Chapitre 3: Commande prédictive continue
3.2 L’émule
3.3.4 Commande prédictive continue généralisée (CPCG)
a(s) - s +1
Ce système possède un zéro en s = 1 +1 / P et un ordre relatif p = 1 En choisissant Ny = p = 1 et P = [1 p], (p > 0), l’équation (3.33) devient
(3.36)
et les pôles de la boucle fermée sont donnés par
Si=-l/p et S2=l + l/p (3.37)
On constate donc que le pôle S2 permet de simplifier le zéro du système. Si celui-ci est positif (c’est le cas quand p > 0 ou P < -1) la boucle fermée devient instable. D’autre part, si P = 0 alors p = 2 et le gain du système devient infini, d’où l’importance de connaître p avec précision.
Les restrictions imposées ci-dessus par le MVG, a savoir la connaissance exacte de l’ordre relatif du système et que tous les zéros du systèmes soient hurwitziens, ont été surmontées en introduisant la commande prédictive généralisée [72].
3.3.4 Commande Prédictive Continue Généralisée (CPCG)
3.3.4.1 Loi de réglage
En substituant (3.25) et (3.26) dans (3.11) et en réarrangeant sous une forme matricielle, nous pouvons obtenir un prédicteur de la grandeur de sortie de la forme suivante (si l’on s’intéresse au modèle en représentation en variables d’état, (3.18) sera utilisée à la place de (3.25) et (3.26)
(3.38)
avec (3.39)
U,^=[i.(t) u^»(t) - u'"“>(t)r
Y°=[y°(t) y?(t) - y“^(t)f
(3.40)
(3.41)
Chapitre 3: Commande Prédictive Continue
et y° (s) = u(s) + y(s) (3.42)
La commande prédictive continue généralisée est basée sur la minimisation de la fonction de coût suivante
j= p[y(t + T)- r(t + T)fdT + pp'"^‘[u(t+T)]^T (3.43)
jTj JO
où Tl est l’horizon minimal de prédiction, T2 ( > Ti) est l’horizon maximal de
prédiction et p est le coefficient de pondération de la commande. Si le système ne possède pas de pôle à l’origine (système intégrateur), la minimisation de u(t+T) n’a pas beaucoup de sens car la résorption de l’erreur statique de réglage n’est pas assurée. Il est plus adéquat de considérer une fonction de coût avec ù(t + T). Mais cela revient à ajouter un intégrateur au système initial b(s)/a(s) et utiliser la fonction de coût (3.43) pour le système b(s)/[sa(s)]. Nous reviendrons sur ce problème au chapitre 7 avec les modèles de Poisson-Laguerre (qui suppose que le système n’est pas intégrateur).
Le prédicteur du signal de référence et celui du signal d’entrée peuvent être approchés par la série de Maclaurin.
r*(t + T) = TN^RN^ avec =[r(t) r(ty^^ ••• r(t)^'^'^f (3.44)
et u*(t + T) = T^ (3.45)
y(t + T) est approché par y*(t + T) de (3.38).
En substituant (3.45), (3.44) et (3.38) dans (3.43), la fonction de coût J peut se mettre sous la forme matricielle suivante
HU. ^ 'n, ^ 'n.R. ,pdT+nJJ‘‘"'u;T;_T„u„, dT
Le Un minimisant J dans cette expression est donné par
où et Un„=K(Rn^-Y“) K = (H’^ryH + pTJ-'H^Ty dT dT (3.46) (3.47) (3.48) (3.49) (3.50) 48
Chapitre 3; Commande Prédictive Continue
Le signal de commande est donné par la première composante du vecteur , soit
u(t) = k(R,^-Y“) (3.51)
où k est la première ligne de la matrice K.
3.3.4.2 Effet des paramètres de réglage Ti, T2, Ny, Nu et p
• Tp ce paramètre n’a pas d’effet significatif sur les performances du régulateur. Il
peut être choisi égal à zéro.
• T2: en général, plus petite est la valeur de T2 plus rapide est la réponse de la boucle fermée. Nous avons signalé avant que T2 > Ti, c’est-à-dire que T2 ne peut pas être égale à Ti (en particulier à zéro) pour éviter que les intégrales (3.49)- (3.50) ne soient nulles et rendre la matrice inversée dans (3.48) singulière.
