre en équation tous les phénomènes. En outre même si cela était possible, le modèle global qui en résulte serait fort lourd et difficilement exploitable. En revanche, un

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modèle mathématique expérimental simplifié est souvent capable de représenter le comportement de tels systèmes.

Il existe, bien entendu, d’autres raisons du développement des modèles mathématiques, notamment

• l’expérimentation, car pour des raisons de sécurité et/ou financières, il est parfois difficile ou même impossible de réaliser des expériences sur le système réel.

• l’estimation des états physiques d’un système qui ne sont pas directement accessibles par la mesure, en construisant ce qu'on appelle les observateurs d'états.

• la conception des systèmes de régulation avancés.

• faire des prévisions sur l’évolution d’un système.

• etc...

Un système est caractérisé par des grandeurs d’entrée qui représentent toutes les sollicitations que le système peut subir de l’extérieur et des grandeurs de sortie qui représentent soit des grandeurs mesurées, soit des grandeurs à régler ou à superviser, (figure 1.2). Le système est également caractérisé par des grandeurs dites d'état. Elles tiennent compte de l'évolution intrinsèque du système. Généralement, la grandeur de sortie du système dépend non seulement des grandeurs d’entrée mais aussi de l’état du système à un instant donné.

La grandeur d’entrée u(t) peut être fixée par l’utilisateur. La grandeur de perturbation v(t) est considérée comme une grandeur d’entrée qu’on ne peut ni mesurer ni commander. Le signal de sortie y(t) est une variable qui fournit des informations sur le système. Une action de u(t) sur le système dynamique à un instant t influence y(t) aux instants ultérieurs. La relation liant ces différentes grandeurs peut être formulée mathématiquement par

y(t) = ^[u(t),x(t),v(t)] (1.1)

où ^[.] est un opérateur agissant sur u(t), x(t) et v(t) pour produire y(t).

grandeur de perturbation grandeur

v(t)

grandeur d’entrée Système de sortie

u(t) (états: x(t))

y(t)

Figure 1.2: Système à une grandeur d’entrée u(t), une grandeur de sortie y(t) et une grandeur de perturbation v(t). t désigne le temps.

Exemple

Considérons le fonctionnement d’un avion, qui est un système dynamique complexe.

Si l’on veut maintenir son altitude et sa vitesse constantes, ces dernières sont considérées comme des grandeurs de sortie. Le gouvernail d’altitude et le moteur de propulsion sont considérés comme des grandeurs d’entrée. Le comportement de l’avion est influencé par sa charge et les conditions atmosphériques. Ces variables

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sont vues comme des grandeurs de perturbation. Pour pouvoir concevoir un pilote automatique qui maintient les deux grandeurs de sortie à une valeur constante, il est nécessaire d’établir un modèle de l’influence des différentes grandeurs d’entrée et de perturbations sur le comportement de l’avion.

Un système est dit linéaire si l'opérateur ^.] est linéaire (principe de superposition).

Un système strictement linéaire n'existe pas en pratique, car tous les systèmes physiques sont non linéaires en dehors d'une certaine zone d'amphtude des signaux utilisés. Pour des raisons de simplification d'analyse et de synthèse (des systèmes de réglage ou de prévision par ex.), les systèmes sont supposés linéaires dans des zones pour lesquelles les composantes du système présentent des caractéristiques linéaires.

Quand un système en fonctionnement ne dépend pas du temps, on dit qu’il est permanent. Autrement dit [Cours d’introduction à l’Automatique de R. Hanus], siy(t) = ^[u(t),x(t)] Vt>0 alors y(t-ti) = ^[u(t-ti),x(t-tj)] Vt> ti pour tout ti > 0, pour tout u(t) appartenant à l’espace vectoriel des grandeurs d’entrée, pour tout y(t) appartenant à l’espace vectoriel des grandeurs de sortie et pour tout x(t) appartenant à l’espace vectoriel des grandeurs d’état.

Un système non permanent est dit évolutif.

En pratique, la plupart des systèmes physiques contiennent certains éléments dont les propriétés varient avec le temps. Par exemple, un missile téléguidé dont la masse diminue avec la consommation du carburant durant son vol, est considéré comme un système évolutif.

Un système est dit continu si les grandeurs régissant le fonctionnement de ses différentes parties sont toutes des fonctions continues de la variable temps t.

Un système est dit discret si les grandeurs régissant le fonctionnement de ses différentes parties sont toutes des suites de nombres.