• Ny: c’est l’ordre auquel la série de Maclaurin (3.11) est tronquée pour approcher le
prédicteur de la grandeur de sortie. Il doit donc être suffisamment grand pour avoir une bonne approximation, mais au détriment de l’augmentation des dimensions des différentes matrices, mises en œuvre dans le calcul du signal de commande.
• Nu: fixer ce paramètre à une valeur donnée revient en quelque sorte à forcer à zéro
les dérivées de u(t) d’ordre supérieur à Nu. Donc, plus petite est la valeur de Nu plus grande est la contrainte sur u(t) et inversement. Il a été vérifié en pratique, [72], qu’une augmentation de Nu rend u(t) plus énergique et donc la réponse du système plus rapide et inversement.
• P : il permet de pénaliser la grandeur de commande u(t) de la même manière que
dans le cas du GPC discret. C’est-à-dire que l’augmentation de p rend le signal de commande moins énergique et inversement.
Une méthode empirique pour fixer les paramètres de réglage a été proposée par Z. Kowalczuk (1996) [82]. Elle consiste à déterminer Ny pour lequel le développement de Taylor suivant
h(t)*=£h,^ (3.52)
tt 1'
donne une bonne approximation de la réponse indicielle h(t) du système dans l’intervalle de temps [0,T2] où T2 est tel que h(T2) = 1, (Figure 3.2), et {hi}, i = 1,2,...Ny, sont les paramètres de Markov du système.
Les paramètres de réglage sont alors ajustés comme suit
• T2 est donné par h(Tj ) = 1.
• Tl est donné par h(Ti) = 0.1.
• Ny est tel que h*(t) = h(t) dans l’intervalle [0,T2].
• Nu < Ny - p.
Chapitre 3: Commande Prédictive Continue
• (i ne doit pas être très grand (pour des raisons de stabilité): 0 < p, < 0.1.
Figure 3.2 : Début de la réponse indicielle h(t) d’un système à déphasage non minimal, avec un pôle à l’origine.
La commande prédictive continue généralisée basée sur les modèles de Markov a été étudiée dans [77].
3.3.4.S Stabilité de la boucle fermée
L’utilisation de l’algorithme de réglage tel qu’il a été décrit précédemment ne garantit pas la stabilité de la boucle fermée. Une version modifiée introduite dans [74] permet, sous certaines conditions, de garantir cette propriété fondamentale. L’idée de base vient du problème de la régulation LQ à horizon fuyant [75]. Elle consiste à considérer que si l’état du système à l’instant final, x(t+T2), est forcé à zéro, alors la boucle fermée est stable.
Puisque nous avons utilisé précédemment, dans le calcul de la commande prédictive généralisée, une fonction de transfert comme modèle, l’état du système n’est pas disponible. Un état partiel donné par
x(s) = u(s) = 7^y(s)
a(s) b(s)'
peut être utilisé.
Le prédicteur de cet état est approché par
x*(t + T) = T,^HU,^+T,X0
(3.53)
(3.54)
en utilisant la même technique que celle utilisée pour la grandeur de sortie, (3.38). La matrice H a la même forme que celle de la matrice H, (3.13), mais avec les paramètres de Markov du système l/a(s) au lieu de ceux de b(s)/a(s).
X°=[x°(t) xj(t) - x“^(t)f (3.55)
Chapitre 3; Commande Prédictive Continue
avec xî(s) = ^
c(s) u(s) + 5^y(s)
c(s) (3.56)
Les polynômes G^(s) et F,j(s) sont obtenus à partir des formules suivantes:
s'‘c(s) _ É^(s) 1 F;, (s)
b(s)a(s) b(s) a(s) (3.57)
et
C(s) c(s) (3.58)
deg[Ê^(s)] = k-l, deg[Fi.(s)] = deg[a(s)]-l, deg[Gk(s)] = deg[a(s)]-2 et deg[ht(s)] = k-p.
Nous supposerons dans la suite que
i) le signal de référence est constant (= Tq), ce qui permet d’écrire
(3.59)
(3.60)
RN,=k 0 - or
ii) Tl = 0 et T2 = Tf.
Considérons les contraintes suivantes [74]:
x*(t + Tf) = ro/bo dx*(t + T)
d^»x*(t + T)
J'tN,
bo = b(s = 0).