D’une manière générale, la procédure d’identification des paramètres d'un modèle peut être résumée en quatre points:

1. Exciter le système à modéliser par un signal d’entrée tel qu'un échelon, une sinusoïde, une multisinusoïde, un signal aléatoire ou toute autre sollicitation. Les signaux d’entrée et de sortie sont observés dans un intervalle de temps donné et enregistrés dans la mémoire d’un ordinateur par exemple.

2. Choisir une structure, .^(0), appropriée du modèle, où 0 désigne le vecteur, de dimension finie, des différents paramètres caractérisant cette structure. Dans le cas des systèmes linéaires continus les modèles les plus utilisés sont les équations différentielles linéaires (dans ce cas par exemple, 0 contient les coefficients de l’équation différentielle en question), les fonctions de transfert et la représentation en variables d’état. Dans le cas non linéaire, on fait appel, entre autres, aux équations différentielles non linéaires, aux réseaux de neurones artificiels et aux modèles flous.

3. Estimer les paramètres, 0, du modèle choisi suivant un critère J(^^(0)) qui soit minimum en 0 = 0, en utihsant les mesures obtenues en 1. Ce minimum est noté Jmin = J(.-^(0)).

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4. Valider le modèle obtenu. Cela revient à vérifier si ce modèle est capable de

“ reproduire ” les mêmes signaux que le système quand celui-ci est excité par une sollicitation différente de celle utilisée au point 1. C’est ce qu’on appelle la validation croisée. Selon le résultat obtenu, une certaine confiance est accordée au modèle.

L’étude des propriétés statistiques du résidu peut également être utilisée pour valider un modèle. Le résidu est défini comme étant la différence entre le signal de sortie du système et celui du modèle, excités tous les deux avec une même sollicitation.

En pratique, la bonne structure du modèle n’est pas connue; il faut parfois en essayer plusieurs d’une manière itérative. Une façon de comparer ces différentes structures est de comparer les valeurs de leur Jmin.

L’augmentation du nombre de paramètres du modèle utilisé entraîne naturellement la diminution du minimum de la fonction de coût, mais augmente la complexité du modèle. D’où l’utilité de pénaliser ce critère de comparaison par un terme tenant compte de la complexité du modèle.

1.2 Commande

Commander un système c’est pouvoir l’amener à accomplir certains objectifs avec certaines performances (rapidité, précision,...). L’être humain est probablement le système le plus complexe dont les systèmes de commande sont les plus sophistiqués.

Il est capable de réaliser un certain nombre de tâches complexes y compris la décision.

Dans la vie quotidienne, pour accomplir un certains nombre d’objectifs nous avons souvent besoin d’un système de commande qu’on peut appeler aussi un régulateur.

Dans le domaine domestique, par exemple, les systèmes automatiques de chauffage et d’air conditionné permettent de régler la température et l’humidité dans les bâtiments afin d’assurer un certain confort.

Les systèmes de commande sont très abondants dans tous les domaines de l’industrie tels que la fabrication de produits (papier, verre, métaux, produits chimiques ...), l’assemblage, la technologie de l’espace, l’armement, la robotique, ...etc. Les systèmes de commande permettent d’assurer un certains nombres d’objectifs tels que la qualité, la sécurité et l’économie d’énergie.

Le principe général de la commande, ou la régulation, d’un système est d’imposer à ses grandeurs de sortie (grandeurs réglées) une trajectoire désirée via une action sur ses grandeurs d’entrée (grandeurs de commande). Celles ci sont fournies par le régulateur. Prenons l’exemple d’une automobile. La direction des deux roues avant peut être considérée comme une grandeur de sortie et la rotation du volant comme un signal de commande. Si on s’intéresse à la vitesse , celle-ci peut être considérée comme une grandeur de sortie et la force exercée sur l’accélérateur comme un signal de commande. Le conducteur joue le rôle du régulateur. Dans ces conditions on peut voir l’automobile comme un système à deux grandeurs d’entrée (volant et accélérateur) et deux grandeurs de sortie (direction des roues et vitesse). Dans ce cas.

(14)

chaque grandeur réglée dépend uniquement d’une seule grandeur d’entrée; mais en général, chaque grandeur réglée peut dépendre de plusieurs grandeurs d'entrée.

Un système de régulation dit en boucle ouverte est schématisé par la figurel.3.

signal de référence

r(t)

Régulateur

signal de commande

u(t)

grandeur de perturbation v(t)

variable

Figure 1.3: Système de régulation en boucle ouverte.

Un signal de référence r(t) est appliqué au régulateur. Celui-ci produit un signal de commande u(t) dont l’effet est de ramener le système réglé à produire une grandeur de sortie y(t) la plus proche possible de la trajectoire désirée représentée par r(t).

A cause des grandeurs de perturbation, des erreurs de mesure et des imperfections du modèle, la régulation en boucle ouverte peut aboutir à des imprécisions de réglage indésirables, d’où la nécessité d’introduire une rétroaction sur la grandeur de sortie comme indiqué sur la figure 1.4. C’est la régulation en boucle fermée.

___+.

r(t) O^.(t)

jv(t)

* Régulateur Système

u(t) réglé y(t)

Figure 1.4: Système de régulation en boucle fermée.

Le signal de sortie y(t) est comparé avec le signal de référence r(t), le régulateur tient compte de cette différence e(t) = r(t) - y(t) et la corrige via un signal u(t) approprié.

La fermeture de la boucle a aussi un effet sur les caractéristiques du système de régulation telles que la stabilité et la bande passante.

Le régulateur le plus répandu dans le milieu industriel est le PID (Proportionnel- Intégrateur-Dérivateur). C’est un régulateur classique simple et efficace pour une large variété de systèmes. Divers algorithmes de calcul de ses paramètres ont été proposés par plusieurs auteurs en se basant sur différentes structures de modèles.

Plusieurs autres méthodes de réglage plus sophistiquées ont été élaborées ces dernières décennies. Nous pouvons citer, entre autres, la méthode de placement de pôles, la commande optimale, la commande basée sur un modèle de référence et la commande prédictive. Dans cette thèse nous nous sommes intéressés à ce dernier type de méthodes pour le cas des systèmes continus, décrits par des modèles basés

(15)

sur des développements en série de fonctions. Toutes ces méthodes continuent d’être améliorées et d'être généralisées à des systèmes de plus en plus complexes.

Quand les propriétés de la dynamique du processus à régler n’évoluent pas avec le temps (système non évolutif), le calcul du régulateur peut se faire d’une manière différée, après avoir obtenu le modèle approprié du processus. Si ce n’est pas la cas, ces différentes méthodes peuvent être appliquées d’une manière adaptative. C’est à dire que la méthode d’identification suit l’évolution des propriétés de la dynamique du processus à régler par l’estimation, à chaque pas d’échantillonnage, des nouveaux paramètres du modèle. Ces derniers sont alors utilisés pour calculer les nouveaux paramètres du régulateur. La réalisation de régulateurs adaptatifs en pratique est souvent complexe à cause de plusieurs facteurs, entre autres les contraintes physiques de conception, les contraintes économiques et l’incertitude du modèle.

La notion de robustesse s’est également développée pour faire face aux limitations des approches basées sur l’hypothèse d’une connaissance exacte du processus et des mesures des variables mises en œuvre.

1.3 Organisation du texte

Puisque notre étude s’intéresse particulièrement aux systèmes linéaires continus, nous avons consacré le deuxième et le troisième chapitres à un tour d'horizon des méthodes et développements les plus récents de la littérature, dans le domaine de l’identification et de la commande prédictive pour cette catégorie de systèmes.

Le quatrième chapitre présente les développements en série de fonctions orthogonales de Laguerre et de Kautz. Notre contribution dans ce chapitre consiste, d’une part, à proposer une représentation étendue simplifiée (selon nos critères) de ces séries, appelées respectivement les fonctions de Poisson-Laguerre et les fonctions E-Kautz et, d’autre part, à élaborer des algorithmes d’identification liés à ces nouvelles représentations.

Dans les cinquième et sixième chapitres nous avons élaboré et étudié des algorithmes de Commande Prédictive Continue (CPC) en se basant sur les modèles de Poisson- Laguerre et E-Kautz.

Le chapitre 7 traite de la commande prédictive continue généralisée (CPCG) basée sur ces mêmes représentations.

Les conclusions générales sont rassemblées dans le chapitre 8.

En annexe 2, les résultats des chapitres 4 et 5 sont appliqués à un problème

“ Benchmark ” sur lequel plusieurs méthodes ont été testées et comparées.

* * *

(16)

Chapitre 2 ; Identification des systèmes continus

Chapitre 2

Identification des systèmes continus

2.1 Introduction

Il est essentiel de connaître et de comprendre le comportement d'un système avant de le manipuler ou de le régler. Comme nous l’avons signalé au chapitre précédent, la modélisation permet d’avoir une connaissance, au moins, approximative d’un système.

L’analyse des résultats de cette connaissance permet de comprendre son comportement.