En substituant les équations (3.54)-(3.59) dans l’équation (3.60) ces contraintes peuvent se mettre sous la forme suivante
r,(HU,^+X°-R^^) = 0 (3.61)
où Rn, =[ro/bo 0 ••• or (3.62)
Chapitre 3: Commande Prédictive Continue et T. = T 1 Tf -V ' 2! 0 1 Tf 0 ••• 0 1 T, T/ N !y Tf (N.-l) Tf (N,-N.) (N -NJ! (3.63)
Le problème consiste donc à minimiser la fonction de coût J, par rapport à Unu sous la
contrainte (3.61).
'j = +Tfî Y“ -Tfî + U^i Tfî T,
7JHU, +X°-R, ) = 0
(3.64)
Posons J = J + 2A’^rjHUN +X°-Rn ) (3.65)
où À, est le vecteur des multiplicateurs de Lagrange.
3J
= 0 U. =K(R, -Yj + KH-^rjA (3.66)
En remplaçant Unu par son expression (3.66) dans la contrainte (3.61), nous en
déduisons que
A = -(r,HKH^77)-'r,[HK(Rf,^ -Y°) + (X°-Rn^)] (3.67)
En substituant (3.67) dans (3.66) nous aboutissons au résultat suivant
Un„ = Vf(R,^ - Y“) + V2(R,^ - X°) (3.68)
où Vf = (I - MH^SH)MH''7y (3.69)
V2=MH^S (3.70)
S = 77(7,HMH^7j)-'7, (3.71)
et M = (H"7^H + p7J-‘ (3.72)
La grandeur de commande qui tient compte de la contrainte (3.60) est alors donnée
par la première composante du vecteur Unu de l’équation (3.68), Soit
Chapitre 3; Commande Prédictive Continue
u(t) = v,(R^^ _Y“) + V2(R,^ -X°) (3.73)
où Vj et Va sont les premières lignes respectives des matrices Vi et Va.
Pour que la matrice (T^HMH^Tj) soit régulière il est nécessaire que N„ > N, et Ny > N, + n (n est l’ordre du système).
Nous pouvons remarquer que si N„ = , l’équation (3.73) prend la forme plus simple
suivante
u(t) = (7,H)-^r,(R,^-X°) (3.74)
et le coefficient de pondération p n’a plus d’influence sur la grandeur de commande.
Proposition 3.1 (extraite de la référence [74])
Si
1. le système est gouvernable et observable
2. p>0
3. N,=n-1
4. N„=N,-p
5. Ny est suffisamment grand
alors VTf >0, la boucle fermée est stable.
Démonstration
Si les conditions précédentes sont satisfaites, notre problème est ramené au problème de la régulation LQ à horizon fuyant (avec l’état du système à l’instant final égal à zéro), traité dans la référence [75], dans lequel les conditions de stabilité sont satisfaites.
La commande prédictive continue généralisée pour les systèmes à plusieurs grandeurs d’entrée et plusieurs grandeurs de sortie est donnée dans [76] pour le cas des matrices de transfert et dans [71] pour le cas des représentations en variables d’état.
3.4 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons rappelé les principaux travaux récents publiés dans le domaine de la commande prédictive basée sur les modèles continus, notamment la fonction de transfert et la représentation en variables d’état.
Comme dans le cas discret, la commande prédictive généralisée est moins restrictive que les algorithmes du minimum de variance, dans le sens où elle est applicable aux systèmes à déphasage non-minimal et n’exige pas la connaissance exacte du modèle
Chapitre 3; Commande Prédictive Continue
du système, notamment son ordre relatif, ni celle du temps mort; celui-ci peut être approché par une fonction de transfert appropriée. En forçant l’état final du système à zéro et en se mettant dans les conditions de la proposition 3.1, la stabilité de la boucle fermé peut être garantie.
Certains éléments cités dans ce chapitre nous seront utiles dans le chapitre 5 de cette thèse dans lequel nous avons proposé une manière simple de concevoir un régulateur prédictif continu en se basant sur les modèles de Poisson-Laguerre (chapitre 4). C’est un algorithme qui assure implicitement un effet intégrateur pour les systèmes n’ayant aucun pôle à l’origine et le prédicteur de la grandeur de sortie est obtenu
sans tronquer la série de Maclaurin (N^, = -H»), tout en conservant les avantages de la
commande prédictive généralisée.
* * *