L’identification des systèmes a fait l’objet d’un grand nombre d’études et de publications [2-5]. Elle est caractérisée par trois éléments: une classe de modèles, une classe de signaux d’excitation et un critère. Le choix d’une classe de modèles et d’un ensemble de signaux d’excitation appropriés permet d’aboutir à une bonne solution du problème d’identification. Les auteurs des différentes références mentionnées ci- dessus ont discuté le rôle de ces trois éléments dans l’identification des systèmes.

Malgré le caractère continu de la plupart des processus physiques du monde réel, des descriptions totalement discrètes de tels processus sont souvent choisies comme la seule base des opérations. Ces descriptions discrètes possèdent certains avantages;

comme la réduction du nombre d’opérations en évitant le calcul des intégrales et des dérivées, la facilité d’utilisation en temps réel et le support apporté par une théorie bien établie dans le domaine discret, tant pour les situations déterministes^ que stochastiques^. Ces avantages ont fait que les méthodes discrètes ont reçu une énorme

' ne possèdent aucune composante aléatoire.

^ Possèdent des composantes aléatoires.

(17)

Chapitre 2 : Identification des systèmes continus

attention par rapport aux méthodes continues. Celles-ci sont restées dans l’ombre jusqu’au début des années 80 [6-11]. Ce besoin de retourner aux représentations continues peut être justifié par un certain nombre d’inconvénients üés à la procédure d’échantillonnage.

Quand la fonction de transfert d’un système linéaire, continu et permanent est échantillonnée, ses pôles p, sont transformés en

= e^-P|T. (2.1)

dans le plan z, où Te est la période d’échantillonnage. Les pôles du système continu situés dans le demi-plan gauche du plan de Laplace (pôles stables) sont donc transformés par (2.1) en des pôles situés à l’intérieur du cercle unité du plan z (pôles échantillonnés stables). Cela veut dire qu’il y a conservation de la stabilité par la transformation (2.1). Il n’existe malheureusement pas de transformation simple qui montre comment les zéros du système continu sont transformés par l’échantillonnage.

Leur position dans le plan z est sensiblement influencée par la méthode d’échantillonnage utilisée. Prenons l’exemple de l’échantillonneur bloqueur d’ordre zéro®. L’échantillonnage d’une fonction de transfert continue, rationnelle, strictement propre'* et ayant n pôles {pi} et m zéros {zi} (m<n) donne lieu à une fonction de transfert rationnelle ayant (n-1) zéros. Pour certaines valeurs de la période d’échantillonnage, certains de ces zéros vont à l’infini ou sont simplifiés par des pôles (modes cachés). En général, il n’y a pas de forme explicite simple, en fonction des paramètres de la fonction de transfert continue et de la période d’échantillonnage, pour les zéros échantillonnés. Dans le cas limite où la période d’échantillonnage tend vers zéro (échantillonnage rapide), parmi les (n-1) zéros échantillonnés, m zéros tendent vers 1 suivant e^‘^' et (n-m-1) zéros tendent vers les racines du polynôme

B„_„(z) = £;;>rz"“”'‘ où ^ = 1,2...(n-m), [IISJ. si n-m > 2, ces derniers zéros sont situés sur ou à l’extérieur du cercle unité.

Si le modèle échantillonné est destiné à concevoir un algorithme de réglage, il est souhaitable que les zéros de ce modèle soient schuriens (situés à l’intérieur du cercle unité dans le plan z). Les zéros non schuriens réduisent considérablement les performances des régulateurs.

D’autre part, en observant la formule (2.1), nous pouvons constater que lorsque la période d’échantillonnage tend vers zéro, les pôles échantillonnés tendent vers 1. Les erreurs numériques pourraient donc rendre le calcul de la loi de commande très mal conditionné.

Un autre problème rencontré avec l’utilisation des systèmes échantillonnés en régulation des systèmes est celui du temps mort, qui est souvent inconnu. Le fait que ce dernier n’est en réalité jamais un multiple exacte de la période d’échantillonnage.

“ Garde constante la valeur du signal entre deux instants d’échantillonnage consécutifs.

* La différence du degré du dénominateur et du degré du numérateur (degré relatif) est strictement supérieur à zéro.

(18)

cause des erreurs de réglage indésirables voir même l’instabilité du système de régulation, [13].

Un temps mort partiel (inférieur à la période d’échantillonnage) peut aussi influencer la position des zéros dans le plan z. En effet, considérons l’exemple du système décrit par la fonction de transfert e"”/(s + a), 0<x<Tj où x est le temps mort. En tenant compte du bloqueur d’ordre zéro nous avons le système [(l-e'‘^*)/s]x[e'”/(s + a)] dont la forme dans le plan z est donnée par [z”'(bo+biZ‘^)]/[a(l-z‘V’'^‘)], où bo =l-e°^^"^'’et bj = e”°^‘(e" -1). Quand Te est assez petite, le zéro du système échantillonné, = -bj /bo, est approché par z^ = x/(x-T^). Donc, si x > /2 le zéros Zi se trouvera à l’extérieur du cercle unité du plan z.

Les problèmes numériques rencontrés avec les modèles échantillonnés quand la période d’échantillonnage est assez petite peuvent être améliorés en utilisant l’opérateur

S = z-1 T"

(2.2)

à la place de l’opérateur z. Quand la période d’échantillonnage est assez petite, l’opérateur 5 peut être considéré comme une approximation d’Euler de l’opérateur dérivée [5], [116]. Ce qui permet de maintenir une certaine harmonie de la

dt

description discrète avec la description continue.

La principale difficulté de manipuler les modèles continus est due à la présence des dérivées des signaux d’entrée et de sortie. Quand ces signaux sont entachés de bruits, le calcul direct de leurs dérivées peut induire des erreurs indésirables. Ce problème peut être évité par des techniques de filtrage appropriées des signaux mis en œuvre.

Le but de ce chapitre est de faire un résumé des différentes méthodes et développements les plus récents de la littérature, dans le domaine de l’identification des modèles continus afin de mieux situer notre contribution à ce domaine.

L’identification des systèmes continus peut se faire en utilisant soit une approche indirecte, c’est le cas notamment des formes non paramétriques et les formes discrètes, soit une approche directe, basée sur la minimisation d’un critère par rapport à un ensemble de paramètres du modèle continu relativement à une structure donnée.

(19)

2.2 Approches indirectes

2.2.1 Modèles non paramétriques

Les modèles non paramétriques ne présentent pas explicitement un vecteur de paramètres de dimension finie. Ils sont représentés par des courbes ou des fonctions telles que

• la réponse impulsionnelle, qu’on notera g(t). Elle est obtenue en appliquant au système une impulsion de Dirac S(t), figure2.1. L’impulsion de Dirac (appelée aussi la fonction delta de Dirac) possède les propriétés suivantes

J^ô(t)dt = l, ô(t) = 0 Vt?tO (2.3)

et d(t) n’est pas définie en t=0.

L’impulsion de Dirac peut être générée à partir d’une fonction A(t,e) possédant les même propriétés (2.3) par passage à la limite de e tendant vers zéro. Un exemple de la fonction A(t,e) est donné par

fo A(t,e) = - l/e

0

t<0 0<t<e

t >e

(2.4)

De part la définition de cette fonction A(t,e), nous avons I A(t,e)dt = l, Ve>0. Par définition, l’on pose ô(t) = limA(t,e). Nous pouvons remarquer que ô(t)dt = l

e-»0

puisque la propriété est vraie quel que soit e > 0.

Figure 2.1 : Réponse impulsionnelle.

• la réponse indicielle , qu’on notera h(t). Elle est obtenue en appliquant au système une fonction d’Heaviside v(t) (ou un échelon). La fonction d’Heaviside est définie comme suit

(20)

v(t) = t>0

t<0 (2.5)

La réponse indicielle n’est autre chose que l’intégrale de la réponse impulsionnelle, figure2.2.

Figure 2.2 : Réponse indicielle.

Ces deux types de réponses font partie des modèles temporels.

• la réponse fréquentielle (modèle fréquentiel [5]), qu’on notera G(jcù), = -1. Elle est obtenue en procédant comme suit:

On excite le système par un signal sinusoïdal de la forme

u(t) = UoSin(cot + /„) (2.6)

d’amplitude Uo, de fréquence (ûl2% et de phase /u. Pour un système linéaire, la sortie correspondante est une sinusoïde d’amplitude yo, de même fréquence (û/2k et de phase fy

y(t) = yoSin(ûJt + fy) (2.7)

En faisant varier la fréquence on peut établir les relations suivantes

|yo(û)) = lG(jco)|uo(cù)

|/y(œ) = /u(®) + argG(jcû)

La fonction complexe G(jcû) est la réponse fréquentielle du système et |G(jco)| son module.

Puisque le signal (2.6) est non causal, il est impossible de l’apphquer à un système.

Nous rappelons que toute fonction f(t) telle que f(t) s 0 V t < 0 est dite causale. Il est donc plus réaliste de considérer le signal d’entrée causal défini par u(t) = Uq sin(cût + /„ )v(t). Pour les systèmes stables, la réponse du système à une sollicitation sinusoïdale causale tend (après le régime transitoire) vers la réponse que l’on aurait obtenue à une sollicitation sinusoïdale non causale.

La réponse impulsionnelle et la réponse fréquentielle sont liées par la transformée de Fourier

(21)

G(j£û) = ^[g(t)] = g(t)e-'“'dt (2.9)

Un système linéaire permanent peut être représenté par le produit de convolution suivant :

y(t) = J^g(x)u(t-T)dx (2.10)

Un système déterministe entaché de bruit ou excité par un bruit aléatoire est considéré comme un système stochastique. Dans ce cas, la théorie des signaux stochastiques doit être appliquée. Les fonctions d’autocorrélation et de corrélation suivantes:

<l>uu('t) = E{u(t)u(t + t)} = hm^|7 u(t)u(t + t)dx

<1) (x) = E{u(t)y(t + x)} = lim^|7u(t)y(t + x)dx

T —I A OJ—

(2.11)

jouent un rôle important dans le traitement mathématique des signaux stochastiques.

E{.} désigne l’espérance mathématique. Elle est remplacée par la moyenne temporelle si l’on fait l’hypothèse de l’ergodicité®.

En utilisant (2.10) nous pouvons déduire les relations suivantes:

<l)uy('c) = J^g(t)«l)uu(x-t)dt

<t>yy(x) = j^g(t)<l)y„(X-t)dt

(2.12)

La réponse impulsionnelle g(t) peut être identifiée par la déconvolution de (2.10) ou celle de (2.12). La déconvolution de (2.10) n’est pas utilisée en pratique à cause de sa grande sensibilité au bruit.

La transformée de Fourier de (2.10) peut s’écrire

Y(co) = G(JCD)U(to) (2.13)

En appliquant la transformée de Fourier aux fonctions de corrélation (2.11) on obtient les densités de puissance spectrale

^u,(jto) = ^[(t»^(x)]

^uu(jûî) = ^[‘t>uu('t)]

qui peuvent s'écrire

‘ Une fonction aléatoire est dite érgodique d'ordre n ssi ses moments temporels et d'ensemble d'ordre n sont égaux.

(22)

<ï>uy(j®) = G(j“)‘î‘uu(j®)

(2.15)

<ï>^(jco) = G(jcû)<ï>^(jû)) = |G(jcû)l <î>„„(jcû)

Ces équations constituent une autre manière d’identifier la réponse fréquentielle G(jcû).

La fonction de transfert du système est donnée par la transformée de Laplace de g(t).

Soit

G(s) = =^[g(t)] = g(t)e-“dt (2.16)

2.2.2 Modèles échantillonnés

Dans cette méthode indirecte, la première étape consiste à estimer un modèle échantillonné du système en question. Les nombreuses techniques d’estimation connues et bien développées peuvent être utilisées [4]. La deuxième étape consiste à transformer le modèle échantillonné obtenu en un modèle continu correspondant.

Cela se fait par l’une des méthodes permettant le passage du plan de Laplace au plan

Z et inversement, telle que la transformation par l’approximation bilinéaire donnée par

2 z-1

T, z + 1 (2.17)

2.3 Approches directes

D’une manière générale, l’estimation directe des paramètres d’un modèle continu pour un système à une grandeur d’entrée et une grandeur de sortie est schématisée par la figure 2.3. Cette approche est basée sur la minimisation d’un critère sur l’erreur e* par rapport au vecteur des paramètres du modèle continu. 3^(s) désigne un filtre linéaire.

Il permet d’éviter la nécessité de calculer les dérivées de u(t) et de y(t). L’utilisation de u*(t) et y*(t) au lieu de u(t) et y(t) est une caractéristique t3TJique des méthodes d’identification des modèles continus.

Pour les modèles linéaires en leurs paramètres, on met en évidence l’équation générique suivante:

y(t) = eVt)® (2.18)

Ce qui entraîne y*(t) = 0^9*(0 (2.19)

pour des systèmes linéaires, où 0 et <p*(t) sont respectivement le vecteur des paramètres à identifier et un vecteur de mesures. L’estimation de 0 peut se faire par l’algorithme des moindres carrés par exemple (§ 2.4 ci-après).

® désigne le transposé du vecteur G .

(23)

Figure 2.3 : Identification d’un modèle continu.

Exemple

Supposons que le système est décrit par l'équation différentielle suivante y(t) + a‘^^^‘^ ku(t) = 0

^ dt (2.20)

ou encore

y(t) = e''(p(t) (2.21)

où 0^=[a k] (2.22)

est le vecteur des paramètres inconnus et

(p(t)'^ = [-dy(t) / dt u(t)] (2.23)

est le vecteur de mesures.

Pour identifier 6, il faut calculer dy(t)/dt (en utilisant une approximation). Si y(t) est bruité par v(t) (inconnu, figure 2.3), nous avons

dy(t)/dt = dys(t)/dt + dv(t)/dt (2.24) La dérivée du bruit pourrait causer une erreur intolérable sur le calcul de dy(t)/dt.

D'où l'utilité d'utiliser un opérateur Pf’ comme indiqué sur la figure 2.3. Si nous choisissons par exemple

P^s) = 1/(TS + 1) (2.25)

avec une constante de temps x convenable, nous pouvons écrire

y*(t) = eV(t) + e(t) (2.26)

(24)

avec ^• ^II (2.27)

<p’(t)^ = [-s^(s)y(t) (2.28)

e(t) = (s/(xs+l))v(t) (2.29)

2.3.1 Méthode des fonctions orthogonales

L’histoire des fonctions orthogonales est très ancienne. Elle date du début du 19®

siècle. Parmi les fonctions orthogonales les plus connues, on peut citer les fonctions de Legendre, de Laguerre, d’Hermite, de Tchebycheff de t}T)e 1 et 2, de Walsh,...etc. Leur application à l’identification des systèmes ne date que d’environ deux décennies. Chen et Hsiao (1975), [15], sont les premiers à avoir appliqué les fonctions de Walsh à l’estimation des coefficients de l’équation différentielle (2.67) ci-après avec les conditions initiales nulles. Rao et Sivakumar (1975), [16], ont étudié la possibilité d’estimer les conditions initiales au même temps que les paramètres. La contribution fondamentale de ces deux articles est la découverte de la matrice opérationnelle d’intégration E, donnée par

j''P(T)dX =B¥(t) (2.30)

II O ••VN-i(0f (2.31)

est un vecteur de fonctions orthogonales. On déduit aisément de (2.30) que

j‘ -j' 'P(T)d'C = £"'P(t) (2.32)

n fois

Ce qui a été le premier pas vers l’élaboration d’une méthodologie systématique d’estimation des paramètres et des conditions initiales d’un système décrit par une équation différentielle linéaire, via n’importe quel t5q3e de fonctions orthogonales en déterminant la matrice opérationnelle d’intégration pour chaque type de fonctions orthogonales, [9] et [17-21].

L'inconvénient majeur de cette approche est la nécessité de tenir compte des conditions initiales du système à identifier.

Ce problème peut être évité en utilisant l'approche basée sur la matrice opérationnelle de différentiation D, définie comme suit, [109-111],

^^ = D'P(t) (2.33)

dt

Ce qui permet aussi d‘écrire ^ = D"'P(t) (2.34)

Exemple

Soit le système décrit par l’équation différentielle

(25)

ÿ(t) + aÿ(t) + by(t) = cû(t) + du(t) (2.35) où y(t), u(t) et {a,b,c,d} sont respectivement la grandeur de sortie, la grandeur d’entrée et les paramètres (à identifier) du système.

Les signaux y(t) et u(t) sont approchés par les séries orthogonales suivantes

=Ei=ô'“iVi(t)=(2.36) où les coefficients y=[yo — yn-iF et u=[uo... un-i]^ (2.37) sont connus (déterminés par l’équation (2.50) ci-après).

L’utilisation de la matrice opérationnelle d’intégration se fait suivant les étapes suivantes :

• Intégrer l’équation (2.35) :

y(t) = a y(t)di: + b£' y(i)didx - c£ u(t)dT - d£‘ u(i)didx -

[y(0) + {ÿ(0) + ay(0) - cu(0)}t] (2.38)

Les conditions initiales apparaissent dans le terme [y(0) + {ÿ(0) + ay(0) - cu(0)}t]. Ce dernier est un polynôme en t de degré égal à celui de l’équation différentielle moins 1, soit [y(0)t° + {ÿ(0) + ay(0) - cu(0)}t']. Les puissances de t doivent aussi être approchées par la série

=Ei=ô'W(t) = tJ'F(t), j={0,l} (2.39)

Les coefficients tj=[toj... t(N-i)j]^ sont déterminés via l’équation (2.50) ci-après.

• Remplacer y(t), u(t), t° et t^ dans (2.38) par leur valeur approchée, donnée par (2.36) et (2.39). Ce qui permet d’écrire

y"'î'(t) = ay" 'î'(i:)dT + by" 'I'(i)did'c - cu^ 'P(T)dT -

du^ j‘ J>(i)didx - [y(0)tj'î'(t) + {ÿ(0) + ay(0) - cu(0)}t['P(t)] (2.40)

• Remplacer les intégrales de (2.40) par leurs expressions (2.30)-(2.32) et

‘simplifier’ par ^(t), soit

y" = ay"E + by^E" - cu"E - du"E^ - atj - ptj' (2.41)

où a = y(0) et P={ÿ(0) + ay(0) - cu(0)} (2.42)

(26)

Les paramètres {a,b,c,d,a,(3} sont alors identifiés en minimisant la distance entre les deux membres de l’équation (2.41) suivant un critère donné. Si le paramètre c est nul, une estimation des conditions initiales y(0) et ÿ(0) peut être obtenue à partir des valeurs de a et de P, (2.42).

L’utilisation de la matrice opérationnelle de différentiation consiste simplement à :

• Remplacer y(t) et u(t) dans (2.35) par leur valeur approchée, donnée par (2.36), soit

y'^^(t) + ay’''i'(t) + by'"'P(t) = cu"''F(t) + du'"'l'(t) (2.43)

• Remplacer les dérivées de î^(t) par leur expression (2.34), soit

+ ay'"D'î'(t) + by'"'P(t) = cu’^D'î'(t) + du'"'P(t) (2.44)

d’où =a.y^D+ by'^ - cu'^D - du”^ (2.45)

qui permettra d’identifier uniquement les paramètres {a,b,c,d} du système, sans conditions initiales.

2.3.1.1 Fonctions orthogonales

Un ensemble de fonctions {\|/i(t), i = 0,1,... , n-1} est dit orthogonal, sur un intervalle [to tf], relativement à une fonction de pondération w(t) si

r'Vi(0Vj(t)w(t)dt = |° (2.46)

•'■o •' [Kj > 0 SI 1 = J

Ce système de fonctions orthogonales est dit orthonormal si dans le second membre de (2.46), la constante K, est égale à 1.

L’ensemble des polynômes orthogonaux satisfait les relations récurrentes suivantes

[²²]

jVirt(t) = [«it + Pi]Vi(t) + Yi¥i-i(t). i = 0,1,...

[V_i(t) = 0, XKo(0 = l, Yi(0 = aot + Po

¥i(t) = âiVi^i(t) + Pi\j/i(t) + Ÿi\j/i_i(t), i = 0,1,...

Les différents coefficients, pour certains polynômes orthogonaux importants, sont donnés dans le tableau 2.1 ci-après. Le paramètre Ç i, de la dernière ligne du tableau, apparaîtra dans la suite.

Toute fonction f(t) de carré sommable définie sur un intervalle [to, tf] peut être approchée par une série de N fonctions orthogonales comme suit

(2.47)

(2.48)

i=0

(2.49)

(27)

La propriété d'orthogonalité permet de calculer les coefficients {fi} comme suit

f‘=i£'f(t)Vi(t)dt (2.50)

Legendre Pi(t)

Laguerre Li(pit)

Hermite Hi(xt)

Tchebycheff 1 Tli(t)

Tchebycheff 2 T2i(t)

to -1 0 ”oo -1 -1

tf + 1 + 00 + 00 + 1 + 1

W(t) 1 e-xv

1 Vi-t^

ai

2i + l i + 1

-X i + 1

ao = 1

ai = 2 (i^l) 2 0 2i + l

i + 1 0 0 0

Y

i i

-2x'i -1 -1

i + 1 i + 1

ÔCi

1

-1

1

cto = 1 et 1 = 1/4 2(i + l)’

1

2i + l 2(i + l) 2(i + l)

Pi

po = 1

0 i>l 1 0 O loa O Il..H Al ^t^H

Po= 1 0 i>l

Ÿi

-1 2i + l

Ÿo = 0

0 0

Yo = 0 Ÿ1 = 1/4

2(i + l)’

ÿo = 0 -1 2(i + l)’

Ci 0 0

0, si i est pair ou nul

-1 O — i<

i impair

Co = 0 Çi = -1/2

i'-i ■

Co = 0 (-1)‘ . .

i+1

Tableau 2.1